С. П. Макаревич, М.Қ. Қылышқанов Автоматты реттеу теориясы бойынша лекциялар
жүктеу/скачать 10,8 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3.2 Сипаттамалық теңдеудің түбірлері бойынша орнықтылықты талдау
| 3.1 Орнықтылық ұғымы
АРЖ-леріне қойылатын талаптардың бірі – оның орнықты болуы. Егер АРЖ-сін қандай да бір әрекет тепе-теңдіктен шығарғаннан соң осы әрекет аяқталғаннан кейін жүйе өздігінен тепе-теңдікке келетін болса, онда ол орнықты деп аталады. Орнықты АРЖ-лерінде реттелетін шаманың тепе-теңдіктен ауытқуы уақыт өтуімен апреиодты немесе тербелмелі түрде нөлге ұтылады (3.1а сурет). Орнықсыз АРЖ-лерінде реттелетін шаманың тепе-теңдіктен ауытқуы апериодты немесе тербелмелі түрде артады (3.1б сурет). Егер жүйеде ауытқудың тұрақты мәні орнықпайтын болса немесе тербелістер өшпейтін сипатта болса (3.1в сурет), онда жүйе орнықтылық шекарасында болып табылады, яғни жүйе бейтарап болады. 3.1 сурет 3.2 Сипаттамалық теңдеудің түбірлері бойынша орнықтылықты талдау Сызықты АРЖ-лерінде x(t) әрекет әсерінен y(t) шығыстық айнымалының өзгеруі мына сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешуі болып табылады , (3.1) мұндағы a, b тұрақты коэффициенттер; дифференциалдау операторы. Егер қандай да бір уақыт мезетінде жүйеге түсірілген әрекетті алып тастасақ және оны өз еркіне қоя берсек, онда y айнымалының уақыт бойынша өзгеруі немесе оның yерк(t) еркін қозғалысы мына теңдеудің шешуі болып табылады . (3.2) АРЖ-нің А.М.Ляпунов бойынша орнықтылығының анықтамасына сәйкес егер t орындалғанда yерк(t) еркін құраушы нөлге ұмтылса, онда АРЖ-сі орнықты болып табылады. (3.2) теңдеудің шешуі сипаттамалық теңдеудің түбірлерімен анықталады. Ол (3.1) теңдеуден а(р) операторлық полиномды нөлге теңестіре отырып алынады, яғни , (3.3) және енді бұл теңдеудегі р дифференциалдау символы емес, қандай да бір комплекстік сан. (3.3) сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақты, соның ішінде еселік, нөлдік, комплексті және жалған болуы мүмкін. Егер (3.3) теңдеудің түбірлері нақты және әртүрлі болса, онда (3.2) теңдеудің шешуі мынадай түрде болады , (3.4) мұндағы n сипаттамалық теңдеудің дәрежесі; pi сипаттамалық теңдеудің түбірлері; Ai интегралдау тұрақтылары. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақты болған кезде pi=i (3.4) өрнек мынадай түрге келеді . (3.5) Жүйе орнықты жұмыс істеу үшін (3.5) өнектегі барлық қосылғыштардың уақыт өтуімен нөлге ұмтылуы қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Бұл сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері теріс болғанда мүмкін болып табылады. Егер түбірлердің ең жоқ дегенде біреуі оң болса, онда жүйе орнықсыз деген сөз, өйткені (3.5) өрнектегі оған сәйкес қосылғыш уақыт өтуімен артатын болып шығады. Егер сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ішінде нақты еселік түбірлер бар болса, онда (3.5) өрнекте мынадай түрдегі құраушылар пайда болады , мұндағы Bi – интегралдау тұрақтылары; k – түбірдің еселігі. Егер еселі түбір нақты теріс немесе нақты бөлігі теріс комплекс сан болса, онда уақыт өтуімен кемиді, ал жақша ішіндегі көбейткіш шексіз артады, яғни 0 типті анықталмағандық пайда болады. Бірақ теріс түбірлер үшін көбейткіші жақшадағы көбейткіштен шапшаңырақ кемитіндіктен, өрнек толығымен алғанда теріс түбірлер үшін нөлге ұмтылады. Егер сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ішінде түріндегі комплекстік түйіндес түбірлер болса, онда (3.5) өрнекте мынадай түрдегі құраушылар пайда болады , мұндағы Ci, i – жаңа тұрақтылар. Бұл жағдайда жүйеде шығыстық шаманың тербелістері пайда болады. Бұл тербелістер түбірлердің i нақты бөлігі теріс болған жағдайда ғана өшпелі болып табылады. Олай болмаған жағдайда жүйе орнықсыз болып табылады, өйткені уақыт өтуімен шығыстық шама тербелістерінің амплитудасы артады. Сипаттамалық теңдеудің нөлдік түбірлері болған кезде (3.5) өрнекте Ai түріндегі құраушылар пайда болады және жүйеде шығыстық айнымалының орныққан күйінен ерікті түрдегі ауытқуы орнығады. Жүйе бейтарап-орнықты болып табылады. 3.2 сурет Егер сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ішінде жалған түбірлер pi,i+1=ji бар болса, онда (3.5) теңдеуде Aisin(it+i) түріндегі құраушылар пайда болады және шығыстық айнымалы амплитудасы тұрақты өшпейтін гармониялық тербелістер жасайды. Жүйе орнықтылық шекарасында болады. Егер осьтер ретінде сипаттамалық теңдеудің және түбірлерін алса (р түбірлердің жазықтығы), онда сипаттамалық теңдеудің түбірлерін комплекстік жазықтықта көрнекі түрде көрсетуге болады (3.2 сурет). Түбірлердің комплекстік жазықтықта арналасуын қарастыра отырып мынаны атап көрсетуге болады. Егер тұйық жүйенің сипаттамалық теңдеуінің барлық түбірлері жалған осьтен солға қарай сол жақтағы жарты жазықтықта жатса, яғни олардың барлығы нақты теріс немесе заттық бөлігі теріс комплекстік болса, онда жүйе орнықты болып табылады. Сипаттамалық теңдеу түбірлерінің жазықтығындағы жалған ось орнықтылық шекарасы болып табылады. Оны орнықтылық жағына қарай штрих сызықтармен белгілеу қабылданған. Ендеше АРЖ-сінің орнықтылығын анықтау үшін тұйық жүйенің сипаттамалық теңдеуін шешу керек және оның түбірлерінің комплекстік жазықтықта орналасуын талдау қажет. Дәрежесі жоғары сипаттамалық теңдеулерді шешкен кезде белгілі қиындықтар туындайды. Сондықтан жүйенің орнықтылығын оның сипаттамалық теңдеуін шешпей анықтаған жөн. Оны дифференциалдық теңдеудің коэффициенттерінің мәндері бойынша немесе орнықтылық критерийлері деп аталатын белгілердің көмегімен жүйенің жиіліктік сипаттамаларының түрі бойынша анықтауға болады. Осы критерийлердің кейбіреулерін дәлелдеусіз қарастырайық. жүктеу/скачать 10,8 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|