Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

80 
 
7.4. Кӛп айнымалылар (аргументті) функциясының ҥздіксіздігі 
Айталық, 
 
y
x
f
z
,

 функциясы 
Q  облысында анықталған болсын және 


0
0
0
, y
x
M
  нүктесі 
Q  
жиынында жатқан осы жиынның шекара нүктесі болсын. 
1-Анықтама. Егер 
 
M
f
z

 функциясының 
0
M
M

 нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның 
0
M  
нүктесіндегі 
 
0
M
f
  мәніне  тең,  яғни 
 
 
0
0
lim
M
f
M
f
M
M


  болса,  онда 
 
M
f
  функциясы 
0
M  
нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. 
 
 
0
0
lim
M
f
M
f
M
M


  немесе  
 


0
0
,
,
lim
0
0
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x



. 
Мұндағы 
 
Q
у
х
М

,
  және  


Q
у
х
М

0
0
0
,
. 
Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның 
0
M  нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да 
бір мынадай анықтамасын келтіруге болады. 
2-Анықтама.  Егер 
0



  санына  сәйкес 
 
0





  саны  табылып, 






0
,
0
M
M
 
теңсіздігін  қанағаттандыратын  М  нүктелері  үшін 
   



0
M
f
M
f
  теңсіздігі  орындалса, 
)
(M
f
U

 функциясы 
0
M  нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. 
Мына 
y
y
y
x
x
x






0
0
,
  шамаларының  әрқайсысы  берілген 
 
y
x
f
,
  функциясының 
y
x,
 
аргументтерінің  сәйкес  ӛсімшелері,  ал  айырым 
  

0
0
,
,
y
x
f
y
x
f

  функцияның  ӛсімшесі,  яғни 
 
  

0
0
,
,
,
y
x
f
y
x
f
y
x
f
z





  екенін  ескерсек,  функцияның  нүктедегі  үздіксіздігінің  жоғарыда 
берілген  анықтамасын  былай  тұжырымдауға  болады:  егер  аргументтердің  ақырсыз  кішкене 
ӛсімшелеріне  берілген  функцияның  да  ақырсыз  кішкене  ӛсімшесі  сәйкес  келсе,  онда  функция 


0
0
0
у
,
х
М
  нүктесінде  үзіліссіз  деп  аталады.  Демек,  егер 
 
y
x
f
z
,

  функциясы 
0
M   нүктесінде 
үзіліссіз болса, 
 
0
,
lim
lim




y
x
f
z
 болады. 
Егер 
 
y
x
f
z
,

 функциясы 
Q  облысының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функцияны 
Q  облысында үзіліссіз функция деп атайды. 
Енді  ХОУ  жазықтығының  кейбір  Q   облысында  үзіліссіз  болатын 
 
y
x
f
z
,

  функциясының 
қасиеттеріне  тоқталайық.  Олар  аралықта  үздіксіз  болатын бір  айнымалы  функцияның қасиеттеріне 
ұқсас. 
1)  Егер 
 
М
f
z

  функциясы  шенелген  жабық  облыста  үзіліссіз  болса,  онда  ол  осы  облыста 
шенелген функция болады. Демек: 
 




y
x
f
,
:
. 
2)  Егер 
)
(M
f
U

  функциясы  шенелген  жабық  облыста  үзіліссіз  болса,  онда  ол  осы  облыста 
ӛзінің дәл тӛменгі және жоғарғы мәніне жете алады. 
7.5. Дербес туындылар мен дербес дифференциалдар 
Бізге  кеңістіктің  Q   облысында  анықталған  үздіксіз 


z
y
x
f
U
,
,

    функциясы  берілсін.  Осы 
облыстан 


0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
 нүктесін аламыз. 
Егер 
у
 пен 
z -ке тұрақты 
0
y  мен 
0
z  мәндерін беріп 
x
-ті ӛзгертетін болсақ, онда 


z
y
x
f
U
,
,

 
бір айнымалы 
x
-тің (
0
x  тӛңірегінде) функциясы болады. Енді 
0
х
x

 мәніне 
x

  ӛсімшесін берсек, 
онда функция 




0
0
0
x
x
z
,
y
,
x
f
U



 

0
0
0
0
0
0
z
,
y
,
x
f
z
,
y
,
x
x
f




 
ӛсімшесін алады, мұны функцияның 
x
 бойынша алынған дербес ӛсімшесі деп атайды. 
Ал  мына  шекті 

 

x
z
y
x
f
z
y
x
x
f
x
xU
x
x











0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
lim
lim


z
y
x
f
,
,
  функциясының 


0
0
0
,
,
z
y
x
 
нүктесінде 
x
  бойынша  алынған  дербес  туындысы  деп  атайды  да,  мына  символдардың  бірімен 
белгілейді: 

81 
 




0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
z
y
x
f
U
x
z
y
x
f
x
U
х
х






. 
Бұл  символдардың  тӛменгі  жағында  тұрған  әріп  туындының  қай  нүктеде 


0
0
0
,
,
z
y
x
  есептеліп 
отырғанына байланысты емес. Ол туындының қай айнымалы бойынша алынатынын кӛрсетеді. 
Сондай-ақ, 
x
 
пен 
z -ті 
тұрақты, 
ал 
у
-ті 
айнымалы 
деп 

 

у
z
y
x
f
z
y
у
x
f
у
уU
у
у












0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
lim
lim
 шегін қарастыруға болады. 
Бұл  шекті 


z
y
x
f
,
,
  функциясының 


0
0
0
,
,
z
y
x
  нүктесіндегі 
у
  бойынша  алынған  дербес 
туындысы деп атайды. 
Берілген 


z
y
x
f
,
,
  функциясының 
z   бойынша  алынған 


0
0
0
,
,
z
y
x
  нүктесіндегі  дербес 
туындысы да осылай анықталады. 
Дербес туындыны есептеудің жәй туындыны есептеуден ешқандай айырмашылығы жоқ. 
Мысалдар:  1) 
3
2
2
2
y
xy
x
z



    функциясы  берілсін.  Онда  бұл  функцияның  дербес 
туындылары 
2
2
3
4
,
2
2
y
xy
y
z
y
x
x
z









. 
Бұлардың  біріншісі 
const
y

  болғандағы,  ал  екіншісі 
const
x

  болғандағы  дәрежелік 
функцияның туындысы. 
2) Егер 
y
x
arctg
z

 болса, онда
2
2
2
2
,
y
x
x
y
z
y
x
y
x
z









. 
3) 
2
2
2
z
y
x
x
U



 функциясы үшін 






2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
z
y
x
xz
z
u
z
y
x
xy
y
u
z
y
x
x
z
y
x
u



















. 
Берілген 


z
y
x
f
U
,
,

  функцияның  кез  келген  бір  аргументі  бойынша  нүктедегі  дербес 
туындысы  мен  сол  аргументтің  ӛсімшесінің  кӛбейтіндісі  функцияның  дербес  дифференциалы  деп 
аталады және былай белгіленеді: 
z
z
U
U
d
x
x
u
U
d
y
x








,
. 
Егер  тәуелсіз  айнымалы  х-тің 
dx
  дифференциалын 
x

  ӛсімшесі  деп  түсінетін  болсақ,  онда 
dx
x
u
U
d
x



 сол сияқты 
dz
z
u
U
d
dy
y
u
U
d
z
y






,
 түрінде жазылады. 
 
7.6.  Кӛп  аргументті  функцияның  толық  ӛсімшесі,  толық  дифференциалы  және 
дифференциалдану шарты 
Егер  тәуелсіз  айнымалылардың 
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x



  мәніне 
z
y
x



,
,
  ӛсімшелерін  берсек, 
онда 


z
y
x
f
U
,
,

 функция да 

 
 

0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
z
y
x
f
z
z
y
y
x
x
f
z
y
x
f
U











  (7.6.1) 
ӛсімшесін алады. Берілген функцияның осы ӛсімшесін оның толық ӛсімшесі деп атайды. 
Теорема.  Егер 






z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,



  дербес  туындылар 


0
0
0
0
,
,
z
у
х
М
  нүктесімен 
оның  кейбір 
 
0
M
U

  маңайында  бар  болып  және  осы  нүктеде  (
z
y
x
,
,
-тің  функциясы  ретінде) 
үзіліссіз болса, онда берілген 


z
y
x
f
U
,
,

 функциясының толық ӛсімшесі мына түрде жазылады: 









y
z
,
y
,
x
f
x
z
,
y
,
x
f
U
0
0
0
y
0
0
0
x



 


z
y
x
z
z
,
y
,
x
f
0
0
0
z












. 

82 
 
Мұндағы 



,
,
  шамалары 
z
y
x



,
,
  ӛсімшелеріне  тәуелді  және 
0
,
0
,
0






z
y
x
  -да  



,
,
 -ларда  0 -ге ұмтылады. 
Теорема.  Егер  Q   облысында  берілген 


z
y
x
f
U
,
,

  функциясының  сол  облыстағы 


Q
z
y
x

0
0
0
,
,
 мен 


Q
z
z
y
y
x
x







0
0
0
,
,
 нүктелері үшін толық ӛсімшесі 
)
p
(
o
Cdz
Bdу
Adx
)
z
,
y
,
x
(
f
U
0
0
0







     (7.6.2) 
түрінде  жазылатын  болса,  (
C
B
A
,
,
-тұрақтылар, 
2
2
z
y
x







)  берілген  функцияның 


0
0
0
,
,
z
у
х
 нүктесінде дербес туындылары бар болады. 
Анықтама.  Егер 


z
y
x
f
U
,
,

  функциясының  толық  ӛсімшесі  (7.6.1)  немесе  (7.6.2) 
формулаларының 
бірімен 
ӛрнектелетін 
болса, 
ол 
функция 


0
0
0
,
,
z
у
х
 
нүктесінде 
дифференциалданатын  функция  деп  аталады.  Сонымен  бірге  берілген  функцияның  толық 
ӛсімшесінің басты сызықты бӛлігі 
z
U
y
U
x
U
z
y
x








 оның толық дифференциалы деп аталады да, 
былай белгіленеді: 
du
 немесе 


0
0
0
,
,
z
y
x
df
. 
Сонымен,  үзіліссіз  дербес  туындылары  бар  кез  келген  кӛп  аргументті  функциялар 
дифференциалданатын функция болады. 
Аргументтер 
z
у
х ,
,
-тің  ӛсімшелері  олар  үшін  әрі  дифференциалдар  болатынын  ескерсек, 


z
y
x
f
,
,
 
функцияның 
толық 
дифференциалы 
dz
U
dy
U
dx
U
dU
z
у
х






 
немесе 








dz
z
y
x
f
dy
z
y
x
f
dx
z
y
x
f
z
y
x
df
z
y
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
,






 
түрінде  жазылады.  Яғни  кӛп 
аргументті  функцияның  толық  дифференциалы  оның  дербес  дифференциалдарының  қосындысына 
тең. 
1-мысал.  Берілген 
xy
e
z

  функциясының  толық  дифференциалы 
dz
-ті  табу  керек  болсын.  Бұл 
функцияның дербес туындылары 
xy
y
xy
x
xe
z
ye
z




,
 демек  
dy
xe
dx
ye
dz
xy
xy


. 
2-мысал. Мына 
y
x
ntg
z


 функцияның толық дифференциалын табайық. 
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
tg
y
z
y
x
y
y
y
x
y
x
tg
x
z
2
sin
2
cos
1
1
,
2
sin
2
1
cos
1
1
2
2
2




















болғандықтан, 
dy
y
x
y
x
dx
y
x
y
dz
2
sin
2
2
sin
2


. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: