Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

63 
 
4-Анықтама. Егер кез келген 
0


 оң санына сәйкес 
 
0





 саны табылып, 
0
0
x
x
x




 
теңсіздігін  қанағаттандыратын  х  –тың  барлық  мәндері  үшін 
 



B
x
f
  теңсіздігі  орындалатын 
болса,  В  санын 
)
(x
f
  функциясының 
0
х   нүктесіндегі  сол  жақ  шегі  деп  атап,  былай  белгілейді: 


B
x
x
f
x
x





0
lim
)
(
lim
0
0
0
. 
Теорема.  А  саны  берілген 
)
(x
f
  функциясының  айнымалы  х  тұрақты 
0
х   санына 


0
x
x

 
ұмтылғандағы  шегі  болуы  үшін  ол  функцияның 
0
х
x

  нүктесіндегі  оң  және  сол  жақ  шектері  бар 
және 
олар 
ӛзара 
тең 
болуы 
қажет 
және 
жеткілікті. 
Яғни 


 


A
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x












0
lim
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
0
0
 
болса, 
онда 
А 
саны 
)
(x
f
 
функциясының 
0
х
x

 нүктесіндегі шегі болады. 
 
4.14. Ақырлы шегі бар функциялардың қасиеттері 
1-Теорема.  А  саны 
)
(x
f
  функциясының  айнымалы  х  тұрақты 
0
х   санына  ұмтылғандағы 


0
x
x

 шегі болу үшін 
 
A
x
f

 айырымының ақырсыз кішкене болуы 
 
   


0
,



x
x
A
x
f


 
қажет және жеткілікті. 
2-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясының 
0
x
x

  ақырлы  шегі  бар  болса,  ол  сол 
0
х   нүктесінің 
қандайда бір 
 
0
x
U

 маңайында шенелген функция болады. 
3-Теорема. Егер 
 
A
x
f
x
f
x
x
x
x




2
1
0
0
lim
)
(
lim
 болып және 
0
х  нүктесінің (
0
х
x

) қандайда болмасын 
бір 
 
0
x
U

 маңайында мына 
 
 
x
f
x
x
f
2
1
)
(



 теңсіздіктері орындалса, онда 
 
A
x
x
x



0
lim
 болады. 
4-Теорема.  Нақты  (ақырлы)  шегі  бар  бірнеше  функцияларының  алгебралық  қосындысының 
немесе кӛбейтіндісінің шегі қосылғыш функциялардың шектерінің алгебралық қосындысына немесе 
кӛбейткіш  функциялардың  шектерінің  кӛбейтіндісіне  тең.  Яғни, 
 
B
x
A
x
f



lim
,
)
(
lim
, 
   


   


 
 
B
A
x
x
f
x
x
f
A
B
x
f
x











lim
lim
lim
,
lim
. 
5-Теорема. Бӛлімінің шегі нӛлге тең болмайтын екі функцияның қатынасының шегі алымы мен 
бӛлімінің шектерінің қатынасына тең. Демек 
 
 
 
 


0
lim
lim
lim



B
B
A
x
x
f
x
x
f


 теңдігі орындалады. 
6-Теорема.  Егер 
 
x

  бір 
0
х   нүктесінде  ақырсыз  кішкене  болса,  онда  оған  кері 
 
 
x
x



1
 
функция сол 
0
х  нүктесінде ақырсыз үлкен функция болады. 
7-Теорема. Егер 
 
x

 функциясы 
0
x
x

 ақырсыз үлкен болса, оған кері функция 
 
 
x
x


1

 
ақырсыз кішкене болады. 
8-Теорема.  Егер 
)
(x
f
  функциясы  үшін 
0
х   нүктесінің 
 
0
x
U

  маңайында 
 
0
,



M
M
x
f
 
теңсіздігі орындалып, ал 
 
x

 функциясы үшін 
 


0
x
:
x
В
)
x
(
lim





 болса, онда 
 
 


x
x
f

lim
. 
9-Теорема. Егер 




A
x
f
x
x
)
(
lim
0
 және 



)
(
lim
0
x
x
x

 болса, онда    
 
 
0
lim
0


x
x
f
x
x

. 
Функциялардың шектерін есептеу үшін бірден бұл қорытындыларды қолданып шекке кӛшкенде 
анықталмағандықтарға  кездестіруі  мүмкін.  Сондықтан,  функцияның  шектік  мәніне  кӛшпестен 
бұрын, функцияны алдын ала түрлендіру керек.  

64 
 
4.15. Тамаша шектер 
Бірінші тамаша шек.   








0
0
,
1
sin
lim
0
x
x
x
. 
1-мысал. Мына 
2
0
3
cos
cos
lim
x
x
x
x


 шегін табу керек. 
Шешуі.  Берілген  ӛрнек 
0

x
  да 
0
0
  түріндегі  анықталмағандық.  Оны  айқындау  үшін  алымын 
екі  бұрыштың  косинустарының  және  қос  бұрыштың  синусының  формулаларының  кӛмегімен 
түрлендіреміз. 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
sin
4
sin
cos
sin
4
sin
2
sin
2
3
cos
cos
2




 
Сонда 
.
4
1
1
4
cos
lim
sin
lim
4
cos
sin
4
lim
3
cos
cos
lim
0
2
2
0
2
2
0
0


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
                  2-мысал.  Мына  шекті 
есептейік: 
x
x
tg
x
2
lim
0

. 
Шешуі: 
2
2
1
2
2
2
2
0
0
2
0
0
0









x
cos
lim
x
x
sin
lim
x
x
tg
lim
x
x
x
. 
Екінші тамаша шек.  
 








 
1
1
1
0
,
e
x
lim
x
x
. 
Егер 

1

x
 десек, онда 
0


 да 


x
. Сонда соңғы формуладан   


e






1
0
1
lim
 
                         
(4.9.3) 
3-мысал. Мына шекті  шығарайық 
x
x
x
x










2
2
1
2
lim
. 
Шешуі:  Бұл  мысалда 

1   түріндегі  анықталмағандық.  Осы  анықталмағандықты  айқындау  үшін 
ӛрнекті былайша түрлендіреміз: 
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
4
2
1
2
















































х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
; 
Сонда 
2
1
2
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
lim
2
2
1
1
lim
2
2
1
2
lim

























































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
4.16. Ақырсыз кішкенелерді және ақырсыз ҥлкен функцияларды салыстыру 
Біз бірнеше кішкене функциялардың алгебралық қосындысының және кӛбейтіндісінің ақырсыз 
кішкене болатынын, ал қатынастарының анықталмағандық беретінін білеміз. 
Енді ақырсыз кішкене функцияларды салыстыру ережесін қарастырайық. 
Айталық 
0
х
х

  нүктесінде 
 
х

  және 
 
х

  ақырсыз  кішкене  функциялар  болсын,  яғни 
 
 
0
lim
,
0
lim
0
0




х
х
х
х
х
х


. 
Сонда: 
1) егер 
 
 
0
lim
0


x
x
x
x


 болса, онда 
 
х

 шамасы 
 
х

 шамасына қарағанда жоғары ретті ақырсыз 
кішкене деп аталады. Оны былай белгілейді: 
 
0

х

 


х

. 
2) егер 
 
 
0
lim
0



А
x
x
x
x


 болса, онда 
 
х

 және 
 
х

 реттері бірдей кішкенелер деп аталады. 

65 
 
3)  егер 
 
 




0
0
lim
0




к
А
x
x
к
x
x


  болса,  онда 
 
х

  шамасы 
 
х

  шамасына  қарағанда  к  ретті 
ақырсыз кішкене деп аталады. 
4) егер 
 
 
1
lim
0


x
x
x
x


 болса, онда олар эквивалентті ақырсыз кішкенелер деп аталады және былай 
белгіленеді: 
 
 
х
х


~
. 
Эквивалентті  кішкенелерден  мынадай  жуықтық  формулалары  шығады:  х  нӛлге  ұмтылғанда 
x,
~
tgx
x,
~
sin x
 


x
~
arctgx
x,
~
arcsin
,
2
x
~
cosx
1
x,
~
1
e
x,
~
1
2
x
x
x
n




Егер 
 
   
 
x
x
x
x
x
x
1
1
0
~
,
~
,





 
және 
 
 
x
x
1
1


 қатынастың нақты шегі бар болса, онда 
 
 
 
 
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
0
0
lim
lim







. 
Осыларға ұқсас салыстыру ережесі ақырсыз үлкен шамалар үшін де бар. 
Егер 
0
х  нүктесінде 
 
х

 және 
 
х

 ақырсыз үлкен функциялар болса, онда 
1) егер 
 
 



x
x
x
x


0
lim
 болса, 
 
х

 шамасымен салыстырғанда 
 жоғары ретті ақырсыз үлкен 
шама болады. 
2)  егер 
  болса,  онда 
  және 
  реттері  бірдей  ақырсыз  үлкендер  деп 
аталады. 
3) егер 
 болса, оларды ӛзара эквивалентті ақырсыз үлкендер дейді. 
4)  егер 
  болса,  онда 
  шамасы 
 
х

  пен  салыстырғанда  к  ретті 
ақырсыз үлкен деп аталады. 
Егер 
 
 
x
x


 қатынастың ешқандай шегі болмаса, оларды ӛзара салыстыруға болмайтын ақырсыз 
үлкендер дейді. 
Осы айтылғандарға мысалдар келтірейік: 
1-мысал. 
0

х
  деп  санап,  мына 
2
sin
)
(
x
x
f

  ақырсыз  кішкене  шаманы 
 
x
x


  ақырсыз 
кішкенемен салыстыру керек. 
Шешуі: 
0
sin
lim
sin
lim
2
2
0
2
0











x
x
x
x
x
x
x
. 
Демек 
2
sin x  шамасы х шамасына қарағанда жоғары (екінші) ретті ақырсыз кішкене шама. 
2-мысал. 
2
4
)
(



х
x
f
 және 
 
x
x


 ақырсыз кішкенелерді салыстыру керек. 
Шешуі: 


0
4
1
2
4
lim
2
4
lim
0
0









x
x
x
x
x
x
x
.  Ендеше 
)
(x
f
  пен 
 
x

  реттері  бірдей 
кішкенелер. 
3-мысал. 


х
 деп алып ақырсыз үлкен 
1
5
4


х
х
 шаманың ақырсыз үлкен шама 
2
3
2

х
- ге 
қарағанда ретін анықтау керек. 
Шешуі: Ақырсыз үлкен 
к
х
)
2
3
(
2

 және 
1
5
4


х
х
  шамалардың  реттері  бірдей болатындай “к” 
санын  табу  керек.  Ол  сан 
2

к
,  себебі 
2

к
  болғанда  дәрежелері  бірдей  тӛртінші  дәрежелі  екі 
кӛпмүше шығады. Сонда 
 
х

 
 
0
lim
0
x
x



B
x
x


 
х

 
х

 
 
1
lim
0
x
x


x
x


 
 




0
0
lim
0
x
x




k
B
x
x


 
х


66 
 


0
9
1
4
12
9
1
5
lim
2
2
3
1
5
lim
2
4
4
2
4
















x
x
x
x
болѓанда
k
x
x
x
x
k
x
 яғни 
1
5
4


х
х
 ақырсыз үлкен шамасы 
2
3
2

х
 шамамен салыстырғанда 2-ретті ақырсыз үлкен шама. 
Эквивалент  ақырсыз  кішкенелер  және  эквивалент  ақырсыз  үлкен  шамалардың  қасиеттерін 
функцияның шектерін тапқанда кеңінен қолдануға болатындығын мысалдар арқылы кӛрсетейік. 
4-мысал. 
2
3
2
3
lim
2
~
2
,
3
~
3
sin
0
0
2
3
sin
lim
0
0






x
x
x
x
tg
x
x
x
tg
x
x
x
. 
5-мысал. 












2
x
~
cos
1
0
0
1
cos
1
cos
lim
1
cos
lim
2
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
 




.
4
1
1
cos
2
1
lim
1
cos
2
lim
2
2










x
x
x
x
o
x
o
x
 
6-мысал. 












x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
x
x
x
x
2
cos
lim
sin
cos
1
cos
lim
0
0
sin
lim
2
3
0
3
0
3
0
 
2
cos
2
lim
cos
2
lim
0
3
3
0





x
x
x
x
x
x
. 
7-мысал. 
x
x
x
да
x
x
x
x
x
x
~
4
5
,
6
4
9
4
5
lim
2
2
2













 
және 
3х
~
6
4
9х
2


х
болады. Сонда эквивалентті ақырсыз үлкендердің қасиеті бойынша      
3
1
3
lim
6
4
9
4
5
lim
2
2










x
x
x
x
x
x
x
x
. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: