Шур-Конн тұрақтылығының алгебралық критерийлері

1 w _n


a_n (_{1 w})
1 w a_n1 (_{1 w})


n1
......a_0
 D(w)
(1 w) ^k

, (9.8)

мұндағы D(w) –жаңа айнымалы w-дан болған, дәрежедегі кӛпмүше, осыған қоса:

D(w)  b wⁿ  b w^n1  ....  b _{. (9.9)}
n n1 0
D(w) кӛпмүшесінің түбірлері нақты теріс бӛліктерінің керекті және қажетті болуы үшін, Гурвицтың барлық анықтағыштары оң болуы керек.
Мысал ретінде, n=2 екінше ретті жүйені қарастырайық. n=2 болған кездегі теңдеу (9.9):

1 w ₂
1 w
a (1 w)²  a (1 w)(1 w)  a
(1 w)²

a₂ (
1 w⁾
 a₁ (
1 w
)  a₀  ^{2 1 0} 
(1 w)²

(a  a  a )w²  (2a  2a )w  (a  a  a ) b w²  b w  b
_ 2 0 1 2 1 2 1 0 _ 2 1 0 _,
(1 w)² (1 w)²


мұндағы, ^b₂ ^{ a}₂ ^{ a}₀ ^{ a}₁ ; ^{b1  2a2  2a1} ; ^b₀ ^{ a}₂ ^{ a}₁ ^{ a}₀ .

Егер D(w) кӛпмүшесінің коэффиценттері оң болса, екінші реттегі

жүйелер үшін Гурвиц анықтауыштары оң болады, яғни Егер
b₂ 0, b₁ 0, b₀ 0 _.

a₂  a₀  a₁  0,

2a₂  2a₀  0
или
a₂  a₀ ,

a₂  a₁  a₀  0.
(9.10)
болса, онда жүйе тұрақты болады.
Осы 9.10 теңдеу екінші ретті жүйелер үшін Шур-Конн алгебралық критерийі деп аталады.
Үзіліссіз жүйеге қарағанда 1-ші ретті цифрлық жүйе тұрақсыз болуы мүмкін. Жүйенің тұрақтылығы Т кванттелуінің периодына тәуелді болады.

3. Таза кешігу үзбесімен ЦЖ тұрақтылық талдауы

  ¹
Ñ

T

1
1
_ 1
0,1
 10c^1,
  ¹
2
C

T

2
_ 1
0,01
 100c^1.

Логарифмдік кешенді беріліс, жіберу коэффициенті мынаған тең:

L()  20lg100  20lg
 20
1 0,01 ² .

ФЖХ τ = 0,01с ескерсек жүйе мынаған тең:

()  arctg0,01  arctg0,1    arctg0.01  arctg0,1  0,01.

ЛАЖХ-тан ω_ср = 400 с^-1 қиылу жиілігі алынған және аумалы жиілік ω_кр

= 100 с^-1 алынған. ФЖХ кешігу үзбесінің иілу бұрышы кесілу жиілігі болғанда φ_τ(400) = 400 ∙ 0,01 = 4 рад = 230^о.
Найквист критерийіне сай ω_кр<ω_ср, тиісінше, жүйе тұрақсыз. τ кешігу уақыты азайған сайын кванттелу ізі де азая бастайды және тиісінше, цифрлау қателігіде азая бастайды.

Берілген қатынастан:
_{z } 1  w _.
1  w
(10.1)

_{w } z  1_.
z  1
(10.2)

Мәніне ^{z  e jT}
 cosT 
^{j sinT} қойып, нәтижесінде:

_e jwT _1
w  _{e jwT 1} 
_e jT / 2
_e jwT / 2
_e jwT / 2
^1  _e jwT / 2 _{ e} jwT / 2
_e jwT / 2 _{ e} jwT / 2
 jtg(^T ).
2

(10.3)

_e jwT / 2 ^1

аламыз.

Бұл жағдайда, бірлік шеңбер Z- жазығында комплексті W- жазықтығында жорамал осьі бейнеленеді. Z- жазықтығындағы бірлік шеңбердің ішкі ауданы W- жазықтығының сол жақ жартысына сай келеді, ал оң бағыт жорамал осьтің жиілік диапазонына сәйкес келеді 0<ω<ω_s.
Егер кешенді айнымалы w мына түрде болса:
w    j. ^(10.4)

Ондай болса (10.3) нәтижесінде:

  tg^{T } ,

(10.5)

_ ₂ _

w жиілігі мен арасында байланыс орнататын  . Аз мәндері кезіндегі
ωТ/2 есептеулерде:

  tg^{T }  ^T .
(10.6)

_ ₂ _{ 2}

Сондықтан аз мәндер кезінде жалғанжиіліктердің ωТ/2 ӛлшемін жай жиілікпен алмастыруға болады, ол үшін абсолюттік жалғанжиілікте λ енгізіледі (10.6) нәтижесінде:

Кезегінде,

  ^{ T }  

^{2     } . (10.7)
T
және w мен абсолюттік λ жалғанжиілік

 
 ² 
арасындағы байданысты есептей отыра аламыз (10.6):

w  j ^T
2
 ^{. (10.8)}

2. ЦЖ логарифмдік жиілік сипаттамасы

Бисызықтық түрлендірулер нәтижесінде АФ бейнесі, ажыратылған ЦЖ ішіндегі ЛАЖХ құрылғылары қиыншылық кӛрмейді.

1. 
   мысал. Үзіліссіз АФ бӛлшектері ажырытылған ЦЖ- та мына қалыпта болады:
   

W ( p)  ^K

• 
  KT₁
  

 W ( p)  W

( p).

_{p 2 p} 1 2
W₁(p) және W₂(p) үшін z-түрлендіруді тапсақ:

z  1 ^ K ^
z  1 T ² z(z  1)K
KT ² (z  1)

W₁ (z) 
^{z Z } p  p ^{2  }

^z 2(z  1)³
 ,
2(z  1) ²

 

W (z) 
z  1 _Z <sup> KT1

</sup> _ z  1 _ ^{Tz  KT1}

_ KT  T_{1 .}

^{2 z  p  p  z} (z  1) ²
z  1

Онда
 

 ^T1 

^ ^{z  1} _{ 2} ^{T1 }

_KT 2 _^{(z  1)  2(z  1)} _
^{KT 2 } z 1^ T ^

W (z)  W₁(z)  W₂ (z) 
_ T <sub> 

</sub>  _.

(10.9)

2 _ (z 1)²

_ ² 
_ _
^{z  1} 
_

z орнына қою арқылы, w-түрлендіруінде АФ табамыз (10.1):

^ ¹ _ ^2T1 _{(1  w)} ^


^1  w ^{2T1 }(1  w) ^

^{KT 2 } w T ^
 _KT ² ^ _T ^ 

W (w) 
_  _{ 
}  _,

мұнда ^{1  w }

w
⁴ 
_
2 _.
z  1
^w  ⁴  ^w2 
_ _ _

(10.8) пайдалана отырып, жиілікті жіберілетін функцияны аламыз:

^_{1 j} ^T _ ^2T1 _ _{1 j} ^T _ ^


K (1 jT)^1 j ^T  ^

KT ^{2 }
_{2 T} 
₂ _
 ₂ 

W ( j) 
_  _{ }   _.

(10.10)

4 _
_
W(jλ) модулі тең:
( j)²
_{ T} 2
4

_


^ T ^{2 }

( j)²

2

K  1  ^{ }
4

W ( j)
 A()  ^{ } .
_2
(10.11)

Фаза-жиіліктік сипаттамасы:

()  180⁰  arctgT  arctg ^T .

(10.12)

1 ₂
ЛАЖХ және ФЖХ үзіліссіз жүйе секілді ережелермен құрылады (10.1 сурет). Минималды емес-фазалық түйін түрінде кӛрсетілетін және (10.10)

алымына кіретін мүшенің амплитудалық сипаттамасы
(1 j ^T ) , жылдамдату
2

түйініне ұқсайды. Бұл түйін ЛАЖХ λ аз мәндерінде 0-дік бұрышпен иілу амплитудасын және үлкен λ кезіндегі түзу сызықты +20 дБ/дек иілуін кӛрсетеді. бұл екі түзу λ = 2/Т кезінде қиылысады. Бұл түйін ФЖХ инерциялық түйін сипаттамасымен сәйкес келеді және λ = 2/Т жиілігінде -45⁰ фазалық жылу туғызады.

10.1 сурет – ЛАЖХ және ФЖХ цифрлық жүйесі

Егер үзіліссіз жүйе АФ мен цифрлық жүйе (10.10) АФ салыстырсақ, онда олардың кӛбейткішке (1-j(T/2)λ) дейін сәйкес екенін кӛруге болады. Осыған орай, тӛменгі жиіліктер аймағында цифрлық жүйелер сипаттамасы үзіліссіз жүйе жиіліктік сипаттамасымен сәйкес келеді.

Сызықтық цифрлық жүйе АФ алу жолы келесідей:
а) ашық цифрлық жүйенің W(p) үзіліссіз бӛлігіне АФ алу;
б) ω-ді λ-ға ауыстыра отырып және алынған мәндерді (1-j(T/2)λ) ӛлшемге кӛбейте отырып жалғанжиілікке ӛту.
Осы жолмен алынған ЛАЖХ және ФЖХ, 2/Т –дан аз жиіліктерге жарамды.