Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

58 
 
абсциссасы  х-қа  ординатасы  у-ке  тең  М  нүктесін  сәйкес  қойсақ,  сонда  тәуелсіз  айнымалы  х-тың 
ӛзгеру  облысынан  алынған  әрбір  мәніне  координаталар  жазықтығының 


)
(
;
x
f
х
М
  нүктесі  сәйкес 
келеді.  Осы  нүктелердің  геометриялық  орындарының  жиынын 
)
(x
f
у

  функциясының  графигі, 
немесе геометриялық кескіні деп атайды. 
Сонымен,  жазықтықтағы  абсциссалары  х-тың  мәндері,  ординаталары  х-тың  мәндеріне  сәйкес 
табылатын 
)
(x
f
  функцияның  мәндері  болатын  нүктелердің  жиыны  функцияның  графигі  деп 
аталады. 
Функциялардың графиктері кӛбінесе қисық сызықтар немесе түзулер болады. 
Кез келген функциялардың графигі бола бермейді. Мысалы, Дирихле функциясы деп аталатын 
 





,
болса
сан
иррационал
х
егер
,
0
,
болса
сан
рационал
х
егер
,
1
)
x
(
D
)
x
(
f
 
функцияның  графигі  жоқ.  Дирихле  функциясының  анықталу  облысы  барлық  нақты  сандар  жиыны 
болады, ал оның мәндерінің жиыны екі саннан тұрады: біреуі 
1
, ал екіншісі 0. 
Берілген 
)
(х
f
  функциясының  графигін  салу  үшін  осы  функцияның  анықталу  облысынан 
аргумент х-тың бірнеше мәндерін алып, оларға сәйкес функцияның мәндерін есептеп табады. Содан 
кейін  х пен  у-тің мәндерінен кесте жасайды (1-кесте). 
1-кесте 
х
 
а
х

0
 
1
х  
2
х  
… 
в
х
n

 
у
 
)
(
)
(
0
0
a
f
x
f
у


 
)
(
1
х
f
 
)
(
2
х
f
  … 
 
)
(в
f
x
f
y
n
n


 
 
Осы  кесте  бойынша 






n
n
n
y
x
М
у
х
М
у
х
М
;
...,
,
;
,
;
1
1
1
0
0
0
  нүктелерін  салады.  Бұдан  соң  осы 
нүктелерді  жатық  қисықпен  бір-біріне  қосса,  функцияның  жуықталған  графигі  табылады.  Тұрақты 
функцияның графигі абсцисса осіне параллель түзу сызық болатыны ӛзінен ӛзі түсінікті екені анық. 
Енді функцияның берілу жолдарын қарастырайық. 
Функцияның  берілуінің  бірнеше  тәсілдері  бар.  Солардың  негізгілері  –  аналитикалық,  таблица 
түрінде, графикпен және сӛзбен берілу тәсілдері. 
Айнымалылар  арасындағы  сәйкестік  формуламен  берілсе,  онда  функция  аналитикалық  түрде 
берілді  дейді.  Бұл  тәсілде  тәуелсіз  айнымалы  х-тың  әрбір  мәніне  тәуелді  айнымалы  у-тің 
(функцияның)  сәйкес  келетін  мәнін  табу  үшін,  х-  қа  қандай  амалдарды  қандай  тәртіппен  орындау 
керектігі кӛрініп тұрады. 
 Мысалы,  


1
x
arcsin
3
y
,
x
cos
lg
x
y
,
x
1
x
y
,
2
х
tg
у
,
х
10
у
x
2









 
Функция аналитикалық түрде бірнеше формулалармен де берілетін жағдайлар болады. Мысалы 
   









.
1
,
1
2
,
1
,
1
)
(
2
болса
х
егер
х
болса
х
егер
х
x
f
у
 
Бұл формулада екі функция бар, бірақ х-тың бір мәніне у-тің тек қана бір мәні сәйкес келіп тұр. 
Яғни, бұл мысалда екі функция берілген деп түсінбей, бір функцияны анықтайтын екі формула деп 
түсіну керек. 
Егер х пен у арасындағы сәйкестік айнымалы  t  арқылы берілсе, яғни 
 
 
t
x
t
y




,
 
онда 
 
x
f
y

  функциясы  параметрлік  түрде  берілді  деп  атайды.  Айнымалы  t -ны  “параметр”  деп 
атайды. Мысалы: 
3
2
3
1
3
,
1
3
t
t
y
t
t
х




. 
Аналитикалық тәсілмен берілген функцияның ықшамдығы оның зерттеулерде қолданылуының 
қолайлылығын  арттырады  және  берілген  функцияны  зерттегенде  математиканың  аппараттарымен 

59 
 
пайдалануға  ӛте  жақсы  бейімделген.  Сонымен  қатар  ол  әрдайым  кӛрнекті  бола  бермейді. 
Функцияның мәндерін табу үшін кейде күрделі есептеулерді жасауға тура келеді. 
Зерттелетін  заңдылықтарды  математикалық  тәсілдермен  ӛрнектеу  әр  уақытта  мүмкін  бола 
бермейді.  Кейбір  жағдайларда  бір  айнымалының  әрбір  мәніне  екіншісінің  сәйкес  келетін  мәндерін 
арнайы аспаптар арқылы жазып алуға болады. Мысалы, мынадай кесте берілген: 
2-кесте 
х
 
-2 
-1 
0 
0,5 
1 
2,5 
4 
… 
у
 
0 
1 
2 
7 
-1 
0,3 
4 
… 
 
Функцияның  осы  түрде  берілуін  таблицалық  әдіспен  берілді  дейді.  Бұл  тәсіл  эксперименттік 
жұмыстарда қолданылады. Мұның артықшылығы аргументтің әрбір мәніне сәйкес функцияның мәні 
тікелей  табылатындығында.  Сонымен  бірге  аргументтің  ӛзгеруіне  байланысты  функцияның  ӛзгеру 
заңдылығы 
таблицадан 
байқалмайды 
және 
математикалық 
амалдар 
қолдануға 
ӛте 
ыңғайсыз.Функцияның  графикпен  де  берілуі  мүмкін.  Бұл  тәсіл  бойынша  екі  айнымалы  шаманың 
арасындағы тәуелділік график түрінде (арқылы) беріледі. Функцияны графигі арқылы беру тәсілі кӛп 
тараған әдіс. Мысалы, метеорология да (ауа райы және басқа да атмосфералық құбылыстар туралы 
ғылымда) қысым мен уақыт арасындағы функциялық тәуелділікті  графикпен бейнелейді. Бұл тәсіл 
де негізінен эксперименттік жұмыстарда кӛбірек қолданылады. Функцияның берілуінің бұл тәсілінің 
басқалардан  артықшылығы  –  оның  кӛрнектілігінде.  Ӛйткені  аргументтің  ӛзгеруіне  байланысты 
функцияның ӛзгеруінің бағыттарын  тыңғылықты байқап отыруға болады. Сонда да болса функция 
мәндерінің дәлдігі әрқашанда қанағаттанарлық бола бермейді. 
Функцияны  сӛзбен  беруге де  болады.  Бұл   тәсіл   бойынша  у  –тің  х  -тан тәуелділік ережесі 
сӛзбен баяндау арқылы беріледі. 
4.7. Кері функция ҧғымы 
Бізге  нақты  сан  жиындары  Х  және  У  берілсін.  Сонда  Х  жиынының  әрбір  элементіне  У 
жиынының  тиісті  элементін  сәйкестендіруді  Х  жиынын  У  жиынына  бейнелеу  деп  атайды  және 
былай белгілейді: 
У
Х
f

 немесе 
,
:
У
X
f

 немесе 
)
(х
f
у

. 
Х жиынының бірнеше элементіне У жиынының бір ғана элементі сәйкес келуі мүмкін. Айталық, 
Х жиынының кез келген элементі х, ал У жиынының оған сәйкес элементі 
)
(х
f
у

 болсын. Сонда 
)
(х
f
у

  санын  х  санының  (элементінің)  бейнесі  деп,  ал  х  санын  у  элементінің  кері  бейнесі  деп 
атайды. 
Х жиынын У  жиынына  f  сәйкестікпен түрлендіргендегі (
У
Х
f

)  у элементі  сәйкес келетін х 
элементті, яғни кері бейнені былай белгілейді: 
 
у
f
х
1


. 
Анықтама:  Егер  У  жиынының  әрбір  элементі  у-ке  Х  жиынының  бір  ғана  кері  бейне х  сәйкес 
келсе,  онда  У  жиынында  анықталған 
 
у
f
х
1


  функциясы  берілді  дейді.  Осылайша  анықталған 
 
у
f
х
1


 функциясын 
)
(х
f
у

 функциясына кері функция деп атайды. 
Егер 
 
у
f
х
1


 функциясы 
)
(х
f
у

 функциясына кері болса, онда 
)
(х
f
у

 функциясы 
)
(
1
у
f

 
функциясына кері функция болады. Ӛзара кері функциялардың мынадай қасиеттері бар: 
 


x
x
f
f
y
y
f
f




1
1
,
))
(
(
. 
Берілген 
)
(х
f
у

  функциясы  мен  оған  кері 
 
у
f
х
1


  функция  екеуінің  графиктері  формасы 
жағынан да және координаталар системасында орналасу жағынан да бірдей болады. Ал, егерде бұл 
функциялардың  аргументтерін  х  пен  белгілесек,  яғни 
 
у
f
х
1


функциясының  орнына 
 
x
у


 
функциясын  алсақ,  онда  тура  функция  мен  оған  кері  функция  графиктерінің  формасы 
ӛзгермегенмен, орналасуы әр түрлі болады. 

60 
 
Демек, бастапқы берілген 
)
(х
f
у

 функциясының белгілі графигі бойынша, оған кері 
 
x
у


 
функциясының  графигін  салу  үшін,  берілген  графикке  бірінші  координаталық  бұрыштың 
биссектрисасына қарағанда симметриялы қисықты салу керек. Сонда осы қисықтың теңдеуі 
 
x
у


 
болады. 
Кері функция туралы мына теорема орындалады. 
Теорема. Егер 
)
(х
f
у

 функциясы үдемелі  (кемімелі) болса, онда оған кері  функция 
 
x
у


 
әрқашанда бар және ол да үдемелі (кемімелі) функция болады. 
4.8. Кҥрделі функциялар ҧғымы 
(Функциялар композициясы немесе суперпозициясы) 
Берілген функция аргументінің орнына басқа аргументтің функциясын қоюды  суперпозициялау 
дейді. 
Мысалы 
х
у

  және 
y
z
cos

  функцияларын  суперпозиция-лағанда 
х
z
cos

    функциясы 
шығады. 
Бізге  нақты  сандар  жиынында  анықталған 
)
(х
f
у

  және 
 
x
u


  функциялары  берілсін. 
Айталық 
 
x
u


  функциясы  Х  жиынында,  ал 
)
(u
f
у

  функциясы 
 
x
u


  функциясының 
мәндерінің жиынында анықталған болсын. 
Сонда    х-тың  барлық  мәндерінің  жиыны  Х  анықталу  облысы  болып  табылатын 
 


x
f

 
сәйкестік  ережемен  (заңмен)  берілген  тәуелсіз  айнымалы  х-тың  функциясын  f   және 

 
функцияларының  композициясы  немесе  суперпозициясы,  немесе  функцияның  функциясы,  немесе 
күрделі функция деп атайды және былай белгілейді: 
 


x
f
у


. Мұндағы х тәуелсіз аргумент деп, 
ал 
u
 аралық аргумент деп аталады. Мысалы, 
x
у
lg

 күрделі функция. Мұнда 
 
 
 


x
u
x
f
u
f
x
x
u
lg
,
lg







. 
Саны  екеуден  де  артық  функциялардың  да  композициялары  туралы  айтуға  болады.  Мұнда 
композицияға қатысып отырған әрбір функцияның мәндерінің жиыны келесі функцияның анықталу 
облысына енуі керек. 
Мысалы, 
 
 
 
x
u
u
v
v
f
у





,
,
 болса, онда біртіндеп түрлендіру нәтижесінде х-тың әрбір 
мәніне 
 




х
f
у



 сәйкестендіріледі. 
Егер 
 
х
и


 функциясының мәндері тұтастай 
 
и
f
 функциясының анықталу облысына енбесе, 
онда мына 
 


x
f
у


 күрделі функциясының мағынасы болмайды. 
 
4.9. Функциялардың классификациясы 
Негізгі элементар (қарапайым) функциялар деп тӛменгі функцияларды айтады: 
1) Тұрақты функция 
с
у

, мұндағы с кез келген тұрақты нақты сан; 
2) Дәрежелік функция 


,
х
у

 кез келген нақты сан; 
3) Кӛрсеткіштік функция 
0
,
1
,



а
а
а
у
х
 оң сан;  х  кез келген нақты мәнді қабылдайды; 
4) Логарифмдік функция 
0
,
1
,
log



a
a
x
у
a
 оң сан; х тек оң мәндерді қабылдайды; 
5)  Тригонометриялық  функциялар 
,
x
sin
у

,
x
cos
y

,
tgx
y

ecx
y
x
y
ctgx
y
cos
,
sec
,



, 
tgx
  пен 
x
sec
  үшін  аргументтің 


2
1
2


k
  түріндегі  мәндері  қабылданбайды,  ал 
ctgx
  пен 
ecx
cos
 
үшін 

k
 мәндері қабылданбайды. 
6) Кері тригонометриялық функциялар: 
,
x
arcsin
,
x
arccos
,
arctgx
ecx
x
arc
arcctgx
arccos
,
sec
,
. 
Алгебралық амалдарды, тиісті композицияларды қолданып жоғарыда аталған негізгі элементар 
функциялар тобынан құрылған күрделі  функцияларды элементар функциялар деп атайды. Мысалы 
 
2
3
2
sin
log
,
1
,
ln
x
x
y
x
ctg
y
x
tg
у





-функциялары элементар функциялар. 

61 
 
Барлық элементар функциялар алгебралық және трансценденттік функциялар болып екі класқа 
бӛлінеді. 
Ал барлық алгебралық функциялардың ӛзі мынадай түрлерге бӛлінеді: 
1)
 
Егер 
)
(x
f
  функциясы  дәреже  кӛрсеткіші 
0

n
  жәнекоэффициенттері  нақты  сандар  болып 
келетін айнымалы х-тың дәрежелерінің қосындысы түрінде, яғни 
n
n
n
a
x
a
x
a
x
f





...
)
(
1
1
0
 болса, 
онда 
)
(x
f
 бүтін рационал функция (кӛпмүше) деп аталады. Егер 
0
0

a
 болса, онда натурал сан 
n
 
осы  бүтін  рационал  функцияның  (кӛпмүшенің)  дәреже  кӛрсеткіші  деп  аталады.  Мысалы 
1
2
)
(
,
3
5
)
(
2




x
x
f
x
x
f
  және 
x
x
x
x
f



2
4
3
1
)
(
  функциялары  екінші,  бірінші  және  тӛртінші 
дәрежелі бүтін рационал функциялар. 
Бірінші  дәрежелі  кӛпмүше 
в
ax
x
f


)
(
  сызықты  функция  деп  аталады.  Ал  кез  келген  нақты 
санды  нӛл  дәрежелі  бүтін  рационал  функция  деп  қарауға  болады.Кӛпмүше  дәрежелік  функциялар 
мен  тұрақты  сандардың  кӛбейтінділерінің  қосындысы  болғандықтан,  ол  барлық  нақты  сандар 
жиынында (сан ӛсінде) анықталған. 
Егер 
)
(x
f
  функциясы  екі  бүтін  рационал  функциялардың  қатынасы  түрінде  болса,  ол  бӛлшек 
рационал  функция  деп  аталады.  Демек, 
т
т
т
т
n
n
n
n
в
х
в
х
в
х
в
a
x
a
x
a
х
а
x
f













1
1
1
0
1
1
1
0
...
...
)
(
  бӛлшек  рационал 
функция.Бӛлшек  рационал  функция  бӛліміндегі  кӛпмүше  нӛлге  айналмайтын  х-тың  мәндерінің 
жиынында анықталған. 
Бүтін және бӛлшек рационал функцияларды жалпы атпен рационал функциялар деп атайды. 
2)
 
Негізгі  элементар  (қарапайым)  функцияларғаалгебралық  амалдарды  (қосу,  азайту,  бӛлу, 
бүтін  және  бӛлшек  дәрежеге  шығару)  және  тиісті  композицияларды  қолдану  нәтижесінде  пайда 
болған  рационал  емес  функцияларды  иррационал  функциялар  деп  атайды.  Мысалы:
х
x
f

)
(
, 
,
x
x
)
x
(
f
2


1
x
x
)
x
(
f
3



функциялары иррационал функциялар. 
Алгебралық  емес  кез  келген  (рационал  да,  иррационал  да  емес)  функциялар  трансценденттік 
функциялар деп аталады. Мысалы:
tgx
x
f
x
x
x
f



)
(
,
sin
)
(
 - транценденттік функциялар.  
 
е саны 
Мына 
 













 

n
n
n
x
1
1
 тізбегін қарастырайық. 
Бұл  тізбек  монотонды  үдемелі  тізбек  және  жоғарыдан  шенелген.  Олай  болса  монотонды 
тізбектің  шегі  туралы  теорема  бойынша 
 
n
x
  тізбегінің  нақты  шегі  бар  екенін  кӛреміз.  Оны  Л. 
Эйлердің белгілеуіндей  e  әрпімен белгілейді,  яғни 
   
 
e
n
n
n






 


1
1
lim
 
 
      (4.12.1.) 
Бұл 





 



n
e
n
1
1
lim
  санының  математикалық  анализдің  ӛзі  үшін  де  және  басқа  салаларда  да 
маңызы ӛте зор. Оны ондық бӛлшекке жіктегенде мынадай: 
...
59045
7182818284
,
2

e
 
Негізі  е  саны  болған  логарифмдерді  натурал  логарифмдер  деп  атайды  және  негізін  жазбай 
n

 
деп белгілейді. Теориялық зерттеулерде кӛбінесе натурал логарифмдерді пайдаланады. 
Ондық  логарифмдер  натурал  логарифмдермен  мына  формула  арқылы  байланысады: 
x
M
x
ln
lg


, мұндағы 
M
 натурал логарифмдер системасынан ондық системаға кӛшу модулі және 

62 
 
ол мынаған тең: 
...;
434
,
0
10
1
lg



n
e
M

 мұны табу үшін 
nx
e
x


 теңбе-теңдігін негізі 10 саны деп 
логарифмдесек болғаны. 
е
 саны иррационал сан. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: