Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
| Анықтама. Периодсыз шектеусiз ондық бөлшектер түрiнде жазуға болатын сандарды иррационал сандар деп атайды. Мысалы, ,‚ - иррационал сандар.
Иррационал сандарды геометриялық түрде кескiндеу үшiн сан түзуi мен Пифагор теоремасы қолданылады. Мысалы, cаны сан түзуiнде геометриялық түрде былайша кескiнделедi (3-сурет): - 3-сурет Сан түзуiндегi рационал сан мен иррационал санның орналасуы туралы мына мысалды қарастырған пайдалы: Айталық сан түзуiндегi әрбiр рационал сан көк лампамен, ал әрбiр иррационал сан - қызыл лампамен кескiнделетiн болсын. Көк лампаны жақсақ онда координата өсiнiң кейбiр нүктелерi «көк түске» боялады. Егер тек қызыл лампаларды жағатын болсақ, онда сан түзуi «қызыл түске» боялады. Барлық лампаларды (көктi де, қызылды да) жағатын болсақ, онда сан түзуi – «қызыл түске» боялады. Бұл тәжiрибе ненi көрсетедi? Осыған ұқсас салыстыруды кезiнде мысалға Н.Н.Лузин келтiрген болатын. Рационал сандар жиынында сандар қаншама тығыз орналасқанымен арасында “саңылау” кездеседi, осы “саңылауды” бiтеу керек болады, ол үшiн иррационал сан ұғымы енгiзiлiп, рационал сандар жиынындағы “саңылаулар” бiтеледi. Нақты сандарға арифметикалық амалдар қолдану әдiстемесiн қарастырайық. Көпшiлiк оқулықтарда иррационал сандар шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде (Вейерштрасс бойынша) анықталады. Шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiндегi сандардың негiзiнде нақты сандар ұғымы 6 сынып оқушылары үшiн де түсiнiктi болып табылады. Нақты сандарды оқытуды ертерек бастау оқушылардың сандар туралы жүйелi бiлiмнiң қалыптасуын тездетедi, практикалық есептеу жұмыстарын жүргiзудi толығырақ қамтамасыз етедi, функцияның кейбiр мәселелерiн қатаң түрде баяндауға мүмкiндiк бередi және т.с.с. Алайда мынадай сұрақтар туындайды: «шексiз периодсыз ондық бөлшектерге амалдарды қалай жүргiзуге болады?», «шексiз периодсыз ондық бөлшектердi шектi периодты ондық бөлшектер сияқты қосуға, алуға, көбейтуге және бөлуге бола ма?» Бұлай етуге болмайтындығын түсiну оңай. Шектi бөлшектердi қосқанда олардың шектi екендiгi ескерiледi. Сондықтан да оларға қосу амалын соңынан бастап орындайды: алдымен ең кiшi разрядының бiрлiк үлестерi қосылады, одан кейiн оған қарағанда үлкен разрядтарының бiрлiктерi қосылады және т.с.с. Қосу амалын керi тәртiппен орындауға болмайды, өйткенi ондық санау жүйесiндегi бiр разрядтың он бiрлiгi келесi разрядтың бiр бiрлiгiн құрайды. Мынадай оқу проблемасы туындайды: екi шексiз периодсыз ондық бөлшектердiң қосындысы деп ненi айтады? Шексiз периодсыз ондық бөлшектерге қолданылатын арифметикалық амалдардың мағынасын түсiндiру оңай емес. Олардың геометриялық мағынасын түсiндiру жеңiл. ұзындықтары және болатын екi кесiндiнi (сәйкес тiк бұрышты үшбұрыштардың гипотенузалары ретiнде) бiртiндеп бiр түзудiң бойына салуға болады. Нәтижеде ұзындығы болатын жаңа кесiндi пайда болады. Қабырғалары және болатын тiктөртбұрышты салуға болады. Бұл тiктөртбұрыштың ауданы -ке тең. Бұл талқылаулардың әдiстемелiк мақсаты қандай? Оларды мүмкiндiгiнше нақтылай түсейiк. Белгiлi 2 және 3 сандарын алып, оларды мынадай жаңа ереже бойынша қосайық: Бұл сандарды шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде өрнектейiк: 2=2,00000…. 3=3,0000… берiлген сандардың артығымен және кемiмен алынған жуықтауларын қарастырайық: Санның жуық мәнi Санның жуық мәнi 2=2,0000… 3=3,0000… 2 3 3 4 2,0 2,1 3,0 3,1 2,00 2,01 3,00 3,01 2,000 2,001 3,000 3,001 2,0000 2,0001 3,0000 3,0001 2,00000 2,00001 3,00000 3,00001 2,000000 2,000001 3,000000 3,000001 2,0000000 2,0000001 3,0000000 3,0000001 … … … … Cонда 2+3 қосындысының мынадай тамаша қасиетке ие болатындығын аңғару оңай: Бұл теңсiздiктерден 2+3 қосындысының бүтiн бөлiгi 5-ке тең, ал әрбiр үтiрден кейiнгi ондық таңбасы - 0-ге тең. Қосудың осындай әдiсiн кез келген екi периодсыз ондық бөлшектердi қосу үшiн қолдануға болады. Екi нақты сандарды көбейту амалы да осы сияқты орындалады. Азайту мен бөлу амалдары сәйкесiнше қосу және көбейту амалдарына керi амал ретiнде орындалады. Нақты сандарға арифметикалық амалдар қолдану нақты санның кемiмен және артығымен алынған ондық жуықтаулары арқылы былайша жүргiзiледi: саны үшiн санын -не дейiнгi дәлдiкпен (немесе n таңбаға дейiнгi дәлдiкпен) кемiмен алынған ондық жуықтау деп, ал санын -не дейiнгi дәлдiкпен артығымен алынған ондық жуықтау деп атайды. Нақты сандарды салыстыру ережелерiнен болатыны шығады. Ондық жуықтаулардың көмегiмен нақты сандарды қосу және көбейту операциялары анықталады. Бұл анықтамалар мынадай ой-пiкiрден туындайды. Егер х пен у - рационал сандар болса, онда х+у қосындысы анықталған, мұнда кез келген n үшiн теңсiздiгi орындалған болады. Қосындының бұл қасиетi кез келген иррационал сан үшiн сақталуы тиiс. Математикалық анализ курсында нақты сандарды кез келген х және у жұбы үшiн, болғанда, теңсiздiгi орындалатындай бiр ғана z саны бар болатындығы дәлелденедi. Бұл z санын х пен у сандарының қосындысы деп атайды (х+у деп белгiлейдi). Терiс емес нақты сандардың көбейтiндiсi соған ұқсас анықталады. Терiс емес нақты сандардың кез келген жұбы х және у үшiн теңсiздiгi орындалатындай бiр ғана z саны бар болатынын дәлелдеуге болады. Бұл z санын х пен у сандарының көбейтiндiсi деп атайды да, ху арқылы белгiлейдi. Таңбалары әртүрлi нақты сандар үшiн, терiс емес және сандарының көбейтiндiсi анықталғандығы пайдаланып, деп ұйғарады: басқа жағдайларда . Азайту қосу амалына керi амал, ал бөлу - көбейту амалына керi амал ретiнде анықталады. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|