Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
Қазіргі кезде нақты сан ұғымын ерте бастан, 6-сыныптан бастап енгізілу себептері
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
| 4. Қазіргі кезде нақты сан ұғымын ерте бастан, 6-сыныптан бастап енгізілу себептері.
Практикалық есептеу жұмыстарын жүргiзу үшiн рационал сандар жиыны жеткiлiктi. Иррационал сандарды енгiзу ең алдымен математиканың iшкi қажеттiлiгiн қанағаттандыру үшін керек, мәселен олар мынадай есептердi шығару кезiнде байқалады. 2 санының квадрат түбiрiнiң мәнiн табуда. x2-2=0 теңдеуiн шешуде. Квадраттың диагоналын оның қабырғасы арқылы өрнектеуде. Ауданы 3-ке тең болатын квадраттың қабырғасын табуда. Сан түзуiнiң әрбiр нүктесiне сәйкес келетiн рационал санды табуда. Иррационал санды орта мектепте енгiзудiң мынадай тәсiлдерi бар: 1) Иррационал санды периодсыз шектеусiз ондық бөлшек түрiнде енгiзу (Вейерштрасс бойынша); 2) Иррационал санды Дедекинд қимасы арқылы енгiзу; 3) Кантор аксиомасы бойынша енгiзу; 4) «Квадраты екiге тең болатын рационал сан болмайды» теоремасын қарастыру арқылы. Мектеп оқулықтырында иррационал сан ұғымын енгізу үшін көбінесе осы соңғы тәсіл басшылыққа алынып жатады. Теорема. Бүкiл рационал сандардың iшiнде квадраты екiге тең болатын рационал сан болмайды. Дәлелдеу. «Рационал сандардың iшiнде квадраты екiге тең рационал сан бар» деп қарсы ұйғарайық және ол сан болсын, мұнда р мен q – ортақ бөлгiшi болмайтын бүтiн сандар, басқаша айтқанда, – қысқартылмайтын бөлшек, яғни (р,q)=1. Бiздiң ұйғаруымыз бойынша, немесе бұдан p2=2q2, Демек, р2 - жұп сан. Олай болса, р-нiң өзi де жұп сан. Сондықтан, оны былай жазамыз: р=2m (m-натурал сан). Ендеше, 4m2=2q2, q2=2m2. Бұдан q2 саны және q-дiң өзi де жұп сан деген қорытындыға келемiз. р,q - жұп сандар болатын болса, онда – қысқартылатын бөлшек болып шықты, басқаша айтқанда, р мен q –дiң ортақ бөлгiшi бар деген сөз. Ал бұл бiздiң бастапқыда р мен q-дiң ортақ бөлгiшi жоқ деп өзiмiз жасаған ұйғарымға қайшы. Мiне, осы қайшылық теореманың дұрыстығын дәлелдейдi. Бұл теоремаға геометриялық мағына беруге болады: егер қабырғасының ұзындығы бiрге тең квадратты салатын болсақ, оның диагоналының ұзындығын өрнектейтiн сан рационал сан болмайды. Сонымен таңбамен өрнектелетiн сан рационал сан емес. Бұл арадан рационал сандар өрiсiн кеңейту мәселесiнiң қажеттiлiгi өзiнен-өзi келiп шығады. Иррационал сандарды Кантор аксиомасы бойынша енгiзу. Сан түзуiнiң бойынан бiр-бiрiмен қабысып жатқан, ұштары рационал сандар болатын кесiндiлер [а1,b1],[а2,b2],…‚[аn,bn],… алынса және нөмiрлерi n ылғи өсiп отырып‚ шексiздiкке ұмтылғанда кесiндiлердiң ұзындықтары bn-аn нөлге ұмтылса, онда n қандай сан болса да, кесiндiлердiң бәрiне бiрдей ортақ жатқан тек бiр Е нүктесi табылады, яғни . Мiне осы Е нүктесiн нақты сан деп атайды. Е рационал не иррационал сан болуы мүмкiн. Иррационал санды шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде енгiзу (Вейерштрасс бойынша). Иррационал сан деп қандай санды айтады? Бұл сұраққа жауап беру үшiн мына символымен өрнектелетiн санды қарастырайық. Әрбiр рационал сан шектелген немесе шектеусiз периодты ондық бөлшек түрiнде жазылады. Ал саны ондай бөлшекпен жазылмайды. Бұл санға жақын келетiн рационал сандар бар, мәселен 12 = 1 < 2 < 22 = 4; (1,4)2 =1,96 < 2 < (1,5)2 = 2,25; (1,41)2 = 1,9881 < 2 < (1,42)2 = 2,0264; (1,414)2 = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,002225; (1,4142)2 = 1,9999164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449; ………………………………………………………………….. мiне, осы процестi әрi қарай шектеусiз жалғастыра беруге болады. Байқасақ, санға жуық келетiн рационал сандар периодсыз шектеусiз ондық бөлшектер екен. Бұл жөнiнде мынадай пiкiрдi айтуға болады: түзу бойындағы рационал санға сәйкес келмейтiн М нүктесi мына түрдегi а0 , а1 а2…аn‚… периодсыз ондық бөлшектiң геометриялық кескiнi болып табылады. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|