[gl]4-тарау [:][kgl]
Функциялардың шектерін есептеп шығарудың тәсілдері
жүктеу/скачать 2,53 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- -элементар функция болсын, сонда: а) егер -саны функцияның анықталу облысына тиісті ( ) болса, онда
- ® да түріндегі анықталмағандықты ашу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін (
- ¹ 0 болады. Берілген өрнектің алымы мен бөлімі квадраттық үшмүшелік болғандықтан, мына формула бойынша
- , олардың шегі , болғандықтан, (1 ¥
- - х®0. Мұнда 5¢ және 7 формулалар қолданылды. Бөлшектің бөлімін 3sіnx-5x 3
| Функциялардың шектерін есептеп шығарудың тәсілдері
Функциялардың шектерін есептеп шығару алғашқы пунктерде келтірілген теоремаларға негізделеді. Функцияның шегі, оның шекті нүктеде анықталғандығына немесе анықталмағандығына байланыссыз болады. Бірақ, практикада элементар функциялардың шектерін есептеп шығаруда бұл жәйт басты роль атқарады. Айталық, -элементар функция болсын, сонда: а) егер -саны функцияның анықталу облысына тиісті () болса, онда болады; ә) егер болса, онда х=-ны функцияның мәнін анықтайтын өрнекке тікелей қойғанда анықталмағандықтың мынадай түрлерін кездестіреміз: , , ¥ - ¥; 0; 1¥; 00, . Бұл жағдайлардың әрқайсысында функциялардың шектерін есептеп шығару үшін арнаулы зерттеулер керек, оларды анықталмағандықтарды ашу дейді. Мұндай анықталмағандықтар х®¥ да кездесуі мүмкін. Енді мысалдар арқылы функциялардың шектерін табудың кейбір тәсілдерін қарастырайық. 1-мысал. шегін есептейік . Шешуі:Функцияны анықтайтын өрнекке х-тың шекті мәнін қойғанда түріндегі анықталмағандықты аламыз. х®¥ да түріндегі анықталмағандықты ашу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін, бөлшек мүшелерінің құрамындағы х-тің ең үлкен дәрежесіне бөлу керек те, сонан кейін шекке көшу керек. Осы тұжырымды қолданып (x3-дәрежесіне бөлеміз) және шекке көшкенде (-const) болатынын еске алсақ, былай болады: . 2-мысал. шегін есептейік . Шешуі:Мұнда х®¥, түріндегі анықталмағандық шығады. Бөлшектің алымы мен бөлімін -ке (-тың ең үлкен дәрежесі 1-ге тең) бөліп берілген шекті есептеп шығарамыз: . 3-мысал. шегін есептейік. Шешуі:Берілген функцияны анықтайтын формулаға -тың шекті мәні 2-ні қойғанда, түріндегі анықталмағандықты аламыз. ® да түріндегі анықталмағандықты ашу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін ()-ға қысқартып, сонан кейін шекке көшу керек. Бұл жағдайда, ¹ 0 болады. Берілген өрнектің алымы мен бөлімі квадраттық үшмүшелік болғандықтан, мына формула бойынша сызықтықкөбейткіштерге жіктейміз (1, 2 - үшмүшеліктің түбірлері). Содан кейін, айтылған тұжырымды қолдансақ, былай болады: , ; , 56 src= mce_src=, ¥ - ¥; 015339 ; ; . 4-мысал. шегін есептейік. Шешуі:-тың шекті мәні 1-ді қойғанда -түріндегі анықталмағандық шығады. Иррационалды өрнектері бар функциялардың шектерін есептеп шығару үшін, көп жағдайларда, мынадай тұжырымдар пайдаланылады: a) Иррационалдықты алымынан бөліміне көшіру немесе керісінше; ә) Жаңа айнымалыны еңгізу арқылы иррационалды өрнекті рационал өрнекке көшіру. Берілген шекті есептеп шығару үшін алдымен алымындағы иррационалдықты бөліміне көшіріп (алымы мен бөлімін алымының түйіндесі өрнегіне көбейтеміз), содан кейін х-1 көбейткішке қысқартып, мынаны табамыз:
Шешуі:х-тың шекті мәні 16-ны қойғанда түріндегі анықталмағандық шығады. Бұл шекті есептеп шығару үшін =t4 өрнегімен анықталынатын айнымалысын енгіземіз. Мұнда ®16 Þ t®2. Сонда . 6-мысал. шегін есептейік . Шешуі:Бұл түріндегі анықталмағандық, бірақ берілген шекте тригонометриялық функциялар бар. Құрамында тригонометриялық және керітригонометриялық функциялар бар түріндегі анықталмағандықты ашу үшін бірінші тамаша шекті пайдаланады . Сонда, берілген мысал былай шығарылады . 7-мысал. шегін есептейік. Шешуі: . 8-мысал. шегін есептейік. Шешуі: түріндегі шекті есептеп табуда, егер және болса, онда (1¥) түріндегі анықталмағандық шығады. Мұндай түрдегі анықталмағандықты ашу үшін екінші тамаша шек пайдаланылады . Біздіңмысалымызда: , олардың шегі , болғандықтан, (1¥) түріндегі анықталмағандық шығады. Бұл анықталмағандықты ашу үшін жоғарыда айтқандай негізінен 1+a түріндегі және дәреже көрсеткішінен көбейткішін бөлу керек . Мұнда,
және . Сонда, .
Шешуі:Берілген функциялардың қатынасының х®0 да шегін есептейміз . Демек, х®0 да функциясы функциясына қарағанда жоғары ретті шексіз аз екен. Енді мынадай шекті есептеп шығарамыз . Егерде k=2 болса, онда . Демек, х®0 да функциясы функциясына қарағанда 2-ші ретті шексіз аз болады. 10-мысал. Эквивалентті шексіз аздарды алмастыру принципін пайдаланып шегін есептейік. Шешуі:Шекті есептеу үшін 3-пункте берілген кестені пайдаланамыз. Берілген мысалдағы бөлшектің алымын былай эквивалентті шексіз аздармен алмастыруға болады: ~~ - х®0. Мұнда 5¢ және 7 формулалар қолданылды. Бөлшектің бөлімін 3sіnx-5x3 ~3sіnx~3x; x®0. Себебі х®0 да х-ке қарағанда 3sіnx қосылғышы 1-ретті, ал (-5x3)-қосылғышы 3-реттішексіз аз болады. Сонда . жүктеу/скачать 2,53 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|