Лекция Жиын ұғымы, элементі
Лекция 15. Математикалық өрнектер
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция мақсаты
| Лекция 15. Математикалық өрнектер
1.Сандық өрнек туралы ұғым және оның мәні. 2. Өрнектер және оның мәндері, теңбе-таңдік. 3. Теңбе-теңдік түрлендірулер. Лекция мақсаты 1.Сандық өрнек туралы ұғымды түсіндіру. 2. Кез келген есеп шығаруда өрнек құра алуы. Математикада әр алуан сөйлемдер қарастырылады. Солардың қайсы бірі табиғи тілдерден құралады, ал сөздер болса, өз кезегінде, қандай да бір алфавиттің әріптерінен тұрады. Енді кей біреулері арнайы математикалық таңбалардан /символдардар/ құралады. Ал математика тілінің алфавиті цифрлардан /таңба-белгілердің/, латын алфавитінің әріптерінен, арнайы символдардан />, <, =, , , , , /, жақшалардан, үтірлерден және т.б. тұрадьі. Математикалық алфавиттің таңбаларынан /символынан/ белгілі бір ережелер бойынша сөздер мен сөйлемдер тізіледі. Осындай сөйлемдердің мысалдарына мына сияқты жазулар жатады: 12:3+5; 4*45-(3+47) /арнайы/, (7+3)*5 / көбейтінді/, (7+32)/(3+4) /бөлінді/ және т.б., бұларды сандық өрнектер дейді. Сандық өрнек дегеніміз сандардан, амалдардың таңбаларынан және жақшалардан түзіледі /құрастырылады/. Жеке санның өзін де сандық өрнек деп есептейді. Өрнекте көрсетілген амалдарды біртіндеп орындаудың нәтижесінде шығатын санды санды өрнектің мәиі деп атайды. Сандық мәні болмайтын өрнектердің де болуы мүмкін. Мұндай өрнектер жайында, олардың мән-мағынасы болмайды дейді. Мысалы: 16:(5-5):п-16. Санды өрнекті есептеп шығарғанда амалдарды орындаудың рет-тәртібі жайындағы мынадай ережелерді басшылыққа алады. Егер саңдық өрнекте жақшалар болмаса, онда оны бір-бірінен қосу және азайту таңбалары арқылы ажыратылған бөліктерге бөліп, көбейтуді және бөлуді солдан оңға қарай ретімен орындап, әр бөліктің мәнін есептеп, сонан кейін әр бөлікті өзінің мәнімен ауыстырып, қосуды жеке азайтуды солдан оңға қарай ретімен орыңдап, өрнектің мәнін табады. Егер сандық өрнекте жақшалар болса, онда өрнектің сол жақтағы және оң жақтағы жақшаларының арасындагы бөлігін және басқада жақшалары жоқ бөлігін алып, сол бөліктердің мәндерін тауып жөне жақшаларды алып тастап, оларды шыққан мәндерімен алмастыру керек. Егер осыдан кейін жақшасыз өрнек шықса, оның мәнін есептеу керек. Арифметикалық амалдарды орындаудың рет-тәртібінің ережелері бойынша жақшасыз өрнектерде алдымен көбейту мен бөлуді (солдан оңға қарай ретімен), ал сонан кейін қосу мен азайтуды (солдан оңға қарай ретімен) орындауға келісілген. Демек, көбейту мен бөлу ІІ -ші, ал қосу мен азайту ІІІ-ші басқыштың амалдары деп есептеледі. Сонымен, алдымен екінші басқыштың, сонан кейін ғана бірінші басқыштың амалдары орындалады. Егер сандық өрнекте дөрежеге шығару /дәрежелеу/ және түбір табу амалдары болса, онда бұлар І-ші басқыштың амалдары деп есептеледі жөне де жоғарғы басқыштың амалдары болуы себепті, олар алдымен орыңдалады, ал содан кейін екінші басқыштың және ең соңында ІІІ-ші басқыштың амалдары орындалады. Егер тендік /=/ таңбасымен екі сандық өрнекті жалғастырып жазсақ, онда сандық тендік деп аталатын сөйлем шығады. Мысалы. 5+3-9-1; 3=45:15. Логика түрғысынан келсек, сандық теңдік дегеніміз -пікір, демек ол ақиқат немесе жалған болады. Сандық өрнектің теңдік қатынасы рефлексивтік, симметриялық және транзитивтік қасиеттерге ие, яғни эквиваленттік қатынас болып табылады. Айталық, р,q,r қандай да бір сандық өрнектер болсын, сонда: 1)р=р 2) р=q q=p 3)(p=qq=r) p=r 4)(р=^дл^=г)=>р=г Бұдан, егер р=q және f=t болса, мұндағы р, q,f,t- сандық өрнектер, онда сәйкес амалдардың орыңдалуы мүмкін болғанда, мына теңдіктердің де ақиқаттығы келіп шығады: 1) р+£=q+t ; 2) р-f=q-t ; 3) рxf=qxt ; 4) р:f=q:t Ақиқат сандық тендіктердің мынадай қасиеттері өте жиі қолданылады. Егер ақиқат р=q сандық теңдіктің екі бөлігіне мән-мағынасы болатын г сандық өрнекті мүшелеп қосса, онда шыққан р+г=q+г саңдық тендікте ақиқат болады, яғни (p=q)=>р+г=q+r. Егер ақиқат p=q сандық теңдіктің екі бөлігін де мән-мағынасы болатын г сандық өрнекке мүшелеп көбейтсе, сонда шыққан рг=qr сандық тендік те ақиқат болады. Егер "артық" немесе "кем"/>не Логика тұрғысынан келсек, сандық теңсіздік дегеніміз - пікір, демек, ол ақиқат немесе жалған болады. Осы жерде ескерте кетсек, сандық теңсіздік пен теңдік пікірлер болуы себепті, оларға коньюнкция, дизьюнкция, имплекация жөне т.б. логикалық операцияларды /амалдарды/ қолдануға болады. "Кем" /"артық"/ қатынастары-қатаң сызықты катынас болып табылады, яғни ол антисимметриялық және транзитивтік. 2а+3 жазуын қарастырайық. Ол математика тілі алфавитінің таңбаларынан, 2 және 3 цифрларынан, қосу амалы таңбасы "+" және а әрпінен құрастырылған. Егер а әрпінің орнына сан қойсақ, -әртүрлі сандық өрнектер шығады: а=3 болғанда 2*3+3; а=7 болғанда 2х7+3; а=-4 болғанда 2х(4)+3. 2а+3 жазуында а әрпі айнымалы, ал 2а+3 жазуының өзі айнымалысы бар өрнек деп аталады. Айнымалыны латын алфавитінің кез келген әрпімен белгілеуге болады. Бастауыш сыныпта айнымалыны белгілеу үшін латын әрпінен басқа таңба қолданылады. Мысалы, 2*+3 деп жазады. Осылайша, айнымалы-сандармен алмастыруга болатын таңба (символ). Өрнектегі айнымалының орнына қоюға болатын сандар айнымалының мәндері, ал мұндай сандардың жиыны-берілген өрнектің аныкталу облысы деп аталады. "Орнына қоюға болады" деген не? Өрнектегі айнымалының орнына санды қойғанда мағынасы бар сандық өрнек шығатындай болуы керек. Бірнеше мысалдар қарастырайық. 1. 3-4у өрнегінде айнымалы кез келген мәнді қабылдай алады, себебі у~тің кез келген мөнінде мағынасы бар өрнек шығады. Бұл жағдайда 3-4у өрнегінің анықталу облысы нақты сандар жиыны болып табылады 2. Егер 4/х-3 өрнегінде х-тің орнына 3 санын қойса, мағынасы жоқ сандық өрнек аламыз. Бірақ х-тің мөні бұдан өзгеше барлық басқа нақты сан болса мағынасы болатын сандық өрнек шығады. 4/х-3 өрнегінің анықталу облысы 3-тен басқа нақты сандар жиыны болады дейді, яғни (-, 3)(3, + ) жиыны. 3. х-2 өрнегі х-2>0 теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндерінде мағынасы бар сандық өрнекке айналады, яғни бұл өрнектің анықталу облысы [2, +) жиыны. Математикада бір, екі, үш жөне т.с.с. айнымалысы бар өрнектер қарастырылады. Жоғарыда қарастырылған өрнектер бір айнымалысы бар өрнектер. Зх+7у өрнегі екі айнымалысы бар, 5х(2у-7z) өрнегі үш айнымалысы бар өрнек. Сандық өрнектер сандар мен амал таңбалары және жақшалардан, ал айнымалысы бар өрнектер бұларға қоса әріптерден құралатынын тағы да еске сала кету керек. Егер тілдік мағынасын ескерсек, онда сандық және айнымалысы бар өрнектер, бұл математикалық сөйлем құрайтын сөздер. Бастауыш сыныпта оқушылар, сәйкесінше қосынды және айырма деп атай отыръш, 2+3, 7—4 түріңдегі жазулармен танысады. Одан соң күрделі құрылымды сандық өрнектер “математикалық өрнек”, "өрнектің мәні" терминдері пайда болады. Көбейту және бөлумен танысқаннан кейін көбейту және бөлу таңбалары бар сандық өрнектер қарастырылады. Оқушылар сандық өрнектің мәнін табады, кейде мәтіндік есептің жауабын сандық өрнек түрінде жазады, берілген өрнектер бойынша, есеп құрастырады. Мұндай тапсырмаларды орындауда оқушылар бүтін, теріс емес сандар жиынында мәні кездеспейтін өрнектермен кездеседі. Мысалы, 6~7 өрнегінде олар мәнін табуға болмайтынын айтады, себебі кіші саннан үлкен санды азайтуға болмайды. Әріпті өрнектермен жұмыс әріптің орнына мәнін қойып және пайда болған сандық өрнектің мәнін табуға тіреледі. Айнымалысы бар екі өрнек алайық; 5(х+2) и 5х+10. Бұл өрнектердің анықталу облысы R нақты сандар жиыны. х айнымалысының орнына R жиынынан мәндер қою арқылы пайда болған сандық өрнектердің мәндерін салыстырайық. х-тің 0, 2, 4 мәндерінде берілген өрнектердің сәйкес мөндері тең. А н ы қ т а м а. Егер өрнектің анықталу облысынан алынған айнымалының кез келген мәнінде өрнектің сәйкес мәндері тең болса, теңбе-тендік деп аталады. Айнымалының кез келген мәнінде тура болатын тендік теңбе-теңдік деп аталады. Бұған тура сандық тендіктер жатады. Мысалы, нақты сандарды қосу жөне азайту заңдары, қосындыдан санды.алу ережесі, қосындыны санға бөлу ережесі жөне т.б. теңбе-теңдікке жатады. Нөл жөне бірмен амалдар орындау ережесі де осыған жатады: а+о=о+а, ах0=0ха ах1=1ха, а:1=а. Осы және басқа да жалпы ережелерге сүйене отырып практикада берілген өрнектің сөйкес тең өрнекке түрленетінін түсіне отырып, өрнектерің теңбе-теңдігін орнатады. Мысалдар келтірейік. Өрнекті көбейткіштерге жіктейік: ах – вх +ав - вг. Берілген өрнектің мүшелерін екеуден топтаймыз (біріншіні екіншімен, үшіншіні төртіншімен) - бұл қосудың терімділік заңының негізінде теңбе-теңдікке түрлендіріледі: ах -вх+ав-в2 = (ах- вх)+(ав-в2)=х(а-в)(а-в)в=(а-в)(х-в) Қосуға қатысты көбейтудің үлестірімділік заңына негізінде ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз. (ах-вх)+(ав-в2)=х(а-в)+в(а-в)=(х+в)(а-в) алынған өрнекте ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз: Математиканың бастауыш курсында тек қана сандық өрнектердің теңбе-теңдікке түрлендірулері орындалады. Оның теориялық негізі қосудың көбейтудің орын ауыстырымдылық заңдары, қосындыға санды қосу, санға қосындыны қосу, қосындыдан санды азайту, т.с.с. ережелер болып табылады. Мысалы: 4*(5+10) өрнегінің мәнін былай табуға болады: 4х(5+10)=4х5+4х10=-0+40 =60, берілген өрнектен сәйкес 4*5+4*10 өрнегіне көшу санды қосындыға көбейту ережесі (қосуға қатысты көбейтудің үлестірімділік заңы негізінде) бойынша жүзеге асады, ал содан соң натурал сандарды қосу және көбейту ережелері қолданылады. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|