Лекция Жиын ұғымы, элементі
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция мақсаты
| Лекция 17. Теңдеулер
1. Бір айнымаласы бар теңдеулер ұғымы, теңдеулердің мәндестігі. 2. Сызықты және квадрат теңдеулер. Теңдеулер жүйесі. Лекция мақсаты: 1.Бір айнымалысы бар теңдеулерді шеше білу. 2.Сызықтық, квадраттық теңдеулердің қасиеттерін есеп шешуде пайдалан алу. Теңдеулердің анықтамасы. Теңдеулердің түбірлері. Айнымалысы бар f (x) =g (x) теңдігі бір х айынымалы теңдеу деп аталады. f (x) пен g (x) өрнектері мен сандық сәндер қабылдайтындай айнымасының әрбір мәні теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу дегеніміз оның барлық түбірлерін табу немесе оның түбірлері жоқ екенін дәлелдеу. 1.Мысал. 3+х=7 теңдеуінің жалғыз (бір ғана) түбірі бар: 4, өйткені айнымасының осы және тек қана осы мәнінде 3+х=7 дұрыс теңдік болады. 2.Мысал. (х-1) (х-2) = 0 теңдеуінің екі түбірі бар: 1 мен 2. 3.Мысал. х2+1= 0 теңдеуінің нақты түбірі жоқ. Теңдеулердің жорамал түбірлері туралы да сөз етуге болатынын атап өтейік. Солай, х2+1= 0 теңдеуінің екі жорамал түрі бір бар. х1 = і х2 =і. Теңдеулердің пара-парлығы. Бірдегі (ортақ) түбірлері бар теңдеулер пара-пар теңдеулер деп аталады. Түбірлері жоқ болатын теңдеулер де пара-пар теңдеулер деп есептеледі. Масалы, х+2=5 пен х+5=8 теңдеулері пара-пар, өйткені олардың әрқайсысының бір ғана (жалғыз) түбірі бар: ол 3 саны. х2+1= 0 мен 2х2+5= 0 теңдеулері де пара-пар – бұл теңдеулердің ешбірінің де түбірі жоқ. х-5= 1 мен х2= 36 теңдеулері пара-пар емес, өйткені біріншінің тек бір х= 6 түбірі бар, ал екіншісінің екі түбірі бар: 6 мен -6. Теңдеуді шешу процесінде оны қарапайымдау, бірақ берілгенге пара-пар теңдеулермен ауыстыруға болады. Сондықтан қандай түрлендірулер берілген теңдеулерді оған пара-пар теңдеуге көшіретінін білу маңызды. Егер теңдеудің қандай да бір мүшесін теңдіктің бір жағынан екінші жағына таңбасын өзгертіп көшірсек, онда берілген теңдеуге пара-пар теңдеу алынады. Мысалы, х2+2= 3х теңдеуі х2+2- 3х= 0 теңдеуіне пара-пар. Бір х айнымалысы сызықтық теңдеу деп ах = b (а = b – нақты сандар) түбіріндегі теңдеу аталады. а-айнымасы жанындағы коэффициент, b –бос мүше деп аталады. Сызықтық ах + b теңдеуі үшін үш жағдай болуы мүмкін а ≠ 0; бұл жағдайда теңдеудің түбірі b-ға тең; 0; b= 0 бұл жағдайда теңдеу түбірінде болады, ол кез келген х үшін дұрыс, яғни теңдеудің түбірі кез келген нақты сан; а = 0, b≠ 0; бұл жағдайда теңдеу түрін қабылдайды, оның түбірлері жоқ болады. а, b, с (а≠ 0) нақты сандар болғанда ах2+ bх+с= 0 түріндегі теңдеу квадраттық теңдеу деп аталады. Егер а = 1 болса, онда квадраттық теңдеу келтірілген, ал егер а≠1 болса, онда-келтірілмеген деп аталады. а, b, с сандарының атаулары мынадай: а – бірінші коэффициент, b–екінші коэффициент, с - бос мүше. ах2+ bх+ с = 0 теңдеулерінің түбірлерін формуласы бойынша табылады. Д=b2- 4ас өрнегі квадраттық теңдеудің дискриминанты деп аталады. Егер Д<0 болса, онда квадраттық теңдеудің нақты түбірі жоқ; егер Д=0 болса, онда – бір нақты түбірі бар болады. Д>0 болған жағдайда, квадраттық теңдеудің екі түбірі бар дейді. 1.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: а=2, b=-5, с=2 болғандықтан Д = b2- 4ас = (-5) 2, Д >0 болғандықтан теңдеудің екі түбірі бар, оларды табатын болсақ: . Сөйтіп, яғни, мен берілген теңдеудің түбірлері. 2.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: а=1, b=-6, с=9 болғандықтан екенін табамыз.яғни х = 3 – теңдеудің түбірі. 3.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі. а = 2, b = -3, с= 5 болғандықтан, бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Толық емес квадраттық теңдеулер. Егер квадраттық теңдеуінде екінші коэффициент b және бос мүше с нольге тең болса, онда квадраттық теңдеуді толық емес деп атайды. Толық емес теңдеулерді бөліп қарастыруымыздың себебі мынада-оның түбірлерін іздегенде квадраттық теңдеудің түбірлері формуласын пайдаланбауға болады, теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу ыңғайлы. 1.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: х (2х - 5) бұдан не х= 0, не 2х-5= 0, яғни х = 2,5. Сөйтіп, теңдеудің екі түбірі бар: о мен 2,5. 2.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: Теңдеудің екі бөлігін де 3-ке бөліп, , яғни екенін аламыз. Олай болса, не бұдан не бұдан Сөйтіп теңдеудің екі түбірі бар. және 3.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: Кез келген х үшін болғандықтан теңдеуінің түбірлері (нақты) жоқ. Теңдеулердің жүйелері мен жиынтықтары. теңдеуін қарастырайық. және екені айқын, ол теріс емес екі санның қосындысы әр қосылғыш нольге тең болғандықтан алдымен және теңдеулерін шешу керек, ал содан кейін олардың ортақ түбірлерін табу керек. теңдеуінің түбірлері 1 мен -1 сандары, ал теңдеуінің түбірі 1 мен 2 сандары болады. Ортақ түбір 1 саны болады, 01-бастапқы теңдеудің түбірі. Берілген теңдеулердің екеуінде (бәрі де) қанағаттандыратындай айнымалының мәндерін табу керек болған жағдайда теңдеулердің жүйесі берілген дейді. Мысалы, , . Әдетте жүйенің теңдеулерін бірінің астына бірін жазып, олардың алдына фигуралық жақша қояды. Айнымалы модуль белгінің ішінде болатын теңдеулер а санының модулі былай анықталады. 1.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: болса, онда не а = 2, не а = -2. Бұл берілген теңдеу 3х – 5= 2, 3х – 5= -2 теңдеулерінің жиынтығына пара-пар екенін білдіреді 3х – 5= 2 теңдеуімен х = 7/3 екенін табамыз; 3х – 5= -2 теңдеуінен х = 1 екенін табамыз. Жауабы: 2.Мысал. теңдеуін шешу керек. Шешуі: Егер болса, онда 2х – 8 және берілген теңдеу 2х – 8 = 3х +1 түріне келеді. Бұны былай жазуға болады. , 2х – 8 = 3х +1. 2х – 8 = 3х +1 теңдеулерінен х =-9 екенін табамыз. Алайда айнымалының бұл мәнінде теңсіздіг орындалмайды, олай болса, табылған мән х = - 9 берілген теңдеудің түбірі болмайды. Егер болса, онда және берілген теңдеу 8 – 2х = 3х +1. 8 – 2х = 3х +1 теңдеуінен х = 1,4 екеніңн табамыз. теңсіздігі дұрыс, олай болса, х = 1,4 берілген теңдеудің түбірі. Жауабы: х = 1,4. түріндегі теңдеуді геометриялық жолмен де шешуге болады. Теңсіздіктер. Айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу. Бір айнымалысы бар теңсіздіктерді шешумен байланысты негізгі ұғымдар. f (x) >g (x) теңсіздігі берілсін. Берілген айнымалысы бар теңсіздікті ақиқат сандық теңсіздікке айналдыратындай айнымалының әрбір мәні теңсіздіктің шешімі деп аталады. Айнымалысы бар теңсіздікті шешу оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдер жоқ екенін дәлелдеу болады. Шешімдері беттесетін (бірдей болатын) бір айнымалысы бір екі теңсіздік пара-пар теңсіздіктер деп аталады, дербес жағдайда шешімдері жоқ болатын екі теңсіздік пара-пар. Теңсіздіктерді шешкенде әдітте берілген теңсіздікті оған пара-пар, бірақ едәуір қарапайым теңсіздікпен ауыстырады; алынған теңсіздікті тағы да өзіне пара-пар қарайымдау теңсіздікпен ауыстырады. Т.1.Егер теңсіздіктің бір жағындағы қосылғышты қарама-қарсы таңбамен екінші жағына көшірсек, онда берілген теңсіздікке пара-пар теңсіздік ашылады. Т.2. Егер бір айнымалысы бар теңсіздіктің екі жағында бір ғана он санға көбейтсек, және бөлсек онда берілген теңсіздікке пара-пар теңсіздік ашылады. Т.3. Егер бір айнымалысы бар теңсіздіктің екі жағында да бір ғана теріс санға көбейтіп немесе бөліп, теңсіздік белгісін қарама-қарсыға ауыстырсақ, онда берілген теңсіздікке пара-пар теңсіздік аламыз. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|