Функцияның нҥктедегі (жергілікті)және аралықтағы ҥзіліссіздігі

67 
 
Бұдан  біз  үзіліссіз  функциялар  үшін  функция  таңбасы  f   пен  шек  таңбасы 
lim
  екеуінің 
орындарын ауыстыруға болатындығын кӛреміз. 
Айталық  х  нүктесі 
 
в
а;   аралығының  кез  келген  нүктесі  болсын,  яғни 
 
в
a
x
;

.  Сонда 
х
х
х



0
  айырмасын  аргумент  немесе  тәуелсіз  айнымалы  х-тың 
0
х   нүктесіндегі  ӛсімшесі  дейді. 
Ӛсімше 
х

  оң  да,  теріс  те  таңбалы  бола 
береді  және 
 
в
а
х
х
х
;
0




.  Мына 

  
0
0
0
)
(
)
(
x
f
x
x
f
x
f
x
f





  айырманы 
аргументтің 
х

  ӛсімшесіне  сәйкес 
 
x
f
 
функциясының 
(немесе 
тәуелді 
айнымалының) 
ӛсімшесі 
дейді. 
Яғни 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
у



 
немесе 
 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
x
f



. 
Берілген 
)
(x
f
у

 
функциясының  ӛсімшесі  оң  да,  теріс  те 
кейде нӛлге де тең болуы мүмкін (23-сызба). 
Осыларды  ескеріп,  1-анықтамадағы 
теңсіздіктерді мына түрде жазуға болады:   
,
0





х
х
х







y
x
f
x
x
f
)
(
)
(
0
0
, 
бұдан        

  


0
lim
0
0
0






x
f
x
x
f
x
. 
 Демек   
 
0
lim
lim
0
0








x
f
y
x
x
(4.17.1) 
Осыдан 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;   аралығының 
0
х   нүктесінде  үзіліссіздігінің  тағы  да  бір 
анықтамасы шығады. 
3-Анықтама.  Егер  аргументтің 
0
х   нүктесіндегі  ӛсімшесі 
х

  нӛлге  ұмтылғанда 

  
х
f
х
0


 
функциясының оған сәйкес ӛсімшесі 
 
x
f
y



-та нӛлге ұмтылса 
 


0


x
f
, 
 
x
f
 функциясын 
0
х  
нүктесінде үзіліссіз функция деп атайды. 
Бұл анықтамадан үзіліссіз функция үшін аргументтің ақырсыз кішкене ӛсімшесіне сол нүктеде 
функцияның ақырсыз кішкене ӛсімшесі сәйкес келетінін кӛреміз  (4.17.1). 
Функцияның  нүктедегі,  немесе  жергілікті  үзіліссіздігінің  берілген  анықтамалары  ӛзара 
эквивалентті  анықтамалар.  Осыған  дейінгі  анықтамалардың  барлығы  функцияның  нүктедегі 
үздіксіздігінің анықтамалары. Енді функцияның аралықтағы үздіксіздігінің анықтамасын берейік. 
Анықтама. Егер 
 
x
f
 функциясы 
 
в
а;  аралығының кез келген нүктесінде үзіліссіз болса, онда 
оны 
 
в
а;  аралығында үзіліссіз функция деп атайды. 
Берілген 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;   аралығындағы  үзіліссіздігін  зерттегенде  оның 
 
в
а;  
аралығында  жатқан  барлық  нүктелердегі  үздіксіздігін  зерттеп  шығу  мүмкін  емес.  Сондықтан 
 
x
f
 
функциясының 
 
в
а;   аралығындағы  үздіксіздігін  зерттеу  үшін  х  нүктесін 
 
в
а;   аралығының  кез 
келген нүктесі деп, оған  
х

 ӛсімше береміз де, осы ӛсімшеге сәйкес функцияның ӛсімшесін тауып, 
одан 
х

-ты нӛлге ұмтылдырып шек табамыз. Егер осы шек нӛлге тең болса, онда 
 
x
f
 функциясы 
 
в
а;  аралығының кез келген нүктесінде, яғни 
 
в
а;  аралығында үздіксіз функция болады. 
Функцияның берілген 
0
х  нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамаларының мағынасы болу үшін ол 
функция сол 
0
х  нүктесінің қандайда болмасын бір маңайында және 
0
х  нүктесінде анықталуы керек. 
Сонымен  бірге 
 
x
f
  функциясының  шегі 
 
0
x
f
  аргумент  х-тың 
0
х   нүктесіне  қалай 
ұмтылатындығына тәуелді болмауы керек. Бірақ бұл шарт барлық функциялар үшін бірдей орындала 
23 
сызба 
  A            x
0                                
x
0
+

x              b     
x 
y=f(x) 
y 
0 
f(x
0
) 

y 

68 
 
бермейтіндігі  шектер  теориясында  айтылды.  Олай  болса,  функцияның  нүктедегі  бір  жақты 
шектерінің ұғымдарына байланысты оның берілген нүктедегі бір жақты үзіліссіздігі ұғымын енгізуге 
болады. 
Анықтама. Егер 
 
x
f
 функциясының 
0
х  нүктесіндегі сол жақ шегі оның сол нүктедегі мәніне 
тең болса, яғни 
 
 
0
0
0
lim
x
f
x
f
x
x



  теңдігі  орындалса, 
 
x
f
  функциясын 
0
х  нүктесінде сол жағынан 
үзіліссіз деп атайды. 
Анықтама. Егер 
 
x
f
 функциясының 
0
х  нүктесіндегі оң жақ шегі оның сол  нүктедегі мәніне 
тең  болса,  яғни 
 
 
0
0
0
lim
x
f
x
f
x
x



  теңдігі  орындалса,  онда 
 
x
f
  функциясын 
0
х   нүктесінде  оң 
жағынан үзіліссіз деп атайды. 
Осы  анықтамалардан 
 
x
f
  функциясының  нүктедегі  үзіліссіздігінің  қажетті  және  жеткілікті 
шарты шығады. 
Теорема. 
 
x
f
у

  функциясы 
0
х   нүктесінде  үзіліссіз  болуы  үшін  оның  осы  нүктеде  сол 
жағынанда, оң жағынанда үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті.  Яғни 




 
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f




 
болса, 
 
x
f
 функциясы 
0
х  нүктесінде үзіліссіз. 
Анықтама.  Егер 
 
x
f
у

  функциясы 
 
в
а;   аралығында  үзіліссіз  және 
а
  нүктесінде  оң 
жағынан, 
в
 нүктесінде сол жағынан үзіліссіз болса, онда ол 
 
в
а;  кесіндісінде үзіліссіз функция деп 
аталады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
у

  функциясы 
 
в
а;   сегментінде  үзіліссіз  монотонды  ӛспелі  немесе 
монотонды  кемімелі  болса,  онда 
 
x
f
  функциясының 
 
в
а;   сегментінде  қабылдайтын  барлық 
мәндері  ӛзінің  құрамына  кіретін 
 
d
c;
  сегментінде  анықталған  оған  кері 
 
x
y


  функциясы  да 
үзіліссіз болады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
z

  функциясы 
0
y
y

  нүктесінде,  ал 
 
x
y


0
х
х

  нүктесінде  үзіліссіз 
және 
 
0
0
у
x


  болса,  онда 
 


х
f
z


  күрделі  функциясы 
0
х
х

  нүктесінде  үзіліссіз  функция 
болады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
  функциясы 
0
х   нүктесінде  үзіліссіз  болса,  онда  ол  осы  нүктенің  қандайда 
бір 
 
0
x
U

 маңайында да үзіліссіз функция болады. 
Теорема.  Егер 
 
x
f
  және 
 
x

  функциялары 
0
х
х

  нүктесінде  үзіліссіз  болса,  онда  осы 
функциялардың  алгебралық  қосындысы,  кӛбейтіндісі  және  қатынасы  (бӛліміндегі  функция 
0
х  
нүктесінде нӛлге тең болмаса) да осы 
0
х  нүктесінде үзіліссіз болады. 
Енді бірнеше мысалдар қарастырайық. 
1-мысал. 
 
3
х
x
f

  функциясының  аргументі  кез  келген  х  мәнінен 
х
х


  мәніне  ауысқандағы 
ӛсімшесін табу керек. 
Шешуі: 

  
x
f
x
x
f
у





.  Ал 

 







3
x
x
x
x
f
 
3
2
2
3
3
3
x
x
x
x
x
x







. Сонда 

  






x
f
x
x
f
у
 
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x














. 
2-мысал. 
 
x
x
f
sin

  функциясының  аргументі  х-тан 
х
х


-қа  ауысқандағы  ӛсімшесін  табу 
керек. 
Шешуі: 
  
  












x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
sin
sin
 
2
2
2
2
2
2
x
sin
x
x
cos
x
x
x
sin
x
x
x
cos










 






. 
3-мысал. 
 
2
6
5
2




x
x
x
f
y
 функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу 
керек. 

69 
 
Шешуі:  Егер  х  -ке 
х

  ӛсімшесін  берсек,  берілген   
 
x
f
  функ-циясының  жаңа  нүктедегі  мәні, 
яғни 

 







2
5
x
x
x
x
f
 




2
2
2
2
5
2
6
10
6
5
2
6
6
5
10
5
2
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x





















тең 
болады. 
Сонда 
функцияның 
ӛсімшесі 
  
  








x
f
x
x
f
x
f
у
 




2
2
2
2
5
10
6
5
2
6
10
6
5
2
6
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















. 
Бұдан 




0
5
10
6
2
0
0







x
x
x
lim
y
lim
x
x





, яғни зерттеліп отырған 
 
x
f
  функциясы  барлық  сан 
ӛсінде үзіліссіз. 
4-мысал. 
x
y
cos

 функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу керек. 
Шешуі: 
Егер 
х 
–қа 
х

 
ӛсімшесін 
берсек, 
функцияның 
ӛсімшесі 


2
sin
2
sin
2
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
у













. 
Бұдан 
0
2
sin
2
sin
lim
2
lim
0















x
x
x
y
x
,  яғни 
x
y
cos

  функциясы  кез  келген  нүктесінде 
үзіліссіз. 
Енді функциялардың үздіксіздігін пайдаланып мына маңызы зор шектерді дәлелдейік: 


e
a
a
log
1
log
lim
0






  
 
(4.17.2) 
a
a
ln
1
lim
0






  
 
(4.17.3) 











1
1
lim
0
 
(

 - кез келген нақты сан)(4.17.4) 
Мына 












1
1
log
1
log
1
1
log





a
a
a
  теңбе-теңдіктің оң жағындағы логарифм таңбасы 
астындағы  тұрған  ӛрнек 

  нӛльге  ұмтылғанда 
e
  санына  ұмтылады,  олай  болса  логарифмдік 
функцияның үзіліссіздігі бойынша бұл ӛрнек 
e
a
log
-ге ұмтылады, яғни  






e
a
a
a
a
log
1
lim
log
1
log
lim
1
log
lim
1
0
1
0
0


























. 
Бұдан дербес жағдайда 


1
1
ln
lim
0






. 
Енді  (4.17.3)  формуланы  дәлелдеу  үшін 




1
a
  десек,  онда  кӛрсеткіштік  функцияның 
үздіксіздігінен 
0


 да, 

-да 0-ге ұмтылады және 










1
log
,
1
a
a
.  
Ендеше    



1
lim
0


a


a
e
a
a
ln
log
1
1
log
lim
0








. 
Ал дербес жағдайда  
1
1
lim
0






e
. 
Соңында (4.11.4) формуланы дәлелдеу үшін 








1
1
  десек, онда дәрежелік функцияның 
үздіксіздігінен 
0


  да 
0


.  Енді 


1
1






  теңдігінің  екі  жағын  да  логарифмдесек, 




1
ln
1
ln






. Сонда берілген ӛрнекті былай түрлендіруге болады:  
























1
ln
1
ln
1
1
. 
Сонда  

70 
 




























1
ln
lim
1
ln
lim
1
1
lim
0
0
0
. 
 Функцияның нҥктеде ҥзілуі және оның тҥрлері 
Егер 
0
х   нүктесі 
 
x
f
  функциясының  анықталу  жиынында  жатып,  сол  нүктеде 
 
x
f
  үзіліссіз 
болмаса, онда 
0
х  нүктесі 
 
x
f
 функциясының үзіліс нүктесі немесе 
 
x
f
 осы 
0
х  нүктесінде үзіледі 
дейді. 
Біз  бұл  жерде 
0
х   нүктесі 
)
(x
f
  функциясының  үзіліс  немесе  үзіліссіздік  нүктесі  болуы  үшін 
)
(x
f
 сол нүктеде анықталған функция екенін ұмытпауымыз керек. 
Соныменен 
0
х   нүктесінде 
)
(x
f
  функциясының  шегі  (ақырлы  да,  ақырсыз  да)  болмаса, 
0
х  
нүктесі осы функцияның үзіліс нүктесі болады. 
Егер 
)
(x
f
 функциясының 
0
х  нүктесінде сол және оң жақ нақты шектері бар болып, олар ӛзара 
тең болмаса, онда 
)
(x
f
 функциясын 
0
х  нүктесінде жай немесе бірінші түрдегі үзілісті деп атайды. 
Ал 
0
х  нүктесін бірінші түрдегі үзіліс нүктесі дейді. 
Егер 
)
(x
f
  функциясы 
0
х  нүктесінде үзілісті болып, бірақ бірінші түрдегі үзіліс болмаса, яғни 
0
х  нүктесінде 
)
(x
f
 функциясының кем дегенде біржақты, шектерінің біреуінің нақты мәні болмаса, 
онда 
)
(x
f
  функциясын 
0
х  нүктесінде күрделі немесе екінші түрдегі үзілісті деп атап, 
0
х  нүктесін 
екінші түрдегі үзіліс нүктесі дейді. 
Егер 
0
х   нүктесінде 
)
(x
f
  функциясы  үшін 




 
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f




  теңсіздігі  орындалса, 
онда 
0
х  нүктесі жӛнделетін үзіліс нүктесі деп аталады. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: