Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

53 
 
Жиындар  элементтерінің  санына  қарай  ақырлы,  ақырсыз  және  бос  жиындар  болып  үш  түрге 
бӛлінеді. 
Егер В жиынның элементтерінің саны нақты (тұрақты) бір санға тең болса, онда элементтер үтір 
немесе  нүктелі  үтірмен  ажыратылып,  кескінді  жақша  ішіне  жазылады.  Мысалы 


е
с
в
а
В
,
,
,

. 
Мұндай  жиындарды,  яғни  элементтерінің  саны  нақты  бір  санға  тең  болатын  жиындарды,  ақырлы 
жиындар деп атайды. 
Элементтер  саны  ақырсыз  кӛп  болып  келген  жиынды  ақырсыз  жиын  деп  атайды.  Мысалы, 
барлық рационал сандар жиыны, бір нүктеде қиылысатын түзулер жиыны, тағы басқалар. 
Бірде-бір элементі жоқ жиынды бос (құр) жиын деп атайды. Мысалы, х
2
+1=0 теңдеуінің нақты 
шешімдерінің жиыны бос жиын. Бос жиынды былай белгілейді: Ø. 
Жиынды,  оның  элементтерінің  ортақ  қасиеттерін  пайдаланып,  былай  да  жазуға  болады: 
 


х
Р
х
А
/

.  Мұндағы  х-А  жиынының  кез  келген  элементі,  Р(х)-  сол  элементтердің  ортақ 
қасиеттері. Мысалы, 


5
/



x
І
х
В
 жиынының элементтері 1 мен 5-тің арасындағы барлық нақты 
сандар. 
Бізге А және В жиындары берілсін. 
1-Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса, онда А жиыны 
В жиынының бӛлігі, немесе В жиынының ішкі жиыны деп аталады да былай жазылады: 
В
А

  (А 
жиыны В жиынында жатады). Мысалы, 


е
с
в
а
А
,
,
,

, 


е
к
с
в
а
В
,
,
,
,

 болса, онда 
В
А

. 
Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. 
2-Анықтама. Егер А жиынының кез келген элементі В жиынында және В жиынының кез келген 
элементі  А  жиынында  жатса,  яғни  бұл  екі  жиынның  арасында 
В
А

,
А
В

  ара  қатыстары 
орындалса, ондай жиындарды біріне-бірі тең жиындар деп атайды да былай жазады: А=В. Мысалы, 


е
с
в
а
А
,
,
,

, 


в
е
а
с
В
,
,
,

 болса, онда олар біріне-бірі тең. Демек А=В. 
3-Анықтама. А мен В жиындарының барлық элементтерінен құралған және басқа элементтері 
жоқ  С  жиынын  осы  А  және  В  жиындарының  бірігуі  немесе  қосындысы  дейді  және 
В
А
С


  деп 
белгілейді. Яғни, 


В
х
немесе
А
х
х
В
А
С




/

.  
Мысалы, 


 
у
х
В
с
в
а
А
,
,
,
,


 
және 


к
а
в
е
С
,
,
,

, 
онда 
анықтама 
бойынша 




к
е
с
в
а
С
А
у
х
с
в
а
В
А
,
,
,
,
,
,
,
,
,




. 
4-Анықтама. А мен В жиындарының екеуінде де жататын ортақ элементтерінен құралған және 
басқа элементтері жоқ Д жиынын осы А және В жиындарының қиылысуы немесе кӛбейтіндісі дейді 
және 
В
А
D


 деп белгілейді. Яғни, 

A
x
x
В
А
D



/

 және 

В
х

. 
Мысалы, 




с
х
к
В
к
с
в
а
А
,
,
,
,
,
,


 
және 


н
х
е
С
,
,

 
болса, 
онда 
 
 
х
С
В
Ø,
,
,






С
А
к
с
В
А
 болады. 
Ескерту. 3-ші және 4-ші анықтамаларды саны екіден кӛп жиындарға да қолдануға болады. 
5-Анықтама. А жиынының В жиынында жатпайтын элементтерінен құралған жиынды А мен В 
жиындарының айырымы деп атайды да 
В
А
С
\

 немесе 
В
А
С


 түрінде жазады. 
Мысалы, 




г
с
б
В
с
е
в
б
а
А
,
,
,
,
,
,
,


 болса, онда 


е
в
а
В
А
В
А
С
,
,
\




. 
6-Анықтама.  А  және  В  жиындары  үшін 
А
В

  ара  қатынасы  орындалса,  онда 
С
В
А

\
 
айырымын  В  жиынының  А  жиынына  дейінгі  толықтырушы  жиыны  деп  атап,  былай  белгілейді: 
В
С
В
А
А

\
 (В жиынының А жиынына дейінгі толықтырушысы). 
7-Анықтама.  Егер  А  жиынының  кез  келген  элементіне  В  жиынының  бір  ғана  элементін  және 
керісінше В жиынының әр элементіне А жиынының бір ғана элементін сәйкестендіру мүмкін болса, 
онда  А  мен  В  жиындарының  арасында  ӛзара  бір  мәнді  сәйкестік  орнатылған  дейді.  Осындай 
сәйкестік орнататын ережені немесе заңды ӛзара бір мәнді сәйкестік деп атайды. 
8-Анықтама.  Егер  А  мен  В  жиындарының  арасында  ӛзара  бір  мәнді  сәйкестік  орнату  мүмкін 
болса, онда А және В жиындарын эквивалент немесе қуаттас (қуаттары бірдей) жиындар деп атайды 
да былай белгілейді: 
А ~ В . 
Ақырлы жиынның қуаты деп оның элементтерінің санын айтады. 

54 
 
 
4.2. Логикалық символдар 
Математикада жиі кездесетін сӛз тіркестерін квантор деп аталатын символдармен белгілеу ӛте 
ыңғайлы және пайдалы. Сондықтан келесі символдарды қолдануға болады. 
1) “Кез келген”, “барлық”, “әрбір”, “қандай да болмасын” деген сӛз тіркестері математикада бір 
мағынада қолданылады да, 

(жалпылық) кванторымен белгіленеді. 
2)  “Табылады”,  “белгілі  бір”,  “әрқашанда  бар”  сӛз  тіркестерін  бір  мағынада  қолданады  да, 

 
(бар болу) кванторымен белгілейді. 
3) “Шығады”, “болады”, “орындалады” деген сӛз тіркестерін 

 кванторымен белгілейді. 
4) эквивалентті немесе пара-пар деген сӛз тіркестері 

 кванторымен белгіленеді. 
Математикалық сӛйлемдерді осы логикалық символдар арқылы ықшамдап жазуға болады.  
Мысалы,  “Е  жиынында  жатқан  әрбір  х  үшін  Р  қасиеті  орындалады”;  немесе  “Е  жиынынан  Р 
қасиетін  қанағаттандыратын  х  элементі  табылады”  деген 
Р
Е
х
:


  түрінде  жазылады.  Ал  “кез 
келген 

 саны бойынша 

 саны табылады” деген 
 




 түрінде жазылады. 
Егер Е жиының әрбір элементі F жиынында жатса, онда Е жиынын F-тің ішкі жиыны деп атап, 
F
E

  символымен  белгілейді  дедік.  Осы  анықтама  символдар  бойынша  былай  жазылады: 


F
x
E
x
F
E





:
. 
 
4.3. Рационал сандар 
Адамзат  мәдениет  есігін  ашқаннан  бастап  натурал  сандарды  қолдана  бастады.  Ол  сандар 
мыналар:  1,2,3,…,n,… 
Натурал сандар жиынын 
N
 әрпімен белгілейді. 
Бертін  келе  натурал  сандар  қатары  О  (нӛл)  санымен,  содан  кейін  теріс  сандар  –1,-2,-3,…,-n,… 
қатарымен толықтырылды. Бұл сандар бүтін теріс сандар деп аталады. 
Нӛл саны не оң сандардың, не теріс сандардың қатарына қосылмайды. 
Барлық натурал сандар мен бүтін теріс сандарды және нӛлді біріктіріп бүтін сандар жиыны деп 
атайды. Оны Z әрпімен белгілейді. 
Егер  m  белгілі  бір  шама  болып,  екінші  шама  оның  m-нен  n  бӛлігіне  тең  болса,  онда  кейінгі 
шаманың  мәні 
m
n
  болады.  Мұндағы  n  және  m  бүтін  сандар.  Сонда  екінші  шаманың  мәнін 
ӛрнектейтін 
m
n
 саны бӛлшек немесе қатынас деп аталады. 
Егер  р  мен  q  кез  келген 


0

q
  бүтін  сандар  болса,  онда 
q
р
r

  қатынасын  немесе  бӛлшекті 
математикада  рационал  сан  деп  атайды.  Мұндағы 
q
р
  саны  әрқашанда  қысқартылмайтын  бӛлшек, 
себебі  ол  қысқартылатын  болса,  алдын  ала  алымы  мен  бӛлімін  олардың  ең  үлкен  ортақ  бӛлгішіне 
қысқартуға болады. 
Барлық  оң  және  теріс  бүтін,  оң  және  теріс  бӛлшек  сандардың  жиынын  және  нӛлді  рационал 
сандар жиыны деп атайды. Рационал сандар жиынын Q әрпімен белгілейді. 
4.4. Нақты сандар 
Түзудің  бойында  рационал  емес  нүктелерде  бар.  Олай  болса,  түзудің  барлық  нүктелерімен 
сәйкестендіруге барлық рационал сандар жиыны жетпейді. Ал кӛптеген зерттеулерде түзудің әрбір 
нүктесіне белгілі бір санды сәйкес қойып, нүктені сол санмен кескіндеу қажет. Сондықтан, рационал 
сандар  жиынын  жаңа  (рационал  емес)  сандармен  толықтыру  керек.  Рационал  емес  сандарды 
иррационал сандар деп атайды. 
Анықтама.  Егер  нақты  сан 
0

а
  болса,  онда  оның  абсолют  шамасы  деп  сол  санның  ӛзін,  ал 
егер 
0

а
 болса, онда оның абсолют шамасы деп оған қарама-қарсы –а санын айтады. Яғни 

55 
 
   







.
0
,
,
0
,
болса
а
егер
a
болса
a
егер
a
a
 
Мысалы, 
3


а
 болса, онда 
3
3



а
. Ал егер 
5

а
 болса, онда 
5
5


а
. 
Абсолют  шаманың  геометриялық  мағынасы,  ол  сан  осіндегі  санды  бейнелейтін  нүктемен  бас 
нүкте 0-ның ара қашықтығын кӛрсететін шама. 
Абсолют шаманың анықтамасынан 
а
а
а
а
а
а
а






,
,
,
0
 екендігі ӛзінен-ӛзі түсінікті. 
Абсолют шаманың мынадай қасиеттері бар: 
1)  әрбір 
0


 
оң  саны  үшін 


a
 
және 





a
 
теңсіздіктері  пара-пар 












a
а
; 
2) 
в
а
в
а



; 
 
3) 
в
а
в
а



; 
4) 
в
а
в
а



;   
5) 
0
,


в
в
а
в
а
. 
2-қасиетін дәлелдейік: 
Егер 
0


в
а
  болса,  онда 
в
а
в
а



  және 
в
в
а
а


,
.  Сондықтан 
в
а
в
а



,  немесе 
в
а
в
а
в
а





. Егер 
0


в
а
 болса, онда 
   
в
а
в
а
в
а








)
(
 және 
а
в
а
а




,
. Сондықтан 
   
в
а
в
а





, немесе 
   
в
а
в
а
в
а
в
а










)
(
. 
Бірнеше мысалдар келтірейік. 
1-мысал. 
3
7


х
 теңсіздігін шешу керек. 
Шешуі:  Абсолют  шаманың  бірінші  қасиеті  бойынша 


3
7
3
3
7







x
х
.  Бұл 
теңсіздіктің  әр  мүшесіне  7-ні  қоссақ 
10
4


x
  теңсіздігі  шығады.  Демек,  берілген  теңсіздіктің 
шешімдерінің жиыны 


10
4
/




x
R
x
Х
 болады. 
4.5. Сан (сандар) жиындары 
Кӛп  жағдайда  математикада 


  және 


  символдарын  пайдаланады.  Бұл  символдарды 
ақырсыз сандар (шексіздіктер) деп атайды да, келесі шарттар орындалады деп ұйғарады: 
1) 
Егер 
х 
нақты 
сан 
болса, 
онда 
 
,
,









x
x
   
   
,
,
,


















x
   
0
,













x
x
. 
2) Егер 
0

x
 болса, онда  
 
 
,
,










х
х
   
,







   
       




















,
. 
3) Егер 
0

х
 болса, онда  
 
 










x
x
,
 болады. 
Бұл қасиеттер анықтама ретінде алынады. 
Элементтері  нақты  сандар  болып  табылатын  кез  келген  жиын  сан  немесе  сандар  жиыны  деп 
аталады. Сан жиынына 


 пен 


 ақырсыз сандары кірмейді. 
Енді математикада жиі кездесетін сандар жиынына мысалдар келтірейік: 
1)  Кез  келген  элементі  х  мына 
в
х
а


  теңсіздіктерді  қанағаттандыратын  нақты  сандар 
жиынын сегмент немесе кесінді деп атайды және оны былай белгілейді: 
 


в
х
а
х
в
а



/
;
. 
2)  Жалпы  элементі  х  мына 
в
х
а


  теңсіздіктерді  қанағаттандыратын  нақты  сандар  жиынын 
интервал деп атайды және былай белгілейді:  
 
 


в
x
а
х
в
а
в
a




/
;
;
. 
3)  Кез  келген  элементі  х  мына 
в
х
а


  немесе 
в
х
а


  теңсіздіктерін  қанағаттандыратын 
нақты  сандар  жиынын  жартылай  интервал  дейді  де,  оларды  сәйкесінше  былай  белгілейді: 

 

в
х
а
х
в
а



/
;
 немесе 




в
x
а
х
в
а



/
;
. 
Кесінді, интервал немесе жартылай интервалдарды жалпы атпен аралық деп, ал 
0




а
в
 оң 
санын аралықтың ұзындығы деп атайды. 

56 
 
Сан түзуінің  а нүктесін қамтитын кез келген 
 
с
в;  интервалын сол нүктенің маңайы деп атайды. 
Ал 






а
а
;
  интервалын    а  нүктесінің 

  маңайы 
/
0
/


  деп  атайды  да, 
 
a
U

  символымен 
белгілейді. Мұндағы  а-ны маңайдың центрі, 

-ні радиусы деп атайды. Егер 
 
a
U

 маңайына оның 
центрі (а нүктесі) кірмейтін болса, онда оны а нүктесінің “тесілген” маңайы деп атайды және былай 
белгілейді: 
   
  
 







а
а
а
а
a
U
;
;

. 
Егер 
а
 және 
в
 ӛзара тең емес 
)
(
в
а

 нақты сандар болса, онда олардың әрқашанда бір-бірімен 
қиылыспайтын  (ортақ  нүктелері  жоқ)  маңайлары  бар  болады.  Бұл  нақты  сандардың  жекелену 
(даралану) қасиеті. Басқалай айтқанда, егер 
в
а

 нақты сандар болса, онда 
 
 
Ø

в
U
a
U



. 
Кейбір  жағдайларда 


а
а
;


  және 




а
а;
  сияқты  жартылай  маңайлар  деп  аталатын 
интервалдар  да  пайдаланылады.  Мұндағы 


а
а
;


  интервалы  а  нүктесінің  сол  жақ  жартылай,  ал 




а
а;
 интервалы а нүктесінің оң жақ жартылай маңайы деп аталады. 
Сонымен бірге, кейде шенелмеген аралықтарды, мысалы белгілі нақты сандар жиыны 





;
, 
кез  келген  элементі 


a
x
a
х


  теңсіздігін  қанағаттандыратын  нақты  сандар  жиыны 








;
;
а
а
,  немесе  кез  келген  элементі 


a
x
a
x


,
  теңсіздігін  қанағаттандыратын  нақты 
сандар жиыны 

 



а
а
;
;




 пайдаланылады. 
4.6. Тҧрақты және айнымалы шамалар. Функция ҧғымы 
Жаратылыстану  ғылымдары  мен  техникалық  білімдердің  кез  келген  салаларында  кездесетін 
негізгі ұғым – шамалар ұғымы. Біз ӛлшелінетін және санмен ӛрнектелетін заттардың барлығын шама 
деп түсінеміз. Яғни, ӛлшеу процесін қолдануға болатын әрбір объект шама деп аталады. 
Шамаларды бір-бірінен оңашаламай, бірге алып қарастырсақ, олардың кейбіреулері ӛзгеріп, ал 
кейбіреулері  тұрақты  болып  отыратындығын  байқаймыз.  Сондықтан  математикада  шамаларды 
тұрақтылар және айнымалылар деп екі топқа бӛледі. 
Егер  шама  қарастырылып  отырған  есеп  немесе  зерттеу  жағдайында  белгілі  бір  сан  мәнін 
сақтайтын  болса,  ондай  шама  тұрақты  деп  аталады.  Ал  егер  берілген  есеп  жағдайында,  немесе 
тексеріліп  отырған  зерттеу  жағдайында  әр  түрлі  сан  мәндерін  қабылдайтын  болса,  ол  шама 
айнымалы деп аталады. 
Бір  жағдайда  алынған  шама  тұрақты  деп  қарастырылса,  екінші  бір  жағдайда  ол  айнымалы 
шамаға  айналуы,  немесе,  керісінше  бір  жағдайдағы  айнымалы  шама  екінші  бір  жағдайда  тұрақты 
шамаға айналуы мүмкін. 
Жалпы математикада, әрбір шаманың сапалық қасиеттеріне кӛңіл бӛлінбей, тек абстракциялық 
шама  қарастырылады  және  оны  символдармен,  мысалы  х  әрпімен  белгілейді.  Тек  осылай 
жасағанның  нәтижесінде  математикалық  қорытындыларды  түрлі-түрлі  (физикалық,  механикалық, 
биологиялық, т.с.с) шамаларды зерттеуге қолдануға болады. 
Қарастырылып  отырған  зерттеу  жағдайында  айнымалы  шама  х-тың  қабылдайтын  барлық 
мәндерінің жиыны осы айнымалының мәндерінің жиыны немесе ӛзгеру облысы деп аталады. 
Егер  айнымалы  шама  х  ӛзі  қабылдайтын  біріне-бірі  тең  емес  екі  мәннің  арасындағы  барлық 
мәндерді де қабылдайтын болса, онда мұндай айнымалыны үздіксіз айнымалы деп атайды. 
Айнымалы  х-тің  қабылдайтын  мәндері  сан  болғандықтан,  ол  сан  түзуінің  нүктелерімен 
кескінделеді. Егер қарастырылып отырған есепте х тұрақты шама (тек бір мәнді қабылдайтын) болса, 
оны  түзудің  тұрақты  бір  ғана  нүктесімен  кескіндейді.  Ал  егер  қарастырылып  отырған  мәселеде  х 
айнымалы  (түрліше  мәндер  қабылдайтын)  шама  болса,  онда  оның  мәндері  түзудің  әр  түрлі 
нүктелерімен  кескінделетін  болады.  Яғни,  айнымалы  х-ті  кескіндейтін  түзудің  нүктесі  ӛз  орнын 
ӛзгертіп отырады. 
Әлемдегі  құбылыстар  (процестер)  ӛзара  шарттас  жаппай  байланыстылық  пен  ӛзара  тәуелділік 
заңдарына  бағынатыны  белгілі.  Қандай  құбылыс  болса  да,  ол  басқалардан  оңашаланған  жағдайда 
ӛтіп жатпайды, ол құбылыстың ӛзі басқа бірқатар құбылыстардан тәуелді және әрдайым тағы да бір 
қатар  құбылыстарды  туғызады.  Сондықтан  кез  келген  құбылысты  сан  жағынан  алып  қарағанда 

57 
 
бірнеше  айнымалы  шамалардың  ӛзара  бірге  ӛзгерушіліктері  деп  тануымызға  болады.  Процесті 
осылай  тану  математикада  функциялық  тәуелділік  ұғымын,  яғни  айнымалы  шамалар  арасындағы 
байланыстылық ұғымын туғызады. 
Егер  біз  функциялық  тәуелділіктегі  айнымалы  шамаларды  х  және  у  деп  алсақ,  онда  олар  бір 
мезгілде  кез  келген  мәндер  қабылдай  алмайды.  Яғни  олардың  біреуіне  кез  келген  мән  берсек, 
екіншісі соған тәуелді (байланысты) мән қабылдайды. Мұндай жағдайда, яғни олардың біреуіне кез 
келген  мән  бергенде,  екіншісі  соған  сәйкес  (байланысты)  мән  қабылдаса,  онда  бірінші  шаманы 
тәуелсіз, ал екінші шаманы тәуелді айнымалы деп атайды. 
Бізге нақты сандардан тұратын (құралған) Х және У жиындары берілсін. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: