4. Туындының анықтамасы және оның геометриялық мағынасы. Функцияның туындысын табу. Туынды табу ережелері. Функцияның берiлген нүктедегi туындысының анықтамасын тұжырымдайық Ол үшін мынадай математикалық терминдер қолданылады: функция, функцияның өсiмшесi, аргументтiң өсiмшесi, қатынас, қатынастың шегi.
кесiндiсiнде анықталған функциясы берiлсiн. Осы кесiндiнiң нүктесiн алып, кесіндісінде анықталатындай етiп, аргумент х0-ге х өсiмше берейiк: Бұл өсiмшеге сәйкес y-тiң өсiмшесiн y деп белгiлейiк.
Туындының анықтамасы.Егер функция өсiмшесiнiң аргумент өсiмшесiне қатынасының аргумент өсiмшесi -да шегi бар болса, онда оны f(x) функциясының x0 нүктесiндегi туындысы деп атайды:
.
Туындының х аргумент бойынша алынаған болса, оны деп те белгiлейдi. Анықтамадан функцияның берiлген нүктедегi туындысы бар болса, әрқашанда ол белгiлi сан болатынын байқаймыз. Берiлген функцияның туындысын табуды дифференциалдау дейдi. Функцияны дифференциалдау және туындысы бойынша функцияның қасиеттерiн зерттеу дифференциалдық есептеулердiң негiзгi мәселесi болып табылады.
Туындының анықтамасынан f(x) функциясының х0 нүктесiндегi туындысы дегенiмiз: 1) x0-дағы, 2) қатынасының шегi; 3) сан болатандығы оқушыларға айтылу керек.
Бiз жоғарыда туындының анықтамасын оның физикалық мағынасына сүйенiп, қозғалыстағы дененiң орташа жылдамдығын табу туралы механикалық есептi шығаруға байланысты анықтадық.
Туынды ұғымын қисықтың берiлген нүктесiне жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн құру туралы геометриялық есепке сүйенiп те анықтауға болады.
Функцияның туындысын табу алгоритмі.Туындының анықтамасы тұжырымдалып айтылғаннан кейін мынадай сұрақ туындайды: «f(x) функциясының х0 нүктесiндегi туындысын қалай табуға болады?» Бұл сұрақтың жауабы мынадай алгоритмдер арқылы жүзеге асырылады:
1) аргументi x=x0-ге x өсiмше беріледі: ;
2) f(x) функциясының х0 нүктесiндегi өсiмшесi табылады: f(x0)=f(x0+x)–f(x0);
3) қатынасын құрамыз; 4) осы функцияның x0-дағы шегi -ды табамыз.
Нақтылау мақсатында туындыны табуға берiлген бiрiншi мысалды екi деңгейде орындаған тиiмдi: 1) х0-ге нақтылы сан, мысалы, x0=2 берiп, 2) x0-ды жалпы түрде алып.
«Функцияның туындысы» мен «функцияның нүктедегi туындысының» айырмашылықтары түсiндiрiледi: функцияның туындысының x0 нүктесiндегi мәнi сан, ал функцияның туындысы функция болады.
Анықтаманы пайдаланып функциялардың туындысын табайық:
Мысал. функциясының туындысын есептеу.
1. . 2. .
5. Сонымен, .
Мысал. функциясының туындысын есептеу.
1. ƒ(x)= , мұнда 2. х; х+х;
3. ƒ= 4.
5. Сонымен, f/(x)=.
