Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
| 2-теорема.Егерf жәнеgфункцияларының анүктесiндешектерi барболсажәнеgфункциясының шегi нөлденөзгешеболса, ондасолнүктедебөлiндiнiң шегi барболадыжәне
Қазiргi кезде қолданылып жүрген А.Н.Колмогоров оқулығында “Туынды және және оның қолданылуы" деп аталатын тақырыпта функцияның үздiксiздiгi және шекке көшу туралы түсiнiк берiледi. Математикалық талдаудағы аса маңызды функцияның нүктедегi шегi мен үздiксiздiгi тек индуктивтi түрде енгiзiледi. А.Н. Колмогоров оқулығында функцияның нүктедегi шегi ұғымы былайша баяндалатын. Алдымен функцияның нүктедегi шегi туралы түсінік беріледі. Функцияның нүктедегi шегi туралы ұғыммен окушылар физика курсында лездiк жылдамдықты анықтағанда кездестiргені еске түсіріледі. Мысал ретiнде дененiң еркiн түсуi қарастырылады:жол S, уақыт t-нiң функциясы ретiнде формуласымен берiледi. Қандай да бiр t0 уақыт мезетiн таңдап алайық және t0мезеттен t=t0+t мезетке дейiнгi t уақыт аралығын қарастырайық. Осы уақыт аралығында дене мынадай жол жүредi: . Физикада қатынасыдененiң уақыт аралығындағы орташа жылдамдығы деп аталады. -тұрақтыболғандабұлорташажылдамдық-нiң функциясыболады: (1) tазшамаболғандаорташажылдамдықтың-денайырмашылығыөтеазболатынын (1) формуладанкөремiз. Мысалы, нөлгежуықтайтынқандайдабiрtуақытаралықтарындаt0=2 болғанда мәндерi мына кестемен берiледi (оңай бiлу үшiн g=9,8 деп есептеймiз):
бұдан, егер t нөлге неғұрлым жуық мәндердi қабылдайтын болса, онда vор-нiңсәйкес мәндерi мәнге жуықтайтыны айқын көрiнедi. Мұны басқаша айтуға болады: t нөлге ұмтылғанда vоржылдамдық vошекке ұмтылады, оны уақыт мезетiндегi “лездiк”жылдамдықдеп есептейдi. Былайша жазу қабылданған: . Бұдан кейiн тағы да бiр мысал қарастырылады. Өлшеулер жүргiзiп, қабырғасының ұзындығы a-ғатең квадрат пластинканың р периметрiн берiлген дәлдiкпен (- оң сан) табу керек болсын. Ол үшiн пластинканың қабырғасыныңұзындығын дәлдiкпен өлшеу жеткiлiктi болады. Шынында, егер х - бiздiң өлшеулерiмiздiң нәтижесi және болса, онда былай болады: . Ал р=4а болғандықтан, соңғы теңсiздiк болатындығын көрсетедi. Сонымен, кез келген >0 үшiн барлық х мәндерiа-ға жеткiлiктi жуық болғанда (дәлiрегi, х мынадай теңсiздiктi қанағаттандырғанда: )f(x)=4xфункциясының мәндерiнiң р=4а санынан айырмашылығы -нан кiшi болады. Шыққан нәтиженi былайша тұжырымдаған орынды: f(x)=4x функциясының х-тiң а-ға ұмтылғандағы шегi 4а-ға тең; ^. Бұл жазылу қысқаша түрде былай оқылады: f(х)=4х функциясының анүктесiндегi шегi 4а-ға тең. Жалпы былай айтады: егер кемiгенде (мұндағы айырмасы мейлiнше аз, яғни кез келген белгiлеп көрсетiлген >0 санынан кем болып шықса, онда х саны х0-ге ұмтылғанда, f функциясы L санына ұмтылады (х=x0 мәнi лездiк жылдамдық анықталатын есептегi сияқты мұнда да қарастырылмайды). орнына, әрине, деп жазуға болады. f функциясы бойынша L санын табу шекке көшу деп аталады. Бұдан әрi қарай төмендегi негiзгi екi жағдайда шекке көшумен кездесетiндiгi айтылады. Бiрiншi жағдай, бұл айырмалық қатынасында шекке көшу, яғни туындыны табу. Екiншi жағдай, функцияның үзiліссіздік ұғымымен байланысты. Егер жағдайда болса, онда бұл функцияны х0 нүктесiнде үзiліссіз деп атайды. Мұнда аз болғанда те аз болатыны, яғни х0 нүктесiндегi аргументтiң аз өзгерулерiне функция мәндерiнiң де аз өзгертулерi сәйкес келетiнi шығады. Нүктедегi шегi бар функциялардың негiзгi қасиеттерi мынадай ереже бойынша түсiндiрiлген. Ереже. кезде f(x)A, g(x)B болсын. Сонда (яғни ) кезде: а) f(x)+g(x)A+B; б) f(x)g(x)AB; в) болғанда) Шекке көшу ережелерi функциялардың үзiліссіздігін дәлелдегенде және дифференциалдау формулаларын қорытып шығарған кезде кең қолданылады. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар мен мектептерде функцияның нүктедегi шегi ұғымының анықтамасын беру үшін мынадай нақтылы мысалдан бастауға болады. функциясын және оның графигiн қарастырайық. х аргументтiң 1-ге тең мәнiн алсақ, оған сәйкес келетiн функцияның мәнi 3 болады. Бұлар 2-суреттеС және K нүктелерiмен кескiнделiп көрсетiлген. 3-тiң >0 маңайында, яғни функцияның (3-;3+) аралығында жатқан мәндерiн қарастырайық. МК=KN=, ал (3-;3+) аралығы Oу өсiнiң М және N нүктелерiнiң аралығында жатқан нүктелерiнiң жиынымен өрнектелген. Демек, осы аралықта жатқан функцияның мәндерi үшiн |3-f(x)|< (1) теңсiздiгi орындалады. Ендi тәуелсiз айнымалы х-тiң қандай мәндерiнде f(x)=2x+1 функциясының мәндерi (3-;3+) аралығында жатады немесе бәрiбiр (1) теңсiздiк орындалады? –деген сұрақ туады. Ол үшiн Оу өсiндегi проекциялары М және N болатын, берiлген функцияның графигiнде жатқан D және F нүктелерiн Oх өсiне проекцияласақ, А және В нүктелерiн аламыз. Әрине, AC=CB,AC=CB= (>0) деп белгiлесек, А жәнеВ нүктелерiнiң аралығында жатқан немесе |х-1|< (2) теңсiздiгiн қанағаттандыратын барлық х-тер үшiн (1) теңсiздiк орындалады. Сонымен, (2) теңсiздiк аргумент х-тiң (1) теңсiздiктi қанағаттандыратын жеткiлiктi шарты болады. Мұндағы саны -ға байланысты болып отырады. Шынында даА нүктесiнiң орны D-нiң орнына, ал D-нiң орны М нүктесiнiң орнына, М нүктесiнiң орны МК кесiндiсiнiң ұзындығына, -ға байланысты болады. А нүктесiнiң орыны санымен де анықталады. Олай болса, саны -ға байланысты болады, яғни= (). Аргумент x-тiң (1) теңсiздiк орындалатын мәндерiнiң жиынын суреттi пайдаланбай да табуға болады. Ол үшiн алдын ала>0 санын алып, (1) теңсiздiктi бiртiндеп түрлендiрелiк. Сонда: . (3) Әрине, (3) теңсiздiктен (1) теңсiздiктiң дұрыстығы шығады. Олай болса, (1) теңсiздiк орындалуы үшiн саны ретiнде –нi алса болғаны. Сонымен бiз берiлген >0 санына сәйкес >0 саны табылатынын және |x-1|< теңсiздiгiн қанағаттандыратын барлық x-тер үшiн (1) теңсiздiктiң орындалатын көрсеттiк. Мiне, осы жағдайда 3 санын f(x)=2x+1 функциясының x айнымалысы 1-ге ұмтылғандағы шегi дейдi және былай жазады: . Аргумент x-тiң ұмтылған санды а-мен ал f(x) функциясының шегiн А-мен белгiлесек, онда қарастырылған мысалды негiзге алып, функцияның шегiнiң жалпы анықтамасын былай беруге болады. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|