Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

37 
 
   
A
А
А
~
,
0
0
0
0
0
4
1
5
2
7
1
7
4
1
12
3
6
1
3
5
4
1
5
2
7
2
2
























. 
Бірінші жатық жолдың элементтерін 4-жатық жолдың элементтеріне қоссақ, онда 
   
A
А
А
~
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
7
4
1
12
3
6
1
3
5
4
1
5
2
7
3
3





















. 
2–ші жатық жолдың элементтерін 3-ші жатық жолдың элементтерінен алсақ 
   
A
А
А
~
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
5
2
7
3
6
1
3
5
4
1
5
2
7
4
4






















. 
3–ші жатық жолдың элементтерінен 1-ші жатық жолдың элементтерін алсақ 
   
A
~
А
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
6
1
3
5
4
1
5
2
7
А
5
5




















 
А
5
  матрицаның  рангісі  2-ге  тең,  ӛйткені  осы  матрицаның  элементтерінен  жасалған  2-ші  ретті 
анықтауыш 
0
31
3
5
2
7



. 
Ендеше матрица А –ның да рангісі 
2

rangA
.  
Егер А матрицаның элементтерінен жасалған реті  r -ге тең бір анықтауыш 
0

В
 болып, ал сол 
анықтауыштың ретін бірге арттырудан шығатын С анықтауыштардың барлығы нӛлге тең болса, онда 
А  матрицаның  рангісі  r -ге  тең  болады.  Сонда  реттері  r +1-ге  тең  С  анықтауыштарды  В-дан 
жиектеліп  шыққан  анықтауыштар  дейді.  Соныменен  А  матрицадағы  реті  r -ге  тең  нӛлден  ӛзге  В 
анықтауыштан  жиектелген  барлық  анықтауыштар  нӛлге  тең  болса,  онда  А  матрицаның  рангісі  r  
болады.  
Мысалы, мына матрицаның рангісін табайық: 
   



















3
2
4
3
2
1
1
3
2
0
3
7
1
0
4
2
3
1
1
2
А
 
Шешуі: Бұл матрицадан жасалған екінші ретті анықтауыш 
0
4
4
0
0
4
1
2






В
. Сондықтан 
В –дан жиектеліп шыққан анықтауыштарды санаймыз: 
0
4
4
1
4
1
4
1
0
4
1
0
4
1
1
2
3
2
0
1
0
4
1
1
2
1














С
, 
бұл жерде біз 1-ші жатық жолды 2-ге кӛбейтіп, 3-ші жатық жолдан алдық. 

38 
 
0
28
28
7
4
7
4
7
0
4
7
0
4
3
1
2
1
2
0
7
0
4
3
1
2
2














С
 
 
 
0
3
4
3
4
3
0
4
3
0
4
2
1
2
1
2
0
3
0
4
2
1
2
3









С
 
 
 
 
0
1
4
1
4
1
0
4
1
0
4
1
1
2
4
3
2
1
0
4
1
1
2
4












С
 
 
0
4
1
4
7
1
4
7
1
4
4
1
0
4
7
1
0
4
7
1
0
4
3
1
1
2
2
4
3
2
1
3
2
0
7
1
0
4
3
1
1
2
5























С
 
0
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
0
4
3
1
0
4
3
1
0
4
2
1
1
2
3
4
3
2
1
3
2
0
3
1
0
4
2
1
1
2
6





















С
 
Демек  берілген  матрицаның  рангісі 
2
)
(


A
r
rangA
,  себебі 
0

B
,  ал  одан  басқа  В-дан 
жиектеліп шыққан анықтауыштардың барлығы нӛлге тең. 
 
1.8. Жалпы сызықтық теңдеулер жҥйесі 
Біз осыған дейін (1.4.1) сызықтық теңдеулерден құралған квадраттық жүйені қарастырдық. Егер 
квадраттық  (теңдеулердің  саны  белгісіздерінің  санына  тең)  жүйе  үйлесімді  болса,  оның  шешімін 
Крамер формулаларымен табуға болатынын кӛрдік. 
Енді біз жалпы сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырып, олардың үйлесімді, немесе үйлесімсіз 
болуының шарттарын табамыз. 
 
Бізге жалпы сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін: 
   



















.
...
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a






 
           (1.8.1) 
Мұндағы  х
1
,х
2
,…,х
n
-  белгісіз  айнымалылар, 
ij
a -белгісіз  айнымалылардың  коэффициенттері, 
m
2
1
b
,...,
b
,
b
-бос  мүшелер,  m-теңдеудің  саны,  n-  белгісіздердің  саны.  Жүйедегі  теңдеулерді  теңбе-
теңдікке  айналдыратын  х
1
,х
2
,…,х
n
-  белгісіздердің 
0
0
2
2
0
1
1
,...,
,
n
n
x
x
x
x
x
x



  мәндерін  жүйенің 
шешімі дейді. Шешімі бар жүйені үйлесімді, ал шешімі жоқ жүйені үйлесімсіз жүйе дейді. Жалғыз 
ғана шешімі бар жүйені анықталған үйлесімді, ал бірден кӛп шешімі болатын жүйені анықталмаған 
үйлесімді жүйе деп атайды. 
(1.8.1) жүйенің белгісіздерінің коэффициенттерінен құралған 

39 
 
   

















mn
m
m
n
n
a
a
а
a
a
а
a
a
а
А



2
1
2
22
21
1
12
11
 
матрицаны (1.8.1) жүйеге сәйкес немесе жүйенің матрицасы деп атайды. 
Ал мына 
   


















m
mn
m
m
n
n
b
b
b
a
a
а
a
a
а
a
a
а
А
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11



 
матрицаны (1.8.1) жүйенің кеңейтілген матрицасы деп атайды. Тағы мынандай екі матрица алайық: 
 




T
m
T
n
b
b
b
B
x
x
x
X
...
,
...
2
1
2
1


 
Енді екі матрицаның кӛбейтіндісінің анықтамасы бойынша 




















































n
mn
2
2
m
1
1
m
n
n
2
2
22
1
21
n
n
1
2
12
1
11
n
2
1
mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
x
a
...
x
a
x
a
x
a
...
x
a
x
a
x
a
...
x
a
x
a
x
x
x
a
a
а
a
a
а
a
a
а
АX









бұл  тік  жол  матрица  болды.  Осы  тік 
жол  матрица  элементтері  (1.8.1)  жүйенің  бос  мүшелеріне  тең  екені  кӛрініп  тұр.  Сондықтан  екі 
матрицаның  теңдігінің  анықтамасын  пайдаланып  (1.8.1)  жүйені  матрица  арқылы  былай  жазуға 
болады: 
   
АХ=B  
 
 
(1.8.2) 
Егер 
0
det


A
A
 болса, онда А айрықша емес матрица. Сондықтан (1.8.2) теңдеуден 
   
В
А
Х
немесе
В
А
АХ
А
1
1
1




         (1.8.3) 
(1.8.3) - матрица арқылы жазылған Крамер формуласы.  
Кронекер-Капелли теоремасы. (1.8.1) жүйе үйлесімді болуы үшін жүйеге сәйкес А матрица мен 
кеңейтілген  А  матрицаның рангілері ӛзара тең болуы (
r
rangB
rangA


) қажет және жеткілікті. 
(1.8.1) жүйені шешуде мынадай жағдайлар болуы мүмкін: 
1)
 
n
r

- болса, онда жүйенің жалғыз ғана шешімі болады. 
2)
 
n
r

  болса,  онда  жүйенің  белгісіздерінің  саны  теңдеулерінің  санынан  артық  болады  да, 
оның (жүйенің) шексіз кӛп шешімі болады. 
 
 
№3 дәріс тақырыбы: Векторлар және анықтауыштар. Сызықты теңдеулер 
жҥйесі. 
([1], 1 бӛлім, [3], [5], [6], [2]д) 
Скалярлық және векторлық шамалар  
Математикада,  физикада,  механикада  және  басқа  ғылымдар  саласында  кездесетін  шамаларды 
екі  түрге  бӛлуге  болады.  Егер  бір  шама  оң  немесе  теріс  санмен  ғана  сипатталса,  яғни  ӛзінің  сан 
мәнімен толық анықталса, онда оны скаляр шама немесе скаляр (сан) деп атайды. Мысалы дененің 
қызуы,  ара  қашықтық,  масса,  аудан,  кӛлем,  уақыт  т.с.с.  –  скаляр  шамалар.  Ал  егер  бір  шаманы 
анықтау үшін оның сан мәнінен басқа бағытын да білу қажет болса, онда ондай шаманы векторлық 
шама, немесе вектор деп атайды. Мысалы күш, жылдамдық, үдеу т.с.с. шамалар-векторлық шамалар. 
Геометрияда  вектор  бағыты  стрелкамен  кӛрсетілген  кесінді  түрінде  кескінделеді.  Стрелка 
вектордың  басталған  нүктесінен  (басынан)  аяқталған  нүктесіне  (үшына)  қараған  бағытты 
анықтайды. Басы А нүктесінде үшы В нүктесінде орналасқан векторды 
АВ  деп белгілейді. 

40 
 
Векторды  кескіндейтін  бағытталған  кесіндінің  ұзындығын  вектордың  ұзындығы  деп  атайды. 
Оны былай белгілейді: 
АВ   немесе  АВ. 
Вектордың ұзындығын оның модулі немесе абсолют шамасы деп те атайды. 
Векторлар байламды, сырғымалы және еркін векторлар болып үш түрге бӛлінеді. 
Байламды  деп  басталған  нүктесі  белгілі  бір  нүктеге  бекітілген,  одан  басқа  нүктеге  кӛшіруге 
болмайтын векторларды айтады. 
Сырғымалы  деп  бір  түзудің  бойымен  жылжитын  векторларды  айтады.  Бұл  векторларды  ӛзі 
орналасқан  түзудің  бойындағы  кез  келген  нүктеге  кӛшіруге  болады,  ал  басқа  түзудің  бойында 
орналасқан нүктеге кӛшіруге болмайды. 
Еркін  векторлар  деп,  бағыты  мен  ұзындығын  ӛзгертпей,  алғашқы  бағытына  параллель  етіп 
жылжытуға  болатын  векторларды  айтады.  Бұл  векторлардың  басталған  нүктесін  кеңістіктегі  кез 
келген нүктеге кӛшіруге болады. 
Аналитикалық геометрияда еркін (бос) векторлар қарастырылады. 
Еркін  векторларды,  басталған  нүктесін  кеңістіктің  кез  келген  нүктесіне  кӛшіруге 
болатындықтан,  бір  әріппен  де  белгілейді,  мысалы 
в
а, .  Бұл  белгілеулерде  векторды  ӛрнектейтін 
әріптердің үстіне сызықша қойылады. 
Егер  векторлар,  бір  түзудің  немесе  параллель  түзулердің  бойында  жатса,  оларды  коллинеар 
(коллинеарлық) векторлар деп атайды. Олардың бағыттары не бірдей, не қарама-қарсы болады. 
Егер  а  және  в  векторларының ұзындықтары мен бағыттары бірдей болып, екеуіде бір түзудің 
немесе  параллель  түзулердің  бойында  жатса,  оларды  тең  векторлар  деп  атайды  да,  былай  жазады: 
в
а

. 
Егер  а   және  в   векторларының  ұзындықтары  бірдей,  ӛзара  параллель  болып,  ал  бағыттары 
қарама-қарсы векторлар болса, онда оларды қарама-қарсы векторлар деп атайды және былай жазады: 
в
а


. 
Егер вектордың басталған нүктесі мен аяқталған нүктесі бір нүктеде жатса, ондай векторларды 
нӛл  (нӛлдік)  вектор  деп  атайды.  Нӛл  вектордың  ұзындығы  нӛлге  тең,  ал  бағыты  анықталмаған 
(белгілі бағыты жоқ). 
Нӛл вектор кез келген вектормен коллинеар болады. 
Егер  векторлар  бір  жазықтықта  немесе  бір  жазықтыққа  параллель  түзулердің  бойында  жатса, 
оларды компланар (компланарлық) векторлар деп атайды. 
 
2.2. Векторларды қосу және алу 
Векторларды санға (скалярға) кӛбейту 
Векторларды  қосу,  бір  вектордан  екінші    векторды  алу  және  векторды  скалярға  кӛбейту 
амалдары сызықтық амалдарға жатады. 
Кеңістікте мынадай векторлар берілсін: 
n
а
а
а
а
,...,
,
,
3
2
1
. 
Осы векторлардың қосындысын анықтау үшін кеңістіктен кез келген бір А нүктесін алып, оған 
1
а  векторының басталған нүктесін орналастырды. Онан соң 
1
а  векторының аяқталған нүктесіне 
2
а  
вектордың  басталған  нүктесін  орналастырады.  Бұл 
2
а   векторының  аяқталған  нүктесіне 
3
а  
векторының  басталған  нүктесін  орналастырып,  қалғандарында  осылайша  орналастырады.  Енді 
1
а  
вектордың басталған А нүктесімен 
n
а  вектордың аяқталған В нүктесін қосса, онда 
AB
a

 векторы 
шығады. Сонда бірінші вектордың басталған нүктесі А мен соңғы вектордың аяқталған нүктесі В-ны 
қосатын  вектор  берілген  векторлардың  қосындысы  деп  аталады.  Қосынды  вектордың  басталған 
нүктесі 
1
а  векторының басталған нүктесінде, ал аяқталған нүктесі(ұшы)  
n
а  векторының аяқталған 
нүктесінде жатады.  

41 
 
Сонда  
AB
a
а
а
а
а
n






...
3
2
1
. 
Егер  векторларды  қосқанда  соңғы  вектордың  аяқталған  нүктесі  бірінші  вектордың  басталған 
нұктесінде болса(жатса) онда қосынды вектор нӛл вектор 
 
о  болады. 
Берілген  векторларды  қандай  ретпен  қосса  да  оның  қосындысы  ӛзгермейтіндігін  байқау  қиын 
емес. 
Осы анықтамадан екі және үш вектордың геометриялық қосындысы шығады. 
Екі вектордың геометриялық қосындысын екі жолмен табуға болады: бірі параллелограмм әдісі, 
екіншісі үшбұрыш әдісі. 
Параллелограмм әдісі бойынша екі вектордың қосындысын табу үшін қосылғыш векторлардың 
басталған нүктелерін бір нүктеге орналастырып, сол екі вектор арқылы параллелограмм тұрғызады. 
Осы  параллелограмның  қосылғыш  векторлардың  басталған  тӛбесінен  жүргізілген  диагоналы  екі 
вектордың  қосындысын  анықтайды.  Қосынды  вектордың  басталған  нүктесі  қосылғыштардың 
басталған нүктесінде жатады. 
Үшбұрыш  әдісі  бойынша  екі  вектордың  қосындысын  табу  үшін  екінші  вектордың  басталған 
нүктесін бірінші вектордың аяқталған нүктесіне орналастырады. Сонда бірінші вектордың басталған 
нүктесімен екінші вектордың аяқталған нүктесін қосатын вектор қосынды вектор болады. Қосынды 
вектордың басталған нүктесі бірінші вектордың басталған нүктесінде болады. 
Енді  үш  вектордың  геометриялық  қосындысын  анықтайық.  Мұнда  екі  түрлі  жағдай  болуы 
мүмкін. 
Қосындысын анықтайтын үш вектор  в
а, және  с  компланар векторлар болсын. Онда  а  және  в  
векторлары бойынша параллелограмм тұрғызады. Одан кейін 
r
в
а


  және  с   векторлары арқылы 
параллелограмм  құрайды.  Сонда  осы  параллелограмның  r   және  с   векторлардың  басталған 
тӛбесінен  жүргізілген  диагоналы 
в
а,
  және  с   векторларының  қосындысын  анықтайды.  Қосынды 
вектордың басталған нүктесі қосылғыштардың басталған нүктесінде болады. 
Сонымен,  егер  векторлар  бір  жазықтықта  жатса,  онда  олардың  қосындысын  табу  үшін 
параллелограмм  әдісін  қолдануға  болады.  Бұл  әдісті  бір  жазықтықта  жатқан  бірнеше  векторларды 
қосу үшін де қолдануға болады. 
Қосындысын  анықтайтын  үш  вектор 
в
а,
және  с   бір  жазықтықта  жатпасын.  Кеңістіктен  кез 
келген  нүкте  алып,  берілген  векторларды  бағыттары  мен  ұзындықтарын  ӛзгертпей  сол  нүктеге 
кӛшіріп параллелепипед құрады. Сонда осы параллелепипедтің  
в
а,
және  с  векторлары басталатын 
тӛбесінен  жүргізілген  диагоналы  қосынды  векторды  анықтайды.  Қосынды  вектордың  басталған 
нүктесі параллелепипедтің  
в
а,
және  с  векторларының басталған тӛбесінде жатады. 
Векторлардың қосындысының мынадай қасиеттері бар: 
  1) 
а
в
в
а



; 
2) 
 
 
с
в
а
с
в
а





 
Екі  вектордың  айырмасын  қосу  амалына  кері  амал  арқылы  анықтауға  болады.  Мысалы,  а  
векторынан  в   векторын  алғанда  шығатын  айырма  вектор  деп,  в   векторына  қосқанда  вектор  а  
шығатын үшінші вектор  с -ны айтады 


а
с
в
егер
с
в
а




,
. Немесе  а  векторына  в  векторына 
қарама-қарсы - в  векторын қосу арқылы 


а
в
с
сонда
с
в
а





,
)
(
 табуға болады. 
Вектор  а -ның  скаляр 

-ға  (немесе  скаляр 

-ның  вектор  а -ға)  кӛбейтіндісі  деп  жаңа 
в
а


 
векторды айтады. Векторды скалярға кӛбейткенде берілген векторға коллинеар вектор шығады. Егер 
0


 болса онда  а  және 
в  векторларының бағыттары бірдей 


в
a

, ал 
0


 болса, онда  а  мен 
в  векторларының бағыттары қарама-қарсы 


в
a

 болады. 
Векторды 

  санына  кӛбейткенде  бастапқы  вектордың  ұзындығы 

  шамаға  кӛбейтіледі 
а
в



. 

42 
 
Бұл кӛбейтіндінің мынадай қасиеттері бар: 
1) 


а
а

 
2) 
 
 
а
а




 
3) 
 
в
а
в
а






, 
4) 


а
а
а







. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: