Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

76 
 
1
11. 
U
U
cos
y
,
U
sin
y





; 
2 
23
 











U
U
V
nU
V
U
y
,
U
y
V
V

; 
1
12. 
U
U
sin
y
,
U
cos
y






; 
 
 
 
5.7. Функцияның дифференциалы 
Айталық, 
 
x
f
 функциясының шектелген туындысы бар 
болсын,  онда: 
 
x
f
x
y
x






0
lim
,  демек: 
 
 
,
x
x
f
x
y







 








0
x
lim
0
x



, 

  -  ақырсыз 
кішкене шама. 
Онда функцияның ӛсімшесі былай жазылады: 
   
 
 
x
x
x
x
f
y









 
 
(5.7.1) 
Осы  теңдікте  екінші  қосылғыш 
 
x
x
x




,

  -ке  қарағанда  жоғарғы  ретті  ақырсыз  кішкене 
шама болғандықтан, бірінші қосылғыш  y

 -ке эквивалентті шама болады. 
Анықтама: Функцияның туындысы мен аргументтің  ӛсімшесінің кӛбейтіндісін дифференциал 
деп атайды және мына түрде жазады: 
   
 
x
x
f
dy



   
 
(5.7.2) 
Онда (5.7.1) теңдіктің бірінші (негізгі) бӛлігі дифференциал болады. 
Дербес  жағдайда,  егер 
x
y

  болса,  онда 
 
x
x
x
dy





,  осыдан 
x
dx


  және  осыны 
пайдаланып (5.7.2) формуланы мына түрде жазуға болады: 
 
dx
x
f
dy


. 
Осыдан 
 
dx
dy
x
f


, яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент  дифференциалына 
бӛлінген мәніне тең. 
Дифференциал табу ережелері туынды ережелеріне ұқсас. 
Егер 
U
  және 

  дифференциалданатын  функциялар  деп  болжайтын  болсақ,  онда  мына 
формулаларды жазуға болады: 




d
dU
U
d



, 


dU
Ud
U
d






, 


dU
c
U
c
d



, 
 
c
 -тұрақты сан, 
2




Ud
dU
U
d








 


0


. 
Мысал ретінде соңғы формуланы дәлелдейік: 
2
2








Ud
dU
dx
U
dx
U
d
dx
U
U
d




















. 
Дифференциалды  жуықтап  есептеулерге  пайдалануға  болады.  Айталық, 
 
x
f
  функциясы 
дифференциалданатын болсын, онда оның ӛсімшесі: 
 
x
x
dy
y






, 
мұнда 
 
x


 -ақырсыз кішкене шама. 
Бұл формуланы былай жазуға болады: 

  
 
dy
x
x
f
x
f
x
x
f







 
осыдан: 

  
 
x
x
f
x
f
x
x
f






. 
Егер 
0
x  нүктесінде функцияның мәні беріліп, бізге 
x
x


0
 нүктесіндегі мәнін табу керек болса, 
онда оны мына формуламен табамыз 

77 
 
   


 
 
x
x
f
x
f
x
x
f






0
0
0
 
     (5.7.3) 
Мысалы 
3
001
,
8
 мәнін табу керек болсын, онда: 
 
001
,
0
,
8
,
0
3




x
x
x
x
f
, демек 
 
2
0

x
f
. 
Ал 
 
 
12
1
8
1
3
1
,
3
1
3
1
3
2
0
3
2
3
2








x
f
x
x
x
f
. 
Сонда (5.7.3) формула бойынша: 
 


0002
,
2
001
,
0
12
1
2
001
,
8
001
,
8
3





f
. 
 
5.8. Жоғарғы ретті туындылар 
Айталық, 
 
в
a,
  аралығында 
 
x
f
  функциясы  берілсін.  Егер  осы  аралықта  функцияның 
туындысы  бар  болса,  онда  оны 
 
x
f

  деп  белгілейік.  Осы  туындыны  функцияның  бірінші  ретті 
туындысы  деп  атайды.  Бірінші  туындының  ӛзін  бӛлек  функция  деп  қарайтын  болсақ,  онда  оның 
 
в
a,
  аралығында  туындысы  бар  болуы  мүмкін.  Ол  туындыны 
 
x
f
  функцияның  екінші  ретті 
туындысы деп алып, оны былай белгілейміз: 
   
 
 
 
 
 




x
f
x
f
x
f
1
2
 немесе 
 




y
y
 т.т. 
Осы сияқты функцияның 
n
-ші ретті туындысын жазуға болады және оны былай белгілейді: 
   
 
 
 
 





x
f
x
f
n
n
1
 немесе 
 
 





1
n
n
y
y
. 
 
5.9. Жоғарғы ретті дифференциалдар. Бірінші ретті дифференциалдың инварианттылығы 
Егер 
 
в
a,
 аралығында 
 
x
f
 функциясы дифференциалданатын болса, онда дифференциал мына 
формуламен табылады: 
 
dx
x
f
dy


. 
Бұл  дифференциалды  бірінші  ретті  дифференциал  деп  атайды.  Егер  бірінші  ретті 
дифференциалдан  тағы  дифференциал  алатын  болсақ,  онда  оны  екінші  ретті  дифференциал  деп 
атайды және былай белгілейді: 
 
 
dy
d
y
d
dx
x
f
y
d



2
2
2
,
. 
Бұл формуланы ашып жазсақ: 
 


 


 
2
2
dx
x
f
dx
x
f
d
dx
x
f
d
y
d







. 
Осы сияқты 
n
-ші ретті дифференциал мына формуламен анықталады: 


 
 
n
n
n
n
dx
x
f
y
d
d
y
d



1
. 
Бұл формуладан, 
 
 
 
n
n
n
n
x
dx
y
d
x
f
y


, 
яғни 
n
-ші  ретті  туынды 
n
-ші  ретті  дифференциалдың 
 
n
n
dx
dx

-ге  бӛлінген  мәніне  тең 
болатыны кӛрінеді.  
Енді 
 
z
F
y

 функциясының аргументі басқа бір айнымалының функциясы болса: 
 
 
x
z
z
F
y



,
 
яғни 
 
 
)
(
x
F
x
f
y



 күрделі функция болса, онда  осы функцияның дифференциалы 
 


dz
y
dx
z
y
dx
z
y
dx
y
dy
z
x
z
x
z
x














 
осыдан: 
dz
y
dy
z


 

78 
 
яғни, функцияның дифференциалы әрқашанда осы формуладағы түрде табылады (аргументті 
тәуелсіз  немесе  тәуелді  болса  да).  Дифференциалдың  бұл  қасиетін  оның  интерварианттылығы  деп 
атайды. Бұл қасиет тек бірінші рет дифференциалдарға ғана тән. 
Мысал. 
x
y
2
sin

 функцияның 10–ші ретті дифференциалын  табу керек болсын: 
Шешуі: 
.
2
sin
2
...,
,
2
cos
2
;
2
sin
2
;
2
cos
2
;
2
sin
2
)
(
;
2
cos
2
)
(
2
sin
cos
sin
2
10
9
10
6
5
6
5
4
5
4
3
4
3
2
2
3
2
2
xdx
y
d
xdx
y
d
xdx
y
d
xdx
y
d
xdx
y
d
d
y
d
xdx
dy
d
y
d
xdx
xdx
x
dx
y
dy
















 
№8 дәріс тақырыбы: Кӛп айнымалылы функциялары 
([1], 2 бӛлім, [2], [3], [6]) 
Кӛп аргументті функциялар  
 Кӛп айнымалылар функциясының анықтамасы 
Анықтама.  Егер  белгілі  бір  ереже  немесе  заң  бойынша  М  жиынындағы  тәуелсіз 
у
х,
 
айнымалыларының  әрбір  қос(пар)  мәніне  Z   жиынының  тек қана  бір мәні  z   сәйкес  келсе,  онда  z  
айнымалы  М  жиынындағы 
у
х,
  тәуелсіз  айнымалыларының  функциясы  деп  аталады  және  былай 
белгіленеді: 
)
,
(
y
x
f
z

, немесе 
)
,
(
y
x
z


, немесе 
)
,
(
y
x
F
z

, т.т. 
Нақты  сандар  х  пен  у-тің  реттелген  (
у
х,
)  пары  тек  қана  бір  А  (
у
х,
)  нүктесіне  сәйкес  келетін 
болғандықтан, екі  аргументті  функцияларды жазықтықтағы нүктенің функциясы түрінде де жазуға 
болады, яғни, 
 
A
z
A
f
z



),
(
 немесе 
)
(A
F
z

, т.т. 
Жоғарыдағы анықтамада сӛз болған М жиыны функцияның анықталу облысы деп аталады. 
Егер 


0
0
, у
х
 қос мәні М-нен алынса, онда 


0
0
, y
x
f
 функцияның 
0
x
x

 және 
0
y
y

 болғандағы 
дербес мәні болады. 
Енді  анықталу  облыстары  кӛрсетіліп,  аналитикалық  жолмен  немесе  формуламен  берілген 
функциялардың  бірнеше  мысалдарын  келтірейік.  Мына 
2
2
y
x
z


  формула  барлық 
 
у
х,   қос 
мәндері  үшін  функцияны  анықтайды.  Мына 
2
2
1
y
x
z



  формула 
1
2
2


y
x
  теңсіздігін 
қанағаттандыратын қос мәндер үшін ғана жарамды. Ал мына 
2
2
1
1
y
x
z



 
 және 
в
y
a
x
z
arcsin
arcsin


  формулалар  сәйкесінше 
1
2
2


у
х
  және 
в
у
в
a
x
a






,
  теңсіздіктерін 
қанағаттандыратын 
 
у
х,   қос  мәндерінде  ғана  функцияны  анықтайды.  Бұл  мысалдардан,  бір 
айнымалы функция үшін аргументтің ӛзгеру облысы шенелген немесе шенелмеген аралық болса, ал 
екі  айнымалы  функция  үшін  аргументтің  ӛзгеру  облысы  есептің  шартына  қарай  түрліше  және 
күрделі болып келетінін кӛреміз. 
Енді осы қарастырылған екі аргументті функция ұғымын кез келген ақырлы сан аргументті (
n
 
аргументті) функцияға да қолдануға болады. 
Анықтама.  Егер  белгілі  заң  немесе  ереже  бойынша 
n
х
х
х
,...,
,
2
1
,  аргументтер  мәнінің  әрбір 
жиынына айнымалы 
u
-дың бір мәні сәйкес қойылатын болса, онда айнымалы 
u
-ды 
n
 аргументтің 
функциясы деп атайды және былай белгілейді: 






n
n
n
x
x
x
F
u
x
x
x
u
x
x
x
f
u
,...,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
2
1




.  
Ал 
n
х
х
х
,...,
,
2
1
  нақты  сандарынан  құралған  әрбір  реттелген  (
n
х
х
х
,...,
,
2
1
)  жиынына 
n
  ӛлшемді 
кеңістікте бір 


n
х
х
х
Р
Р
,...,
,
2
1

  нүктесі  сәйкес  келетін  болғандықтан, 
n
  аргументті  функцияны 
n
 
ӛлшемді  кеңістіктегі  нүктенің  функциясы  деп  жазуға  болады,  яғни 
 
 
P
u
P
f
u



,
  немесе 
 
P
F
u

. 

79 
 
Егер 


n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1

  функциясының 
n
х
х
х
,...,
,
2
1
  аргументтерінің 
n
  ӛлшемді  кеңістіктегі  М 
жиынының  құрамынан  шықпайтын  нақты  мәндерінің  әрбір  жиынына 


n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1

 
функциясының толық анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда М жиыны берілген 
u
 функцияның бар 
болу (анықталу) облысы деп аталады. 
Біз  бұл  тарауда  ендігі  жерде  жазу  ықшамды  болу  үшін  екі  немесе  үш  айнымалының 
функцияларын қарастырамыз, ӛйткені олар үшін дұрыс теория кӛп айнымалылардың фуннкциялары 
үшін де дұрыс болады. 
 
7.2. Ашық және жабық жиындар 
Ӛлшемі 
n
-ге тең кеңістіктің нүктелерінен құралған жиындар мен ол жиындардың құрамындағы 
нүктелер, оларға қойылған белгілі шарттардың орындалуына қарай, бірнеше топқа бӛлінеді. 
Жаңа  ұғымдар  түсінікті  болу  үшін  оларды  біз  екі  ӛлшемді  кеңістік,  немесе  ХОУ  жазықтығы 
үшін енгіземіз. 
Егер  жазықтықтағы 


0
0
, y
x
A
  нүктесі  мен 
0



  саны  берілсе,  онда  А  нүктесінің 

  маңайы 
 
A
U

  деп  берілген  А  нүктесінен  қашықтығы 


В
А,

  берілген 
0


  санынан  кіші  болатын,  яғни 





В
А,
 теңсіздігін қанағаттандыратын В нүктелердің жиынын айтады. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: