Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері
1-Теорема. Егер
)
(x
f
функциясы
в
а; кесіндісінде үзіліссіз болса, ол осы кесіндіде шенелген
функция болады.
2-Теорема. Егер
)
(x
f
функциясы
в
а; сегментінде үзіліссіз болса, онда
)
(x
f
функциясының
осы сегментте ең үлкен және ең кіші мәндері бар болады.
3-Теорема. Егер
)
(x
f
функциясы
в
а; сегментінде үзіліссіз және сегменттің шеткі
нүктелерінде
)
(x
f
функциясының мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда
в
а; сегментінің
болмағанда бір ішкі
в
c
а
с
х
,
нүктесінде
0
)
(
c
f
.
4-Теорема. Егер
)
(x
f
функциясы
в
а; аралығында үзіліссіз және
В
в
f
A
a
f
)
(
)
(
болса,
онда А мен В –ның арасында жатқан С саны ұшін қандай болса да,
в
а; интервалында ең
болмағанда бір
0
х нүктесі табылып,
C
x
f
)
(
0
болады.
№ 6-7 дәріс тақырыбы: Туынды және дифференциал
([1], 2 бӛлім, [3], [6], [1]қосымша әдебиет, 2 бӛлім)
Туынды және дифференциал
Туынды ҧғымы. Туындының анықтамасы
Туынды ұғымы – дифференциалдық есептеулерде ең негізгі ұғым болып саналады. Алдымен,
осы ұғымға келтірілетін бір есепті қарастырайық.
Айталық, М материалдық нүкте түзудің бойымен бірқалыпты емес қозғалыс жасайды (24 –
сызба).
M
O
S
S
24 -сызба
71
Бастапқы О нүктеден М нүктеге дейінгі қашықтықты
S
деп белгілесек, онда бұл қашықтық
уақыт t -ның функциясы болады:
t
f
S
. Егер уақыт
t
-ға ӛзгеретін болса, онда М нүктесі
S
-ке
тең қашықтықты жүріп ӛтеді. Сонда
t
S
қатынасын орташа жылдамдық
орт
деп атайды. Егер
t
-
ның шамасын ӛте аз деп алатын болсақ, онда орташа жылдамдық та ӛте аз болады. Осыдан,
жылдамдық
- ның кез келген
t уақыттағы мәнін мына шектен табуға болады:
t
S
t
0
lim
.
Дербес жағдайда, егер қозғалыс бір қалыпты болса, онда
орт
. Осындай есептерді
физикадан, механикадан келтіруге болады.
Айталық, Х аралығында
x
f
y
функциясы анықталсын. Бұл аралықтан
0
x нүктесін алып,
оған
x
ӛсімшесін берейік. Сонда
x
f
y
функциясы да ӛсімше қабылдайды:
0
0
x
f
x
x
f
y
. Мұнда
X
x
x
0
, басқаша болса,
x
x
f
0
-тың мәні болмайтыны
анықтауынан белгілі болып тұр.
Анықтама. Егер
x
нӛлге ұмтылғанда функция ӛсімшесі мен аргумент ӛсімшесі қатынасының
шегі бар болса, онда бұл шек берілген функцияның
0
x нүктесіндегі туындысы деп аталады.
Сонымен, егер
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
0
0
0
0
lim
lim
(5.1.1)
бар болса, оны берілген функцияның
0
x нүктесіндегі туындысы деп атайды. Туындыны
мынандай символдармен белгілейді: y
(игрек штрих),
х
у
(игрек штрих
х
бойынша),
dx
dy (де игрек
де икстен),
x
f
(эф штрих икстен). Сӛйтіп, функцияның туындысы, мысалы, бірінші символымен
былай жазылады:
x
y
y
x
0
lim
немесе:
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
0
0
0
lim
.
Туынды табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды. Ал, жоғарыда қаралған
физикалық есепте айнымалы жылдамдық жүрген жолдың туындысына
t
f
тең болады. Бұл
жағдайды туындының механикалық мағынасы деп атайды.
Туынды есептеуге мысал келтірейік:
1
,
0
x
x
x
f
нүктесіндегі туындыны табу керек
болсын:
1)
аргумент
1
0
x
-ге
x
ӛсімшесін береміз
х
1
2)
осыған сәйкес функцияның ӛсімшесін табамыз:
1
1
1
1
x
f
x
f
y
;
3)
x
y
қатынасын табамыз:
x
x
x
y
1
1
;
4)
осы қатынастың
0
x
шегін табамыз:
72
1
1
1
1
1
1
lim
1
1
lim
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
2
1
1
1
1
lim
1
1
1
1
lim
0
0
x
x
x
x
x
x
.
Сонымен,
2
1
1
f
.
Жоғарыдағы
0
x
f
-дың анықтамасындағы
x
x
x
0
деп алсақ, онда
0
x
x
x
және
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
.
Енді осы нүктедегі функцияның біржақты туындыларын келтірейік.
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
- сол жақты туындысы,
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
- оң жақты туындысы.
Егер
0
0
x
f
және
0
0
x
f
бар болса және бір біріне тең болса, онда
0
x
f
бар болады
және солардың мәніне тең болады.
5.2. Туындының геометриялық мағынасы
Алдымен, қисық сызыққа жіргізілген жанаманың анықтамасын келтірейік.
L
қисық сызықтың бойынан екі нүкте
M
және
N
алайық және сол нүктелер арқылы қиюшы
жүргізейік. M нүктесін қозғалмайды деп есептеп,
N
нүктесін L қисығы бойымен M нүктесіне
дейін жүргізейік. Егер
0
MN
(25–сызба,а) болса, онда қиюшы
MN
түзу
MP
- ға ұмтылады.
Анықтама.
M
нүктесі
N
нүктесіне ұмтылғанда қиюшы
MN
мен түзу
MP
арасындағы бұрыш
нӛлге ұмтылса, онда
MP
түзуді
L
қисық сызықтың
M
нүктесіндегі жанамасы деп атаймыз. Енді
туындының геометриялық мағынасына кӛшейік.
M
N
P
а)
M
P
y
N
ә)
73
Айталық,
x
f
-тың
0
x
x
нүктесіндегі туындысы
0
x
f
болсын. Қиюшы
MN OX
осімен (оң
бағыттағы)
бұрышын жасасын. Сонда (25 –сызба,ә):
x
y
x
x
f
x
x
f
tg
0
0
немесе:
x
y
arctg
.
Егер
x
нӛлге ұмтылатын болса, онда:
1)
N
нүктесі
x
f
y
қисығы бойымен
M
нүктесіне ұмтылады,
2)
қиюшы
MN
түзу
MP
- ға ұмтылады,
3)
бұрышы
бұрышына ұмтылады, онда
0
0
0
lim
lim
x
f
arctg
x
y
arctg
x
y
arctg
x
x
осыдан,
0
0
lim
x
f
arctg
x
бар болады және
lim
. Яғни, қиюшы
MN
MP
түзудің орнына
келеді де
x
f
y
функцияның жанамасы болады және
0
x
f
arctg
немесе
tg
x
f
0
.
Туындының геометриялық мағынасы: туынды
x
f
x
f
y
функцияның
y
x
M ;
нүктесіне
жүргізілген жанама мен
OX
осінің оң бағытының арасындағы бұрыштың тангенсін кескіндейді.
Онда
x
f
функциясының
0
0
; y
x
нүктесіндегі жанамасының теңдеуін мына түрде жазуға
болады:
0
0
0
x
x
x
f
y
y
(5.2.1)
Егер осы жанамаға
0
0
; y
x
нүктесінде перпендикуляр түсіретін болсақ, онда ол түзуді нормаль
деп атайды және оның теңдеуін мына түрде жазуға болады:
0
0
0
1
x
x
x
f
y
y
(5.2.2)
5.3. Функцияның дифференциалдануы мен ҥзіліссіздігінің арасындағы байланыс
25-сызба
74
Бізге Х аралығында анықталған
x
f
y
функциясы берілсін. Бұл аралықтан белгілі
0
x
x
нүктесін алып, оған
x
ӛсімшесін берейік, яғни
X
x
x
0
. Онда осы
x
-ке сәйкес функцияның
ӛсімшесі
0
0
0
x
f
x
x
f
x
f
y
(5.3.1)
Анықтама. Егер Х аралығының
0
x
x
нүктесінде
x
f
y
функциясының шенеулі туындысы
бар болса, онда мұндай функцияны
0
х нүктесінде дифференциалданатын функция деп атайды.
Осы айтылғандарды былай да тұжырымдауға болады. Егер
x
f
y
функцияның Х аралығынан
алынған
х
нүктесіндегі ӛсімшесі келесі теңдік,
х
х
х
x
f
x
f
х
x
f
y
(5.3.2)
арқылы ӛрнектелсе, онда бұл функцияны кӛрсетілген аралықта дифференциалданатын функция деп
атайды. Мұндағы
х
ақырсыз кішкене шама,
х
пен бірге нольге ұмтылады.
Теорема. Егер
x
f
y
функциясы
0
х нүктесінде диффе-ренциалданатын функция болса, онда
сол нүктеде функция үзіліссіз болады.
Шынында да
x
x
x
x
f
y
x
x
0
0
0
lim
lim
0
x
lim
x
lim
x
lim
x
f
0
x
0
x
0
x
0
.
Бұл қорытынды, яғни
0
lim
0
y
x
, берілген функцияның
0
x нүктесінде үзіліссіз екенін
кӛрсетеді.
Ал функцияның үзіліссіздігінен оның сол нүктеде диф-ференциалдануы әрқашанда бола
бермейді. Демек, функция үзіліссіз бола тұрып, ол нүктеде дифференциалдануы да,
дифференциалданбауы да мүмкін.
Мысал ретінде
x
y
функцияны қарастырайық.
Бұл
функция
0
x
нүктесінде
үзіліссіз. Ол мына теңдіктен шығады:
0
0
lim
0
f
x
f
x
.
Бірақ
сол
нүктеде
функцияның
туындысы болмайтынын дәлелдейік. Егер
бір жақты шектерді табатын болсақ,
1
x
x
lim
x
x
lim
0
x
0
f
x
f
lim
0
0
x
0
0
x
0
0
x
,
1
lim
lim
0
0
lim
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
,
нӛл нүктесінде екі жағындағы шектері тең емес, сондықтан туынды болмайтыны анықталды.
5.4. Функцияларды дифференциалдау ережелері
Теорема. Егер
x
U
U
және
x
функцияларының
x
нүктесінде шенелген туындылары
бар болса, олардың алгебралық қосындысының, кӛбейтіндісінің және қатынасының (егер бӛлімі
нӛлге тең болмаса) туындылары бар болады да мына формулалар бойынша табылады:
U
U
y
(5.4.1)
U
U
U
y
(5.4.2)
О
у
у=
х
х
26-
сызба
75
0
,
2
U
U
U
y
(5.4.3)
5.5. Кҥрделі және кері функцияның туындысы
Теорема. Егер
x
U
функциясының
x
нүктесінде, ал
U
f
y
функциясының сол
x
-ке
сәйкес
x
U
нүктесінде туындылары бар болса, онда сол
x
нүктесінде күрделі
)
(
x
f
y
функциясының да туындысы бар болады және мынаған тең:
x
u
u
x
f
x
x
f
x
f
y
(5.5.1)
Теорема. Егер
x
f
y
функциясының
x
нүктесінде нӛлге тең емес
0
x
f
y
туындысы
бар болса, онда сол
x
-ге сәйкес
0
0
x
f
y
нүктесінде оған кері
y
x
функциясының туындысы
бар болады және
x
f
y
x
y
1
(5.5.2)
Элементар (қарапайым) функциялардың кейбіреулерінің туындылары. Туындылар
кестесі
Айталық, бізге
x
x
U
U
,
функциялары және кез келген
c
-саны берілсін.
x
U
U
және
x
бар болсын. Сонда функциялардың туындысы туралы қорытылған формулалардан
мынадай кесте жазуға болады:
1.
0
y
,
c
y
;
13.
U
U
cos
1
y
,
tgU
y
2
;
2.
1
y
,
x
y
;
14.
U
U
sin
1
y
,
ctgU
y
2
Достарыңызбен бөлісу: |