Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар

32 
 
   
mn
m
m
m
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a




3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11





 
осы кестені реті (ӛлшемі) 
n
x
m
-ге тең матрица деп атайды және оны былай белгілейді: 
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a



2
1
2
22
21
1
12
11
, не 
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a



2
1
2
22
21
1
12
11
 немесе 
 


n
j
m
i
a
A
ij
ij
,
1
,
,
1



 
Реті 
n
x
m
  матрица  m   жатық  және  n   тік  жолдан  тұрады.  Матрицадағы 
ij
a   оның  элементтері 
деп  аталады.  Бірінші  индекс  жатық  жолдың,  ал  екінші  индекс  тік  жолдың  нӛмірлері.  Мысалы 
53
a  
элемент 5-ші жатық жолдың 3-ші тік жолмен қиылысқан жерінде тұр. 
Реттері  (жатық  және  тік  жолдарының  сандары)  бірдей  болып  келген  екі  матрица  типтес 
матрицалар деп аталады. 
Мысалы 
   
























3
0
7
0
2
1
,
3
5
0
2
1
3
B
A
 
матрицалары типтес, себебі екеуі де үш жатық, екі тік жолдан тұрады. 
Егер  екі  реттері  бірдей  (типтес)  матрицалардың  сәйкес  элементтері  ӛзара  тең  болса,  ондай 
матрицалар тең матрицалар деп аталады. Демек 
n
x
m
n
x
m
ij
n
x
m
ij
n
x
m
B
A
онда
b
B
a
A



),
(
),
(
 болады, 
егер 
ij
ij
b
a

. 
Бір жатық жолдың элементтерінен ғана құралған матрица жатық жол матрица деп аталады 
   


n
a
a
a
a
A
...
3
2
1

. 
Ал бір ғана тік жолдың элементтерінен құралған матрица тік жол матрица деп аталады 
   














к
к
b
b
b
B
1
. 
Егер  матрицаның  жатық  жолдарының  саны  оның  тік  жолдарының  санына  тең  болса,  ондай 
матрица  квадрат  матрица  деп  аталады.  Квадрат  матрицаның  реті  оның  жатық  немесе  тік 
жолдарының  саны бойынша анықталады. 
Мысалы
 
































nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



2
1
2
22
21
1
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
22
21
12
11
11
,
,
,
 
реттері 1-ге, 2-ге, 3-ке және 
n
-ге тең квадрат матрицалар. Реті 
n
-ге тең А матрицадағы 
nn
a
a
a
...
22
11
-
бас диагональ элементтері. 
Элементтерінің бәрі бірдей нӛл болып келген матрица нӛлдік (нӛл) матрица деп аталады. 
Бас  диагональдың  элементтерінен  басқа  элементтерінің  бәрі  нӛлге  тең  квадрат  матрица 
диоганальдық (диагональ) матрица деп аталады. 
Бас диоганальдың элементтерінің бәрі бірдей бірге тең диагональ матрицаны бірлік матрица деп 
атайды. 

33 
 




































1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
;
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22
11






E
a
a
a
A
nn
 
Егер квадрат матрицаның бас диагоналының бір жағына орналасқан элементтерінің бәрі де нӛл 
болса, ондай матрицалар тӛменгі және жоғарғы үшбұрышты матрицалар деп аталады. 





































mm
m
m
nn
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
C
b
b
b
b
b
b
В






0
0
0
0
;
0
0
0
0
0
2
23
22
1
13
12
11
2
1
22
21
11
 
Квадрат А матрицаның барлық жатық жолдарын ӛз (сол) нӛмірлерімен тік жол етіп ауыстырып 
жазудан шыққан матрица А
Т
 транспозицияланған матрица деп аталады. 
   






















33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
T
 
Егер 
T
A
A

 болса, онда матрица А симметриялы матрица деп аталады. Демек А симметриялы 
матрица, егер 
ji
ij
a
a

. 
Анықтама. Типтес екі матрицаның қосындысы деп элементтері берілген матрицалардың сәйкес 
элементтерін қосу арқылы жасалған матрицаны айтады. Яғни,  
)
(
,
),
(
),
(
ij
n
x
m
ij
n
x
m
ij
n
x
m
c
С
В
A
онда
болса
b
B
a
A





, мұндағы 
ij
ij
ij
b
a
c


. 
Мысалы 
























0
0
1
0
0
1
,
5
1
0
1
2
3
B
A
. 
Сонда  





































5
1
1
1
2
2
0
0
1
0
0
1
5
1
0
1
2
3
B
A
С
 
Анықтама.  Типтес  А  және  В  матрицалардың  айырымы  деп  элементтері  А  матрицаның 
элементтерінен В матрицаның сәйкес элементтерін шегеру  арқылы  жасалған С матрицаны айтады. 
Демек 
 
 
 
ij
n
x
m
n
x
m
n
x
m
ij
n
x
m
ij
n
x
m
c
B
A
С
онда
болса
b
B
a
A





,
,
,
 
мұндағы 
ij
ij
ij
b
a
c


. 
Мысалы 
   
























1
3
0
0
1
1
4
2
0
2
3
1
,
2
0
1
1
1
2
1
0
4
1
2
3
B
A
. 
 
 
Сонда 

34 
 










































3
3
1
1
0
1
5
2
4
1
1
2
1
3
0
0
1
1
4
2
0
2
3
1
2
0
1
1
1
2
1
0
4
1
2
3
B
A
C
 
Матрицалар типтес болмаса оларды қосу және азайту амалдарының мағынасы болмайды. 
Кейбір белгілі жағдайларда матрицаларды бірін-біріне кӛбейтуге болады. 
Егер А матрицаның тік жолдарының саны В матрицаның жатық жолдарының санына тең болса, 
онда А матрица В матрицамен келісілген матрица деп аталады. 
 
Мысалы   































42
41
32
31
22
21
12
11
31
21
11
23
22
21
13
12
11
;
;
c
c
c
c
c
c
c
c
C
b
b
b
B
a
a
a
a
a
a
A
 болсын. 
Сонда А матрица В матрицамен келісілген, С матрица А матрицамен келісілген, ал В матрица А 
матрицамен келісілмеген т.с.с. 
Реттері бірдей квадрат матрицалар әрқашанда ӛзара келісілген матрицалар. 
А  матрицаны  В  матрицаға  кӛбейту  үшін  матрица  А  матрица  В  мен  келісілген  матрица  болуы 
керек, яғни 
к
x
n
n
x
m
B
A
,
. 
А  матрица  мен  В  матрицаның  кӛбейтіндісі  деп  реті   
к
х
m
-ға  тең  матрица 
к
x
m
С
-ны  айтады. 
Сонда 
nj
in
j
2
2
i
j
1
1
i
n
1
S
sj
is
ij
ij
mxк
b
a
...
b
a
b
a
b
a
с
)
c
(
С








. 
Демек,  А  матрицаның 
i
-інші  жатық  жолының  барлық  элементтерін  В  матрицаның 
j
-інші  тік 
жолының сәйкес элементтеріне кӛбейтіп, шығатын кӛбейткіштердің бәрін қоссақ 
к
x
n
mxn
к
x
m
B
А
С


 
матрицаның 
ij
c -ші элементі шығады. 
Мысалы 

















9
2
1
3
0
1
,
4
3
2
1
B
A
 
 
 
 
 









































45
8
7
15
4
1
9
4
3
3
2
4
0
3
1
4
1
3
9
2
3
1
2
2
0
1
1
2
1
1
AB
 
Кӛбейтінді  АВ-ны  А  матрицаны  В  матрицаға  оң  жағынан  кӛбейту,  немесе  В  матрицаны  А 
матрицаға сол жағынан кӛбейту деп атайды. 
Реттері  бірдей квадрат матрицалар үшін мына кӛбейтінділер АВ, ВА анықталған, бірақ  жалпы 
жағдайда 
А
В
В
А



  орындалмауы  мүмкін.  Егер 
А
В
В
А



  орындалса,  онда  А  мен  В 
коммутативті (алмастырылатын) матрицалар деп аталады. 
Нӛлден ӛзгеше матрицалардың кӛбейтіндісі нӛлдік матрица болуы да мүмкін. 
  Мысалы 




































1
1
1
1
,
1
1
1
1
,
1
0
2
1
1
3
,
1
1
2
0
0
1
D
С
В
A
 
 
 
 
 









































































 


1
1
2
2
2
5
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
2
1
1
0
1
2
0
1
1
2
0
1
2
2
1
1
1
1
0
3
1
1
0
3
2
1
1
3
1
1
2
0
0
1
1
0
2
1
1
3
A
B
 
 
 
АВ
ВА
,
3
5
1
3
1
1
2
1
1
2
0
1
1
1
3
2
1
0
2
0
1
1
0
0
1
0
3
1
1
0
2
1
1
3
1
1
2
0
0
1
В
A
















































 









 

35 
 
 
 
 
 















































0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
D
С
 
Кез  келген  А  матрицаны  кез  келген  тұрақты 

  санына  кӛбейтуге  болады.  Ол  үшін  А 
матрицаның элементтерінің әрқайсысын 

 санына кӛбейту керек. Егер 
 
 
ij
ij
b
B
A
онда
a
A




,
, 
мұндағы 
ij
ij
a
b


. 
Мысалы 
3
,
2
1
1
0
2
3











A
. 
Сонда   



















6
3
3
0
6
9
2
1
1
0
2
3
3
3A
. 
Матрицаларға қолданылатын амалдардың негізгі қасиеттері  мыналар: 
1. А+В=В+А 
7. 


В
А
В
А






 
2. (A+B)+C=A+(B+C) 
8. 


А
А
А







 
3. A+

=A 
9.  (AB)C=A(BC) 
 
4. A+(-A)=O 
10. (A+B)C=AC+BC 
5. 
A
A
E


 
11.C(A+B)=CA+CB 
6. 
   
A
A




 
 
1.6. Кері матрица 
Егер  А  квадрат  матрица  болса,  онда  оның  элементтерінен  анықтауыш  (детерминант)  құруға 
болады.  А  матрицаның  элементтерінен  құрастырылған  D  анықтауыш  А   немесе 
А
det
  деп 
белгіленеді,  яғни 
A
A
D
det


.  Егер 
0
det

A
  болса,  онда  А  матрицаны  айрықша  емес  матрица 
дейді. Ал егер 
0

A
 болса, онда А матрицаны айрықша матрица деп атайды. 
Реттері  бірдей  екі  квадрат  матрицаның  кӛбейтіндісінің  анықтауышы  (детерминанты)  сол 
матрицалардың анықтауыштарының кӛбейтіндісіне тең. Яғни 
 
B
A
AB
det
det
det


. 
Анықтама. Матрица А үшін АВ=BA=E теңдігі орындалса, онда В матрицаны А матрица үшін 
кері матрица деп атайды және былай белгілейді В=A
-1
. 
Теорема. Матрица А-ға кері матрица А
-1
 бар болуы үшін А айрықша емес матрица болуы қажет 
және жеткілікті. 
Дәлелдеу.  Айталық  А  матрицаға  кері  А
-1
  матрица  бар  болсын.  Сонда  АА
-1
=E    бұл  теңдіктен 
1
det
det
det
)
det(
1
1






E
A
A
AА
. Ендеше 
0

A
. 
Енді матрица А-ның анықтауышы 
0
det


A
A
 болсын. Матрица А үшін кері матрицаның бар 
екенін кӛрсетейік. Сол мақсатпен 
B
A
A
A
А
A
A
А
A
A
C
a
A
A
A
A
A
A
A
A
C
a
a
a
a
a
a
a
a
a
А
nn
n
n
n
n
T
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n





























































2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
,
,
матрицаларын  құрамыз.  Мұндағы 
ig
А  
матрица  А-ның  сәйкес 
ig
a   элементтерінің  алгебралық  толықтауыштары.  В  матрица  А  матрицамен 
одақтас матрица деп аталады. 
Енді мына кӛбейтіндіні табайық: 
Е
А
А
А
А
А
A
A
A
A
A
A
A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
АВ
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n

































































0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
 
Яғни, А матрицаға кері матрица А
-1
 бар және ол мынаған тең: 

36 
 


















nn
n
2
n
1
2
n
22
12
1
n
21
11
1
А
A
A
A
A
A
A
A
A
А
1
А
В
А
1




(1.6.1) 
Соныменен А матрицаға кері матрицаны табу үшін А матрицамен одақтас В матрицаны тауып, 
оны 
A
1
-ға кӛбейту керек. Мұндағы  A -матрица А-ның анықтауышы. 
А  және  В  реттері  бірдей  айрықша  емес  квадрат  матрицалар  болсын.  Бұл  жағдайда  АХ=В 
теңдігін қанағаттандыратын Х матрица құрастыруға болады. Ол үшін осы теңдіктің екі бӛлігінде сол 
жағынан 
1

А
 матрицаға кӛбейтеміз. Сонда А
-1
АХ=A
-1
B. Бұдан Х=A
-1
B. 
Осылай жасалған Х матрицаны В матрицаны А матрицаға “сол жағынан бӛлу” арқылы жасалды 
дейді.  Дәл  осылай 
1
1
1
,








А
В
У
A
B
УAA
B
УA
.  Сонда  У  матрицаны  В  матрицаға  “оң 
жағынан бӛлу” арқылы жасалды дейді. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: