Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

48 
 
   
0
2
1
2
1
2
1



z
z
y
y
x
x
 
 
(2.6.9) 
түрінде жазылады. 
Кеңістіктегі  векторлар  үшін  қорытылған  осы  формулаларды  ХОУ  жазықтығында  жатқан 
векторларға қолдану үшін олардағы үшінші координат  z-тің орнына нӛлді қойса болғаны. 
Егер  қандайда  бір 

  осі  тік  бұрышты  декарттық  координаттар  осімен 



,
,
  бұрыштар 
жасайтын  болса,  онда  кез  келген 


Z
Y
X
s
;
;
  вектордың  осы  оське  түсірілген  проекциясы  мына 
формула бойынша анықталады: 
   



cos
cos
cos
Z
Y
X
s
пр




       (2.6.10) 
Осы тұжырымды дәлелдейік. Айталық 

 осінің бағыты 
e  бірлік векторымен берілсін. Сонда  e  
бірлік  вектор  болғандықтан,  оның  проекциялары  бағыттаушы  косинустеріне  тең.  Демек, 





cos
;
cos
;
cos
е
. Сонымен бірге 
 
s
e
s
пр
s
пр
е



. 
Сондықтан 
   



cos
cos
cos
Z
Y
X
s
пр




.   
 
 
2.7. Екі вектордың векторлық кӛбейтіндісі 
Анықтама. 
а   мен  в   векторларының  векторлық  кӛбейтіндісі  деп  мына  шарттарды 
қанағаттандыратын үшінші 
с  векторын айтады: 
1)
 
кӛбейтінді   
с   векторының  ұзындығы  кӛбейткіш  векторлар  арқылы  жасалған 
параллелограмның ауданына тең, 
2)
 
кӛбейтінді 
с  вектор кӛбейткіш векторлардың жазықтығына перпендикуляр, 
3)  кӛбейтінді 
с   вектордың  ұшынан  қарағанда  бірінші  кӛбейткіш  вектордан  екінші  кӛбейткіш 
векторына қарай айналу сағат тілінің бағытына қарсы орындалады. 
Берілген  
а  және  в  векторларының векторлық кӛбейтіндісін былай белгілейді: 
с
в
х
а

 немесе 
 
с
в
а

.  
Анықтама бойынша    
 
в
а
в
c
a
c
в
а
с






,
,
,
,
sin


. 
Векторлық кӛбейтіндінің қасиеттері: 
1-қасиет. Кез келген   а  және  в  векторлар үшін 
   
   
а
в
в
а


. 
2-қасиет. Кез келген 
R


 және 
а , в  векторлар үшін 
   
 
   
 
 
в
а
в
а
в
a





 
3-қасиет. Кез келген  а  мен  в  векторлар үшін 
   
 

    
с
в
с
а
с
в
a



. 
4-қасиет. Егер  а  және  в  векторлары ӛзара параллель болса, онда 
 
0
в
а

. 
Енді 
 
k
j
i ,
,
  базисінде  берілген 
k
z
j
y
i
x
a
1
1
1



  және 
k
z
j
y
i
x
в
2
2
2



  векторларының 
векторлық кӛбейтіндісін қарастырайық. Сонда 
 






 
 

k
x
y
y
x
j
z
x
z
x
i
z
y
z
y
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
в
а
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1











.  
Бұл жерде векторлық кӛбейтіндінің 3-ші, 4-ші қасиеттері пайдаланды. 
Бұдан үшінші ретті анықтауыштың анықтамасынан 

49 
 
   
 
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
j
i
в
а

   
 
(2.7.1) 
Егер  
а  мен  в  векторлары ӛзара параллель болса, онда векторлық кӛбейтіндінің 4-ші қасиетін 
 
0

в
а
 пайдаланып олардың параллельдік шартын 
   
2
1
2
1
2
1
z
z
у
у
х
х


  
 
 
(2.7.2) 
түрінде  жазуға  болады.  Яғни,  векторлар  коллинеар  болса,  олардың  проекциялары  ӛзара 
пропорционал болады. 
 
2.8. Ҥш вектордың аралас кӛбейтіндісі 
Анықтама.  Үш  вектордың  аралас  кӛбейтіндісі  деп  екі  вектордың  векторлық  кӛбейтіндісімен 
үшінші вектордың скалярлық кӛбейтіндісін айтады. 
Кӛбейткіш векторлар 
с
в
а ,
,
 болса, онда олардың аралас кӛбейтіндісі 
 
 
с
в
а
не
с
в
х
а
,
 немесе  
с
в
а
  түрінде жазылады. 
Аралас  кӛбейтіндінің  нәтижесі  санға  тең,  ал  оның  абсолют  шамасы  кӛбейткіш  векторлардан 
құрылған параллелепипедтің кӛлеміне тең болады. 
Аралас кӛбейтіндінің қасиеттері: 
1-қасиет. 
     
а
с
в
с
в
а
с
в
а


 
2-қасиет.
а
в
с
в
с
а
с
а
в
в
а
с
а
с
в
с
в
а








 
3-қасиет. Егер векторлар 
с
в
а ,
,
 компланар болса, онда 
0

с
в
а
. 
Ортогональ  нормальданған 
 
k
j
i ,
,
  базисінде 


,
;
;
1
1
1
z
y
x
a

 

3
3
3
2
2
2
;
;
,
;
;
z
y
x
c
z
y
x
в
  векторлары 
берілсін. Сонда  
 
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
z
y
x
y
x
y
z
x
z
x
x
z
у
z
у
с
в
а
с
в
а







. 
Демек,  
3
3
3
2
2
2
1
1
1
z
у
х
z
у
х
z
у
х
с
в
a

   
                    (2.8.1) 
Дәріс №4.         Жазықтықтағы тҥзу 
1-есеп.  ХОУ  жазықтығында  тұрақты 


0
0
0
; у
х
М
  нүктесі  мен 


B
A
n
;
  векторы  берілген.  М
0
 
нүктесінен ӛтетін және  n  векторына перпендикуляр түзудің теңдеуін табу керек (5-сызба,а). 
Шешуі: Түзудің бойынан кез келген жылжымалы М(х;у) нүктесін аламыз. Сонда басталған және 
аяқталған  нүктелері  берілген  вектордың  координаттарының  формуласы  бойынша   
М
М
0
 
векторының  координаттары 


0
0
0
;
у
у
х
х
М
М


  болады. 
М
М
0
  векторы  түзудің  бойында 
жатқандықтан 
n
М
М

0
 болады. Сондықтан олардың скалярлық кӛбейтіндісі 
0
)
(
0


М
М
n
 болады. 
Осы теңдікті вектордың координаттары арқылы жазсақ мынадай теңдеу шығады: 
   

 

0
0
0




y
y
B
x
x
A
 
 
(3.1.1) 
Бұл М
0
 нүктесінен ӛтетін және 


B
A
n
;
 векторына перпендикуляр түзудің теңдеуі. 
Осы  (3.1.1)  теңдеуден 
0
0
0




Ву
Ву
Ах
Ах
,  немесе 
С
Ву
Ах



0
0
  деп  белгілесек  түзудің 
жалпы теңдеуі шығады 
   
0



С
Ву
Ах
 
 
      (3.1.2) 

50 
 
Бұл  теңдеу  бірінші  дәрежелі  теңдеу.  Ендеше  жазықтықта  бірінші  дәрежелі  теңдеу  әрқашанда 
түзуді анықтайды. Сондықтан жазықтықтағы түзуді бірінші ретті қисық деп те атайды. 
Түзуге перпендикуляр кез келген векторды түзудің нормаль (нормальдық) векторы деп атайды. 
Енді түзудің осы 
0



С
Ву
Ах
 жалпы теңдеуін зерттейік. Ол үшін оның коэффициенттерінің 
мәндерін қарастырады: 
1)
 
0

С
,  онда 
0


Ву
Ах
  теңдеуі  координаттар  жүйесінің  баснүктесі  арқылы  ӛтетін  түзуді 
анықтайды. 
2)
 
0

В
, онда 
0


С
Ах
 теңдеуі 
ОУ  осіне параллель түзуді анықтайды. 
3)
 
0

А
, онда 
0


С
Ву
ОХ  осіне параллель түзудің теңдеуі. 
4)
 
0
,
0


С
В
, онда 
0

Ах
ОУ  осінің теңдеуі (түзу   ОУ осінде жатады). 
5) 
0
,
0


С
А
, онда 
0

Ву
 теңдеуі 
ОХ  осін анықтайды (түзу   ОХ  осінде жатады). 
2-есеп.  ХОУ  жазықтығында 


0
0
0
; у
х
М
  нүктесі  мен 


n
m
S
;
  векторы  берілген.  М
0
  нүктесінен 
ӛтетін  S  векторына параллель болатын түзудің теңдеуін табу керек (5-сызба,а). 
Шешуі:  түзудің  бойынан  кез  келген  жылжымалы 
)
;
(
у
х
М
  нүктесін  аламыз.  Сонда 


0
0
0
;
у
у
х
х
М
М


  векторы 
S   векторына  параллель  болуы  керек.  Ендеше 
S
t
М
М

0
.  Енді  осы 
векторлық теңдеуді координаттар арқылы жазсақ түзудің параметрлік теңдеуі шығады: 














tn
y
y
tm
x
x
немесе
tn
y
y
tm
x
x
0
0
0
0
 
(3.1.3) 
Ал енді (2.9.3)-тен  t -ны жойсақ, түзудің канондық теңдеуі шығады: 
   
n
y
y
m
х
х
0
0



 
 
 
(3.1.4) 
Егер түзу координат осьтерінің біреуіне перпендикуляр болса, онда оның канондық теңдеуінде 
сол оське сәйкес бӛлімінде нӛл жазылады. 
Түзуге параллель кез келген вектор түзудің бағыттаушы векторы деп аталады. 
Түзудің 
канондық 
теңдеуінен 


0
0
x
x
m
n
у
у



. 
Мұндағы 
k
tg
m
n
ендеше
S
S
пр
n
S
S
пр
m
ОУ
ОХ









,
sin
,
cos
-түзудің бұрыштық коэффициенті. Сонда 


0
0
х
х
k
у
у



  теңдеуін  түзудің  берілген  нүкте  арқылы  ӛтетін  берілген  бағыттағы  теңдеуі  деп 
атайды. Осы теңдеуден 
в
kx
y
kx
у
kх
у





0
0
0
0
,
 десек, онда  
   
 
в
kх
у


 
 
 
(3.1.5) 
түзудің бұрыштық коэффициент арқылы берілген теңдеуі. 
3-есеп.




2
2
2
1
1
1
;
,
;
у
х
М
у
х
М
  нүктелері  берілген.  Осы  нүктелер  арқылы  жүргізілген  түзудің 
теңдеуін табу керек. 
Шешуі: Түзудің бағыттаушы векторы етіп 
2
1
M
M
S

 векторын аламыз, сонда (3.1.4) бойынша 
   
 
1
2
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
х
х





 
 
(3.1.6) 
теңдеуі шығады. Бұл берілген екі нүкте арқылы жүргізілген түзудің теңдеуі деп аталады. 
Енді  дербес  жағдайда 
 
в
о
А ;   және 
 
о
а
А ;   нүктелерін  алсақ,  онда  екі  нүкте  арқылы  ӛтетін 
түзудің теңдеуінен: 
   
 
1


в
y
а
х
 
 
 
(3.1.7) 
Мұны түзудің кесінділер арқылы берілген теңдеуі деп атайды. 

51 
 
4-есеп.  Координаттардың  бас  нүктесінен  ӛтпейтін  және  координат  осьтеріне  параллель  емес 
түзудің теңдеуін қорытып шығару керек, (5-сызба,ә). 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Шешуі:  Координаттардың  бас  нүктесінен  түзуге  ОТ  перпендикулярын  түсіреміз.  Оның 
ұзындығы 
р
ОТ

-ға,  абсцисса  осінің  оң  бағытымен  жасайтын  бұрышы 

-ға  тең  болсын. 
Перпендикулярдың  бағытын  анықтайтын  бірлік  векторды 
0
n   деп  белгілейік.  Сонда  ізделініп 
отырған түзудің бойынан кез келген жылжымалы 
)
;
(
у
х
М
  нүктесін  алсақ 
р
OM
пр
о
n

  болады.  Ал 
векторлардың  скалярлық  кӛбейтіндісінің  анықтамасы  бойынша 
о
n
n
OM
OM
пр
о


  болады.  Олай 
болса 
р
n
OM
о


.  Осы  векторлық  теңдеуге 
 
у
х
OM
;
  және 




sin
;
cos
о
n
  векторларының 
проекцияларын қойсақ 
   
0
sin
cos



р
y
x


 
 
(3.1.8) 
теңдеуі шығады. Бұл теңдеу түзудің нормаль (нормальданған) теңдеуі деп аталады.(3.1.8) теңдеуінен 
оның коэффициенттері мына шарттарға 
0
,
1
sin
cos
2
2



р


 
бағынатыны ӛзінен ӛзі түсінікті. 
5-есеп. Түзудің 
0



С
Ву
Ах
 жалпы теңдеуін нормаль түрге келтіру керек. 
Шешуі:  Осы  теңдеуді 
0

М
  санына  кӛбейтсек 
0






С
М
Ву
М
Ах
М
.Сонда 
,
cos
А
М



,
sin
B
M



Р
C
M



шарттарын қанағаттандыруы керек. 
1
2
2
2
2




В
М
А
М
, немесе 
2
2
1
В
А
М



- нормальдаушы кӛбейткіш, оның таңбасы С-ның 
таңбасына қарама-қарсы болып алынады. 
Сонымен 
0
2
2





В
А
С
Ву
Ах
 
 
(3.1.9) 
Түзудің нормаль түрге келтірілген теңдеуі болады. 
а) 
М 
М
0
 
n
 
s
 
0 
у 
х 
ә
) 
Т 
М 
n
  0 
у 
х 
б) 
М
1
 
М
0
 
0 
у 
х 
5-сызба 

52 
 
6-есеп.  Ах+Ву+С=0  түзуі  және  осы  түзудің  бойында  жатпайтын   


0
0
0
; у
х
М
  нүктесі  берілген. 
Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу керек,(5-сызба,б). 
Шешуі:  М
0
  нүктесінен  түзуге  М
0
М
1
  перпендикулярын  түсіреміз. 


1
1
1
; у
х
М
  нүктесі 
перпендикулярдың  табаны.  Сонда 
d
n
M
M
n
M
M
n







cos
0
1
0
1
,  мұндағы 
0
1
M
M
d

.  Осы 
ӛрнекті координаттар арқылы жазсақ:  

 



d
n
C
By
Ax
By
Ax
By
Ax
y
y
B
x
x
A












0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
 немесе  
   
2
2
0
0
B
A
C
By
Ax
d




   
 
(3.1.10) 
7-есеп.  Жалпы  теңдеулерімен 
,
0
С
у
В
х
А
1
1
1



0
С
у
В
х
А
2
2
2



берілген  түзулердің 
арасындағы бұрышты табу керек. 
Шешуі:  Бұл  түзулердің  нормаль  векторлары   




2
2
2
1
1
1
;
,
;
B
A
n
B
A
n
.  Екі  түзудің  арасындағы 
бұрыш осы түзулердің номаль векторларының арасындағы бұрышқа тең. Сондықтан, екі вектордың 
арасындағы бұрыштың формуласы (2.6.8) бойынша 
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
B
A
B
A
B
B
A
A
n
n
n
n
cos









     (3.1.11) 
Егер  түзулер  ӛзара  перпендикуляр  болса,  онда  олардың  нормаль  векторлары  біріне  -  бірі 
перпендикуляр болады. Яғни, олардың скалярлық кӛбейтіндісі нӛлге тең: 
0
2
1


n
n
  немесе  
0
2
1
2
1


B
B
A
A
        (3.1.12) 
Ал, егер түзулер параллель болса, онда олардың нормальдары параллель болады. 
Демек,  
2
1
n
n


  немесе  
2
1
2
1
В
В
А
А

         (3.1.13) 
(3.1.11) – жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыштың формуласы. 
(3.1.12) – жазықтықтағы түзулердің перпендикулярлық шарты. 
(3.1.13) – жазықтықтағы түзулердің параллельдік шарты. 
 
№5  дәріс  тақырыбы:Бір  айнымалыдан  тәуелді  функция.  Функцияның  шегі  және 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: