№9 дәріс тақырыбы:Анықталмаған интеграл

86 
 
Дененің қозғалыс заңы 
 
t
S
S

 теңдеуі арқылы берілсін. Мұндағы 
t -уақыт, 
S
-дененің жүрген 
жолы.  Сонда  қарастырылып  отырған  қозғалыстың  берілген  мезгілдегі  лездік  жылдамдығы 
 
dt
dS
t
S




 формуласы бойынша анықталатыны бізге диффе-ренциалдық есептеулерден белгілі. 
Ал механика мен техниканың және тағы басқа кӛптеген ғылым саласында бұған қарама-қарсы 
мағынадағы есептерді кездестіруге болады. Мысалы, дененің  t  мезгілдегі жылдамдығы 
 
t

 беріледі 
де, сол бойынша дененің қозғалу заңын, яғни ӛткен уақытпен жүрген жол арасындағы тәуелділікті 
анықтау  талап  етіледі.  Бұл  есеп  дифференциалдық  есептеулерде  қарастырылған  есепке  кері  есеп 
екені бізге ӛзінен ӛзі түсінікті. 
Сонымен дифференциалдық есептеулерде функция беріліп, оның туындысын табу талап етілді. 
Енді бізге туынды беріледі де, алғашқы функцияны табу талап етіледі. 
Анықтама. Егер бір Х аралықтың әрбір нүктесінде 
)
(x
F
 функциясы үшін  
 
)
(x
f
x
F


 немесе 
dx
x
f
x
dF
)
(
)
(

          (8.1.1) 
теңдігі орындалса, онда 
)
(x
F
 функциясы осы аралықта 
)
(x
f
 үшін алғашқы функция деп аталады. 
Соныменен  жол,  яғни  айнымалы  функция 
 
t
S
,  жылдамдық 
 
t

  үшін  алғашқы  функция 
болады. 
Мысалы. 
x
x
F
sin
)
(

  функциясы  барлық  сан  осінде 
x
x
f
cos
)
(

  функциясының  алғашқы 
функциясы болады, ӛйткені 


x
x
R
x
cos
sin
:




. 
Теорема.Егер 
)
(x
F
 Х аралықта 
)
(x
f
 үшін алғашқы функция болса, онда 
С
x
F

)
(
 функциясы 
да (С-кез келген тұрақты) 
)
(x
f
 үшін осы аралықта алғашқы функция болады. 
Дәлелдеу. 
)
(x
F
  функциясы 
)
(x
f
  үшін  алғашқы  функция.  Демек, 
 
)
(x
f
x
F


. Сонымен бірге 


)
(
)
(
)
(
x
f
x
F
С
x
F





, яғни 
С
x
F

)
(
 да 
)
(x
f
 функциясына алғашқы функция болады. 
Дәлелденген теоремадан мынадай қорытынды шығады: егер 
)
(x
f
 функциясы үшін бір алғашқы 
)
(x
F
 табылса, онда оның шексіз кӛп алғашқы функциялары бар. 
Теорема. Берілген функцияның алғашқы функцияларының бір-бірінен айырмасы тұрақты шама 
болады. 
Дәлелдеу. Егер берілген 
)
(x
f
  функциясының  алғашқы  функцияларын 
)
(x
F
  және 
)
(х
Ф
  десек, 
онда 
 
)
(x
f
x
F


 және 
 
)
(x
f
х
Ф


. Олай болса 


0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(









x
f
x
f
х
Ф
x
F
x
F
х
Ф
,  
яғни 
C
x
F
х
Ф


)
(
)
(
. Бұдан 
C
x
F
х
Ф


)
(
)
(
 (С-кез келген тұрақты). 
Бұл теоремадан мынадай қорытынды шығады: егер 
)
(x
F
  берілген  аралықта 
)
(x
f
-тің  алғашқы 
функцияларының  бірі  болса,  онда  оның  барлық  алғашқы  функцияларының  жиыны 
С
x
F

)
(
 
қосындысымен  ӛрнектеледі.  Басқаша  айтқанда  осы  қосындыға  кірмейтін  оның  басқа  алғашқы 
функциялары болуы мүмкін емес. 
Анықтама.  Егер 
)
(x
F
  функция 
)
(x
f
-тің  алғашқы  функциясы  болса,  онда  оның  барлық 
алғашқы  функцияларының  жиынын,  яғни 
С
x
F

)
(
  ӛрнегін 
)
(x
f
-тен  анықталмаған  интеграл  деп 
атайды және былай белгілейді: 
   



C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
   
 
(8.1.2) 
Бұл ӛрнектегі 
)
(x
F
 функциясы 
)
(x
f
-тің белгілі бір алғашқы функциясы, С-кез келген тұрақты. 
)
(x
f
-интеграл  астындағы  функция, 
dx
x
f
)
(
-интеграл  астындағы  ӛрнек,  ал  х  -интегралдау 
айнымалысы деп аталады. 

-интеграл белгісі. 
Соныменен,  қандай  да  бір  функциядан  анықталмаған  интеграл  дегеніміз  сол  функцияның 
барлық  алғашқы  функцияларының  жалпы  түрі. 
)
(x
f
-тің  алғашқы 
С
x
F

)
(
  функцияларының 

87 
 
жиынынан  белгілі  бір  алғашқы  у  функциясын  табу  үшін 
0
х
х

  болғанда 
0
у
у

  болады  деген 
алғашқы шарт қойылуы керек. 
Егер бастапқы шарт берілсе, онда 
 
C
x
F
у


0
0
 теңдігінен 
 
0
0
x
F
y
C


 шығады.  
Яғни, 
)
(x
f
-тің  ізделініп  отырған  алғашқы  функциясы 
0
0
)
(
)
(
y
x
F
x
F
у



  түрінде 
анықталады. 
Берілген 
)
(x
f
 үшін алғашқы 
)
(x
F
 функциясын табу амалы 
)
(x
f
-ті интегралдау деп аталады. 
Туындысы  бойынша  алғашқы  функцияны  іздеу,  немесе  берілген  функцияны  интегралдау 
интегралдық есептеулер деп аталады. 
 
8.2. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері 
Дифференциалдау  амалына  кері  амал  болып  табылатын  интегралдау  амалының  анықтамасына 
сүйеніп анықталмаған интегралдың мына қасиеттерін дәлелдейік. 
1.
 
Анықталмаған  интегралдың  туындысы  интеграл  астындағы  функцияға,  ал  дифференциалы 
интеграл астындағы ӛрнекке тең болады. 




 
)
(
)
(
)
(
x
f
x
F
C
x
F
dx
x
f








 




 
dx
)
x
(
f
dx
x
F
C
)
x
(
F
d
dx
)
x
(
f
d






 
2.
 
Дифференциалдың  анықталмаған  интегралы  дифференциалданған  функция  мен  кез  келген 
тұрақтының қосындысына тең, яғни 
 



C
x
F
dx
x
f
)
(
. 
 
)
(x
f
x
F


 немесе 
 
dx
x
f
x
dF
)
(

. 
Олай болса,  





C
x
F
dx
x
f
dx
x
dF
)
(
)
(
)
(
. 
3.
 
Тұрақты  кӛбейткішті  интеграл  белгісінің  алдына  шығаруға  да,  интеграл  белгісінің  астына 
алып баруға да болады. 
Демек   



dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
,    к  –тұрақты,  теңдіктің  екі  жағын  жеке-жеке  алып 
дифференциалдасақ 


 
 


 


 
dx
x
kf
dx
x
f
kd
dx
x
f
k
d
dx
x
kf
dx
x
kf
d






,
)
(
Яғни 



dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
  теңдігі 
дұрыс. 
4.
 
Бірнеше 
функциялардың 
алгебралық 
қосындысының 
анықталмаған 
интегралы 
қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни 
 


 
 






dx
x
dx
x
f
dx
x
x
f


)
(
. 
Бұл теңдік те алдыңғы теңдікті дәлелдегендей дәлелденеді. 
5.
 
Егер 
)
(x
F
 функциясы 
)
(x
f
үшін алғашқы функция болса, (яғни 
   
x
f
x
F


), онда 
   







С
в
ax
F
а
dx
в
аx
f
1
)
(
. 
Дәлелдеу. 






в
ax
f
а
в
ах
F
а
С
в
ax
F
а













1
1
. 
 
8.3. Анықталмаған интегралдың негізгілерінің таблицасы 
Егер 
)
(x
U
U

 белгілі бір Х аралықта дифференциалданатын функция болса, дифференциалдық 
есептеулердің формулаларын еске алып анықталмаған интегралдың негізгілерінің мынадай кестесін 
жасауға болады: 
1)
 



C
x
dx
 
2)
 





C
u
du
u
1
1
1



 (
1



, кез келген сан). 

88 
 
2
1



 болса, онда 
C
u
u
du



2
, 
1



 болса, онда 
C
u
u
du



ln
, 
2



 болса, онда 
C
u
u
du




1
2
. 
3)
 


1
a
,
0
a
;
C
a
a
ln
1
du
a
u
u





, 



C
e
du
e
u
u
. 
4)
 






,
,
sin
cos
C
chu
shudu
C
u
udu
 







C
shu
chudu
C
u
udu
,
cos
sin
. 
5)
 







C
u
ctgudu
C
u
tgudu
sin
ln
,
cos
ln
. 
6)
 








 



C
u
tg
u
du
C
u
tg
u
du
4
2
ln
cos
,
2
ln
sin

 
7)
 







C
cthu
u
sh
du
C
tgu
u
du
2
2
,
cos
, 







C
thu
u
ch
du
C
ctgu
u
du
2
2
,
sin
. 
8)
 







C
a
u
arcctg
a
C
a
u
arctg
a
u
a
du
1
1
2
2
. 
9)
 






C
a
u
a
u
a
a
u
du
ln
2
1
2
2
. 
10)
 







C
a
u
C
a
u
u
a
du
arccos
arcsin
2
2
. 
11)
 






C
a
u
u
a
u
du
2
2
ln
. 
Бұл кестеге енген әрбір формуланың дұрыстығын дифференциалдау арқылы дәлелдеуге болады. 
Осы таблицадағы формулалармен бірге мына интегралдарды да білген дұрыс: 
12)
 








C
a
u
u
a
a
u
u
du
a
u
2
2
2
ln
2
2
. 
13)
 






C
u
a
u
a
u
a
du
u
a
2
2
2
2
2
2
arcsin
2
. 
14)
 


















1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
2
n
n
n
n
J
n
n
a
a
u
a
n
u
a
u
du
J
 
15)
 





C
в
ах
а
в
ax
dx
ln
1
. 
16)
 




C
х
dx
x
x
)
(
ln
)
(
)
(



. 
17)
 
 




C
x
2
dx
)
x
(
)
x
(



. 
Бұл интегралдарды біз соңғы (келесі) параграфтарда дәлелдейміз. 
 
8.4. Тікелей интегралдау. Айнымалыны ауыстыру және бӛліктеп интегралдау 
Кӛптеген  функциялардың  анықталмаған  интегралдарын  таблицадағы  формулалар  мен  негізгі 
қасиеттерге сүйеніп бірден жазуға болады. Тікелей интегралдау дегеніміз осы. 
Бірнеше мысалдар келтірейік. 

89 
 
1-мысал. 











C
x
x
x
x
dx
х
х
х
3
4
5
2
3
4
1
3
4
5
. 
2-мысал. 















C
x
x
x
x
dx
x
x
x
х
2
3
2
1
3
1
1
1
3
3
2
2
. 
Айнымалыны ауыстыру әдісі мына формуланы қолдануға негізделген: 
   
 
 
   




dt
t
t
f
dx
x
f


   
(8.4.1) 
Анықталмаған интегралдың анықтамасы бойынша 
 
 



C
x
F
dx
x
f
. 
Егер х тәуелсіз айнымалы болса, онда 
   
dx
x
f
x
dF

 теңдігі орындалатынын және бірінші ретті 
дифференциал  формуласының  инварианттығын  еске  алып  х  айнымалыдан 
 
t
х


  формула 
бойынша  t -ға  кӛшкен  жағдайда 
 
 
 
 
   
dt
t
t
f
t
dF
x
dF






  теңдігі  орындалады.  Енді  осы 
теңдіктің екі жағынан интеграл алсақ (6.4.1) теңдігі шығады. 
Осы формулаға бірнеше мысал келтірейік. 
13-мысал. 



dx
х
а
2
2
х айнымалыны 
t
a
x
sin

 деп алған тиімді. Бұдан  


tdt
a
dx
cos
 




 

























.
2
sin
4
2
2
2
cos
4
2
2
cos
2
2
2
cos
1
2
2
cos
1
2
1
cos
cos
cos
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
t
a
t
a
t
td
a
t
a
tdt
a
dt
a
dt
t
a
t
t
tdt
a
tdt
t
a
tdt
a
t
а
а
 
Осы шыққан нәтижені бұрынғы тәуелсіз айнымалы х арқылы ӛрнектейік. Яғни 
t
a
x
sin

 немесе 
t
а
х
sin

 теңдігінен 
a
x
t
arcsin

 болады. Сонда 
2
2
2
2
2
2
1
2
sin
1
sin
2
cos
sin
2
2
sin
x
a
a
x
a
x
a
x
t
t
t
t
t













болып ӛрнектеледі. 
Демек, 
C
x
a
x
a
x
а
dx
х
а






2
2
2
2
2
2
arcsin
2
 
Бұл нәтиженің дұрыстығын тікелей дифференциалдау, яғни оң жағының туындысы 
2
2
x
a

-қа 
тең екендігін кӛрсету арқылы тексеруге болады. 
14-мысал. 






болады
dt
t
dx
белгілесек
деп
t
x
x
dx
x
5
6
3
6
,
1
 




dt
t
t
1
6
2
8
 /бӛлшектің бүтін бӛлігін бӛліп шығарсақ/= 

 






















2
2
4
6
2
2
4
6
t
1
dt
6
dt
6
dt
t
6
dt
t
6
dt
t
6
dt
1
t
1
1
t
t
t
6









6
6
3
5
7
x
t
белгілеуде
t
x
C
arctgt
6
t
6
t
2
t
5
6
t
7
6
 
.
C
x
arctg
6
x
6
x
2
x
5
6
x
7
6
6
6
6
5
6
7






 
Айталық, 
)
(
),
(
x
x
U
U




 аргумент х-тің дифференциал-данатын функциялары болсын. 
Сонда   
 
dU
Ud
U
d





 болады. 
Осыдан 

90 
 
 









dU
U
Ud
dU
Ud
U
d






,
        (8.4.2) 
формуласы шығады. Бҧл бӛліктеп интегралдау формуласы деп аталады. 
Жалпы  алғанда  бӛліктеп  интегралдау  әдісі  айнымалыны  ауыстырудан  қиын  және  қолдану 
облысы тарлау болса да тек қана осы әдіспен интегралданатын интегралдар бар. 
Енді осы бӛліктеп интегралдау формуласына мысалдар келтірейік. 
18-мысал. 
dx
а
х


2
 интегралын есептеу керек. 
Шешуі:  Бұл  интегралдың  астындағы  ӛрнек  кӛбейткіштерге  жіктеулі  тұр,  сондықтан  
a
x
U


2
,
dx
d


  деп  аламыз.  Бұдан 
x
,
а
x
xdx
dU
2




.  Сонда  бӛліктеп  интегралдау 
формуласын қолдансақ мынау шығады: 















dx
a
x
a
a
x
a
x
x
a
x
dx
x
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2










a
x
dx
a
dx
a
x
a
x
a
x
x
2
2
2
2
 
С
a
x
x
ln
a
dx
a
x
a
x
x
2
2
2









 
Соныменен  біз  алғашқы  берілген  интегралға  келдік,  яғни  бұл  теңдік  берілген  интеграл 
тұрғысынан  қарағанда  теңдеу  болып  шықты.  Теңдеудің  оң  жағындағы  интегралды  сол  жағына 
шығарсақ, 
 








C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
, 
немесе 








C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
2
. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: