КҮНЖІТ ЖӘНЕ ЗЫҒЫР ДӘНДЕРІНЕН АЛДЫН-АЛА ТӨМЕНГІ ТЕМПЕРАТУРАДА

43 
 
4)  егер ??????[??????
1
] ≠ ??????[??????
2
]  болса, онда   ??????[??????
1
+ ??????
2
] = max
??????
{??????[??????
??????
]} ; 
5)  көрсеткіштері әртүрлі нөлдік емес 
??????
1
(??????) … ??????
??????
(??????) вектор-функциялар  
      сызықты тәуелсіз; 
6)  
??????[(??????, ??????)] ≤ ??????[??????] + ??????[??????]; 
7)  
??????(??????)  скаляр функциядан алынған Ляпунов интегралының  
??????(??????) =
{
 
 
 
 
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
, егер  ??????[??????] ≥ 0 болса,
∫ ??????(??????)????????????,
∞
??????
егер
  < 0 болса,
 
      көрсеткіші   ??????[??????]-тен артпайды. 
8)  сызықтық (1) жүйенің 
??????(??????) ≠ 0 шешімі үшін  ??????[??????] ∈ [−??????, ??????] тура      
      болады. 
9)  сызықтық (1) жүйенің ??????: [0, +∞) → ??????
??????
\{0} кез келген шешімінің ??????[??????]      
     Ляпунов көрсеткіші үшін  
??????[??????] = lim
??????→∞
̅̅̅̅̅̅ 1
??????
????????????‖??????(??????)‖ 
??????[??????] = lim
??????→1+0
lim
??????→∞
̅̅̅̅̅̅ ??????
??????
????????????‖??????(??????
??????
)‖ 
       теңдіктері тура болады. 
10) сызықтық (1) жүйе үшін  көрсеткіштері әртүрлі тривиальды емес         
       шешімдер саны 
??????-нен артпайды. 
Мысал ретінде үзік-тұрақты коэффициентті жүйе үшін Ляпунов көрсеткіштерін есептейік. 
                                         
{
????????????
1
????????????
= ??????
1
(??????)??????
1
????????????
2
????????????
= ??????
2
(??????)??????
2
                                                                                     (5) 
мұндағы             
а)  
??????
1
(??????) = {
 ??????
1
, егер ?????? ∈ [(2?????? − 2)!, (2?????? − 1)!),
??????
1
, егер ?????? ∈ [(2?????? − 2)!, (2??????)!),
 
              ??????
2
(??????) = {
??????
2
, егер ?????? ∈ [(2?????? − 2)!, (2?????? − 1)!),
0, егер ?????? ∈ [(2?????? − 2)!, (2??????)!),
 
    
0 ≤ ??????
1
≤ ??????
1
≤ ??????
2
− тұрақты сандар.  
ә) 
??????
1
(??????) = {
1, егер ?????? ∈ [??????
2??????−2
, ??????
2??????−1
),
0, егер ?????? ∈ [??????
2??????−1
, ??????
2??????
)
 
??????
2
(??????) = {
0, егер  ?????? ∈ [??????
2??????−2
, ??????
2??????−1
),
−1, егер  ?????? ∈ [??????
2??????−1
, ??????
2??????
),
 
   q>1  кез келген сан. 
 
Жүйенің базистік матрицасы 
??????(??????) = (??????
∫ ??????
1
(??????)????????????
??????
0
0
0
??????
∫ ??????
2
(??????)????????????
??????
0
) 
Жүйенің Ляпунов көрсеткіштері  
??????[??????
1
] = lim
??????→∞
̅̅̅̅̅ 1
??????
??????????????????
∫ ??????
1
(??????)????????????
??????
0
= lim
̅̅̅̅
??????→∞
1
??????
∫ ??????
1
(??????)????????????
??????
0
 
??????[??????
2
] = lim
??????→∞
̅̅̅̅̅ 1
??????
??????????????????
∫ ??????
2
(??????)????????????
??????
0
= lim
̅̅̅̅
??????→∞
1
??????
∫ ??????
2
(??????)????????????
??????
0
 
Жарты осьте анықталған үзік-үзіліссіз және 
?????? тұрақтымен шенелген ??????(??????) функциясы үшін 

44 
 
??????(??????) = ?????? = lim
??????→∞
1
??????
∫ ??????(??????)????????????,
??????
0
 
??????(??????)
̅̅̅̅̅̅ = ??????̅ = lim
??????→∞
̅̅̅̅̅ 1
??????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
 
сандары оның сәйкес төменгі және жоғарғы орта мәндері деп аталады. 
Функцияның  төменгі  және  жоғарғы    орта    мәндерін    есептеу  үшін   
?????? мәндерін   ??????
??????
= ???????????? 
(?????? = 1,2, … ), ?????? > 0  сан тізбегі бойынша «жүгіртіп» өткізу жеткілікті. 
Шынында да  
???????????? ≤ ?????? ≤ (?????? + 1)?????? 
мәндері үшін  
|
1
??????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
−
1
????????????
∫ ??????(??????)????????????
????????????
0
| ≤ |
1
??????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
−
1
????????????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
| + 
+ |
1
????????????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
−
1
????????????
∫ ??????(??????)????????????
????????????
0
| ≤
|?????? − ????????????|
????????????
|
1
??????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
| + |
1
????????????
∫ ??????(??????)????????????
??????
????????????
| ≤
2??????
????????????
→ 0 
Егер
  ??????(??????)  функциясы  [0, ∞)  аралығында  үзік-тұрақты  функция    болса,  онда  оның  үзіліс 
нүктелері  
1
??????
∫ ??????(??????)????????????
??????
0
 
функциясының  қатаң  экстремум  нүктелері  бола алмайды. Сондықтан  
?????? = lim
??????→∞
1
??????
∫ ??????(??????)????????????,    
??????
0
 
?????? = lim
??????→∞
1
??????
∫ ??????(??????)????????????    
??????
0
 
орта  мәндерді  есептеу  үшін   
?????? мәндерінің  ??????(??????)  функциясының  үзіліс  нүктелері  (яғни    тұрақтылық  
аралықтарының  ұштары)  жиыны бойынша «жүгіріп» өткені жеткілікті.  
Осыларды ескеріп  (5) жүйенің сипаттамалық көрсеткіштерін есептейміз: 
а) 
??????[??????
1
] = ??????
1
̅̅̅ = lim
??????→∞
1
(2??????−1)!−1
(??????
1
(2! − 1!) + ??????
1
(3! − 2!)) + ??????
1
(4! − 3!) + ⋯ + 
 
+??????
1
((2?????? − 1)! − (2?????? − 2)!) + ??????
1
((2??????)! − (2?????? − 1)!)) = 
= lim
??????→∞
1
(2?????? − 1)! − 1
(??????
1
(1 ∙ 1! + 3 ∙ 3! + ⋯ + (2?????? − 1)(2?????? − 1)!) + 
 
                               +??????
1
(2 ∙ 2! + 4 ∙ 4! + ⋯ + (2?????? − 2)(2?????? − 2)!) = 
 
= lim
??????→∞
1
(2?????? − 1)! − 1
(??????
1
(2?????? − 2)! − 1) + ??????
1
((2?????? − 1)! − 2)) = ??????
1
 
??????[??????
2
] = ??????
2
̅̅̅ = lim
??????→∞
1
(2?????? − 1)! − 1
(??????
2
(3! − 2!) + ??????
2
(5! − 4!)) + ⋯ + ??????
2
((2??????)! − (2?????? − 1)!)) =
= lim
??????→∞
1
(2?????? − 1)! − 1
(??????
2
(2 ∙ 2! + 4 ∙ 4! + ⋯ + (2?????? − 1)(2?????? − 1)!) = 
= lim
??????→∞
1
(2?????? − 1)! − 1
∙ ??????
2
((2?????? − 1)! − 2) = ??????
2
 
ә)  
??????
1
̅̅̅ = lim
??????→∞
1
??????
2??????−1
−1
(1 ∙ (?????? − 1) + 0(??????
2
− 1) + 1(??????
3
− ??????
2
) + ⋯ + 1 ∙ (??????
2??????−1
− ??????
2??????−2
)) = 
= lim
??????→∞
1
??????
2??????−1
− 1
∙ (?????? − 1) ∙ (1 + ??????
2
+ ⋯ + ??????
2??????−2
) = lim
??????→∞
??????
2??????
− 1
(??????
2??????−1
− 1)(?????? + 1)
=
??????
?????? + 1
 

45 
 
  ??????
2
̅̅̅ = lim
??????→∞
1
??????
2??????−1
− 1
(0 ∙ (?????? − 1) − (??????
2
− ??????) + 0 ∙ (??????
3
− ??????
2
) − (??????
4
− ??????
3
) − ⋯ − (??????
2??????−1
− ??????
2??????−2
)) = 
= − lim
??????→∞
1
??????
2??????−1
− 1
∙ (?????? + 1) ∙ (?????? + ??????
3
+ ⋯ + ??????
2??????−2
) = lim
??????→∞
1
??????
2??????−1
− 1
∙ (?????? + 1)
??????
2??????
− ??????
??????
2
− 1
= −
??????
?????? − 1
 
 
Сонда  (5) жүйенің сипаттамалық  көрсеткіштері  
a) 
??????[??????
1
] = ??????
1
= ??????
1
,
              ??????[??????
2
] = ??????
2
= ??????
2
, 
ә) 
??????[??????
1
] = ??????
1
̅̅̅ =
??????
??????+1
 ,         ??????[??????
2
] = ??????
2
=
??????
1−??????
 
болады. 
Әдебиет 
1.  Былов  Б.Ф.,  Виноград  Р.Э.,  Гробман  Д.М.,  Немыцкий  В.В.  Теория  показателей  Ляпунова  и  ее 
приложения к вопросам устойчивости. - М.: Изд-во Наука, 1966.-576 стр. 
2.  Виноград  Р.Э.  О  центральном  характеристическом  показателе  системы  дифференциальных 
уравнений // Математический сборник. 1957. 42.С.207-22 
3.  Изобов  Н.А.  Линейные  системы  обыкновенных  дифференциальных  уравнений.  –В  кн.: 
математический анализ (Итоги науки и техники). М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974, т.12, с. 71-146 
4. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т. 2.-М.;Л.:Изд-во АН СССР,1956.-472стр. 
5. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости  центральных показателей линейных систем. –
Сиб.мат.журн.,1969,т.10, №I, с.99-104. 
6. Фурсов А.С. Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова. Автореферат. - Москва 1994.- 
14стр. 
 
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
Ф.Х. Вильданова, А.К. Ерденова, Г.Б. Кенжебаева 
 
В  статье  вычислены  показатели  Ляпунова  системы  линейных      дифференциальных 
уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. 
 
LYAPUNOV EXPONENTS OF A SYSTEM OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS 
WITH PIECEWISE CONSTANT COEFFICIENTS 
F.H.Vildanova, A.K. Erdenova, G.B. Kenzhebayeva 
 
The  article  calculated  the  Lyapunov  exponents  of  a  system  of  linear  differential  equations  with 
piecewise constant coefficients. 
 
 
УДК 621.91 
 
Д.У. Дюсембинов, Д.Т. Жайлаубаев, Б.К. Касымханов 
Государственный университет имени Шакарима г.Семей 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ   ПРОЦЕССА РАВНОВЕСИЯ СИЛ РЕЗАНИЕ В МЕХОБРАБОТКЕ 
 
Аннотация:  В  мехобработке  важно  определить  удельную  теплоту  потенциалы  переноса  сил  для 
каждой  из  поверхностей,  зависимость  давления  от  содержания  приложении  сил  W  и  температуры  Т 
нагрева  в  контакте.Основываясь  на  экспериментальные  расчеты  определяем  что  в  начальный 
момент  времени  возникает  волновое  движение  пара  и  в  центаральных  частях  увеличивается 
термовлагопроводность влагосодержание. 
 
Ключевые  слова:    удельная  теплота,  силообменный  аналог,  критерий    Фурье,  сорбции, 
капиллярная пропитка, конвективный перенос 
 
Для интенсивности  обмена режущи силы в контакте между инструментом и обрабатываемой 
поверхностью   необходимо определить удельную теплоту   потенциалы переноса сил для каждой из 

46 
 
поверхностей, зависимость давления   от  содержания  приложении сил W и температуры Т нагрева в 
контакте.  В  пористой  среде  граница  двух    сил  разбивается  на  множество  отдельных  участков  с 
различной кривизной. Применяя  силообменный аналог* критерия Фурье, нетрудно убедиться в том, 
что  локальное  термодинамическое  равновесие  (ЛТР)  наступает  за  время 
c
p
8
6
10
10





,  для 
радиуса  поры 
7
10


м,  поэтому  гипотеза  ЛТР  справедлива  практически  всегда.  В  условиях 
динамического равновесия между   потенциалы  сил равны, а удельные давление на процесс резания 
определяется уравнением Кельвина 
;
ln
S
n
æ
S
æ
P
P
U
RT
P
P


  
 
 
                             (1) 
Уравнение (1)  экспериментально  проверено  в  работах /1-3/. 
Экспериментальные зависимости    возрастании температуры   приводит к эффекту 
термопроводности . 
При выполнении фазового прохода в неравновесном процессе через множество равновесных 
состояний, имеем /2/ 
;










































T
T
W
P
P
W
p
W
P
I
n
P
n
T
n
T
T
 
                                     (2) 
Удельная теплота сорбции определяется соотношением Клапейрона-Клаузнуса /3/ 
W
æ
C
T
T
W
F
V
RT
Z









)
,
(
ln
2
   
 
                             (3) 
Используя (3) подучим 
W
æ
C
T
T
W
F
U
RT
Z









)
,
(
ln
2
    
 
                           (4) 
Таким  образом,  знание  изотерм  сорбции  и  химического  потенциала  нам  необходимо  для 
определения  интенсивности  массообмена  между  фазами,  зависимости  капиллярного  давления  от 
влагосодержания и удельной теплоты сорбции. 
Для объяснения изменения влагосодержания на границе соприкосновения двух пористых тел 
А.В.Лыковым  /2/  вводится  понятие  потенциала  переноса   
M

     влаги    в  пористых  телах.    В  
экспериментальной    работе        /2/  установлено,  что  в  состоянии  равновесия  место  равенство 
капиллярных  давлений  (Р"  =Рn-Р
ж
)  в  порах  по  всему  объему  системы.  Используя  основные 
положения теории многофазной фильтрации, запишем законы переноса для каждой из фаз; 
,
)
(
n
n
n
n
P
kf
U






   
 
 
                     (5) 
,
)
(
æ
æ
æ
æ
æ
P
kf
U






 
 
 
                      
(6) 
Для  замыкания  уравнений  (5)-(6)  в  классическом  варианте  теории  фильтрации  используют 
функцию мгновенной насыщенности 
),
(
)
/
)(
cos(
2
/
1
æ
æ
n
I
k
m
P
P





    
                             
(7) 
Поверхностное  смачивания  α-сложные    функции    температуры    и  для    реальных  сред 
неизвестны,  поэтому  расчеты  таких  задач,  как  капиллярная  пропитка  в  температурном  поле, 
отсутствуют. Для замыкания (5)-(6) будем использовать соотношение (1)-(7). 
При исследовании течений смеси учитывают изменение давления и удельного объема газа, а 
также конвективный перенос энергии в простейшем варианте уравнение энергии имеет вид 






;
)
(
1



























k
Ðæ
æ
æ
Ð
T
ÐÒ
mP
I
L
T
T
C
C
m
C
m
                                    (8) 
где L = r
с
+r
o
 ,r
0
 - теплота испарения свободной воды. Полученная система  уравнений и замыкающих 
соотношений (1)-(8) применима в задачах термообмена в процессе сушки сорбции и фильтрации. 

47 
 
Таким  образом,  в  начальный  момент  времени  возникает  волновое  движение  пара,  причем 
фронт  максимального  давления  смещается  по  внутренней  части  образца  и  достигает  максимума  на 
оси  симметрии.  Поля  влагосодержаний  в  что  вследствие  процессов,  можно  характеризовать  как 
термовлагопроводность влагосодержание, где увеличиваться в центральных частях образца. 
Коэффициенты диффузии жидкости: выявляет действие капиллярных сил, которые приводят 
к  более  быстрому  перемещению  зоны  испарения  удалению  влаги  вследствие  ее  миграции  к 
поверхности частицы. 
Режимы  резания,  удовлетворяющие  одновременно  всем  или  хотя  бы  двум  критериям 
оптимальности  (например,  минимальная  себестоимость  и  заданная  точности  обработки), обычно  не 
совпадают между собой. Поэтому имеется возможность выбора режимов резания, при которых лишь 
один  критерий  оптимальности  имеет  экстремальное  значение  (минимум  или  максимум).  Для 
конкретных  условий  обработки  сочетание  скорости  резания  и  подачи  может  обеспечить  полный 
минимум  себестоимости  обработки.  В  том  же  случае,  если  выбор  подачи  или  скорости  резания 
определяется  какими  –  либо  иными  факторами,  можно  получить  лишь  приблизительный  минимум 
себестоимости  обработки  –  или  по  скорости  резания,  или  по  подаче  (если  подача  оказывает 
значительное влияние на стойкость инструмента).Скорость резания, соответствующая минимальной 
себестоимости,  всегда  меньше  скорости  резания,  при  которой  производительность  обработки 
максимальна.  Чем  дешевле  режущий  инструмент  и  меньше  доля  затрат  на  него,  тем  выше  по 
себестоимости  оптимальная  скорость  резания    и  тем  ближе  она  подходит  к  оптимальной  по 
производительности скорости резания. 
 

жүктеу/скачать 6,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: