Векторлардың сызықтық комбинациясы. Базис

43 
 
Осы анықтамалар мен теоремалардан кез келген коллинеар емес екі вектор жазықтықта, ал кез 
келген  компланар  емес  үш  вектор  кеңістікте  базистік  векторлар  жүйесі  болады  деген  қорытынды 
шығады. 
Соныменен,  берілген  базистегі  вектор  ӛзінің  осы  базистегі  координаттары  арқылы  толық 
анықталатын  болды.  Демек,  екі  вектор  ӛзара  тең  болса,  онда  олардың  бір  базисте  берілген  сәйкес 
координаттары ӛзара тең болады. Сонымен бірге векторларға қолданылатын сызықтық амалдардың 
қасиеттерінен мынадай қорытынды жасауға болады: 
Векторларды  қосқанда  (алғанда)  олардың  сәйкес  координаттары  қосылады  (алынады),  ал 
векторды санға кӛбейткенде оның координаттары осы санға кӛбейтіледі. 
 
2.4. Вектордың оське тҥсірілген проекциясы 
Бас нүктесі, бағыты және ӛлшем бірлігі кӛрсетілген түзу координат осі деп аталады. 
Анықтама.  А  нүктесінің  оське  түсірілген  проекциясы  деп  осы  нүктеден  оське  түсірілген  АА
1
 
перпендикулярдың табанын, яғни А
1
 нүктесін айтады. 
Анықтама.  АВ  векторының  оське  түсірілген  проекциясы  деп,  осы  осьтің  кесіндісі  болатын 
вектордың  басталған  және  аяқталған  нүктелерінің  проекцияларының  арасындағы  А
1
В
1
  ұзындықты 
айтады.  Егер  А
1
В
1
  кесіндісінің  бағыты  проекциялайтын  осьтің  бағытындай  болса,  онда  оның 
таңбасы  “+”,  ал  оған  қарама-қарсы  болса,  онда  оның  таңбасы    “-”  болады.  Вектордың 

  осіне 
түсірілген проекциясы былай белгіленеді: 
1
1
В
А
АВ
пр


. 
Анықтама.  Басталу  нүктелері  бір  нүктеге  келтірілген    а   және  в   векторларының  арасындағы 
бұрышы  деп  осы  векторлар  құрайтын  сыбайлас  бұрыштардың  ең  кішісін  айтады.  Екі  вектордың 
арасындағы бұрыш былай белгіленеді: 
 


в
а ^
,
. 
Осы анықтамадан 




0
. 
Егер  вектор 
АВ   скаляр 

-ға  кӛбейтілсе,  онда  осы  вектордың  қайсы  бір  оське  түсірілген 
проекциясы да осы санға кӛбейтіледі. 
Сонымен  қатар,  бірнеше  вектордың  қосындысын  қандайда  бір  оське  проекцияласа,  онда 
векторлар  қосындысының  оське  түсірілген  проекциясы  сол  оське  түсірілген  векторлардың 
проекцияларының алгебралық қосындысына тең болады. 
Егер  вектордың  проекциялайтын  осьпен  жасайтын  бұрышы  және  ұзындығы  берілсе,  онда  ол 
вектордың оське түсірілген проекциясы мынаған тең болады: 
   

cos
АВ
АВ
пр


,  
 
(2.4.1) 
мұндағы  АВ - вектордың ұзындығы, 

- вектордың проекциялайтын осьтің оң бағытымен жасайтын 
бұрышы. 
2.5.  Кеңістіктегі  тік  бҧрышты  декарттық  коор-динаталар  жҥйесі.  Нҥктенің  және 
вектордың координаттары 
Кеңістіктегі  нүктенің  координаттарын  анықтау  үшін  кез  келген  бір  О  нүктесін  алып,  сол 
нүктеден бір-біріне перпендикуляр болатын үш осьті жүргізеді. 
Бір  нүктеде  қиылысатын,  ұзындық  ӛлшемдері  бірдей,  ӛзара  перпендикуляр,  реттелген  үш 
координат осін кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі деп атайды. 
ОХ-абсцисса осі, ОУ-ордината осі, ОZ-аппликата осі. 
ОХ,ОУ,OZ координаттар осі, ал О координатаның бас нүктесі деп аталады. 
Кеңістікте  берілген  М  нүктесін  О  нүктесімен  қосатын  ОМ   векторы  М  нүктесінің  радиус 
векторы  деп  аталады.  Сонда  М  нүктесінің  координаттары  деп  осы  нүктенің  радиус  векторының 
координат осьтеріне түсірілген проекцияларын айтады (2сызба,а). 

44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Егер М нүктесінің координаттары  
z
у
х ,
,
  сандары болса, онда 
      (2.5.1) 
Сонда   
x
-  М  нүктесінің  абсциссасы, 
y
-  М  нүктесінің  ординатасы,  ал   
z -  М  нүктесінің 
аппликатасы деп аталады және былай белгіленеді: 
. 
Енді  О  нүктесінен  бір-біріне  перпендикуляр  абсцисса,  ордината  және  аппликата  осьтерінің 
бойымен жазықтықтар (үш жазықтық) жүргізсе, олар кеңістікті сегіз бӛлікке (октантқа) бӛледі. Бұл 
жазықтықтар координат жазықтықтар деп аталады. Олар ХОУ, УОZ және ХОZ жазықтықтары. 
Онымен  қатар  ХОУ  жазықтығында  (Х  және  У  осьтері  арқылы  ӛтетін)  кез  келген  нүктенің 
апликатасы, ХОZ (Х және Z осьтері арқылы ӛтетін) жазықтығында кез келген нүктенің ординатасы, 
У  пен  Z  осьтері  арқылы  ӛтетін  УOZ  жазықтығында  кез  келген  нүктенің  абсциссасы  нӛлге  тең 
болатыны ӛзінен ӛзі түсінікті. 
Радиус  вектор 
  мен  ОХ,ОУ,ОZ  осьтерінің  оң  бағыттарының  арасындағы  сәйкес 
бұрыштарды 
  деп  белгілейді.  Сонда 
  векторының  үш  оське  түсірілген  проекциялары 
мынаған тең (2-сызба,ә): 
 
 
(2.5.2) 
осыдан 
(2.5.3) 
Мұндағы 



cos
,
cos
,
cos
ОМ   векторының  бағыттаушы  косинустары  деп  аталады.  ОМ  
векторы тік бұрышты параллелепипедтің диагоналы болғандықтан 
,сонда 
 
 
z
ОМ
пр
у
ОМ
пр
х
ОМ
пр
ОZ
ОУ
ОХ



,
,


z
y
x
M
,
,
ОМ



,
,
ОМ
,
cos
,
cos


ОМ
у
ОВ
ОМ
пр
ОМ
х
ОА
ОМ
пр
ОУ
ОХ







cos
ОМ
z
ОС
ОМ
пр
ОZ



OM
z
OM
y
OM
x






cos
,
cos
,
cos
2
2
2
2
2
2
2
z
у
х
ОС
ОВ
ОА
ОМ






а) 
O 
x 
z 
M 
y 
z 
y 

 
C 

 

 
B 
O 
x 
z 
M 
A 
y 
ә)
 
2-сызба 

45 
 
                                 (2.5.4) 
Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт деп атайды. 
Бірлік  векторды 
о
а   деп 
белгілесе, онда осы анықтамадан оның ұзындығы 
1

о
а
 болады. 
Кез келген бірлік вектордың тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі координаттары 
(осьтерге  түсірілген  проекциялары)  (2.5.2)  формула  бойынша  осы  вектордың  бағыттаушы 
косинустарына тең болады, яғни 
. 
Егер    a   векторы  беріліп,  ол   
о
а   бірлік  векторымен  параллель  және  бағыттас  болса,  онда    a  
векторы  
о
а  бірлік вектор арқылы былай жазылады: 
   
о
а
а
а

, бұдан  
а
а
а
а
а
о



1
.            (2.5.5) 
Демек,  a  векторын оның модуліне бӛлсе,  a  векторына параллель және онымен бағыттас бірлік 
вектор шығады. 
Енді  кез  келген  векторды  ОХ,ОУ,ОZ  осьтерінде  жатқан  векторларға  жіктеуге  болады.  Осы 
мақсатпен абсцисса, ордината және аппликата осьтерінің бойында жатқан бірлік (орт) векторларды 
сәйкесінше былай белгілейді: 
k
j
i
,
,
. 
Сонда реттелген үштік 
k
j
i
,
,
  кеңістікте  базистік  векторлар  жүйесін  құрады.  Мұндай,  базистік 
векторлар  жүйесін  нормальданған  ортогональ  базистік  жүйе  (базис)  деп  атайды.  Олар  ӛзара 
перпендикуляр бірлік векторлар (3-сызба,а). 
 
а)                                                ә)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кеңістіктегі  М  нүктесінің  үш  оське  түсірілген  проекцияларын   
z
у
х ,
,
    деп  белгілейік.  Енді  М 
нүктесінен  ОХ,ОУ  және  ОZ  осьтеріне  перпендикуляр  жазықтықтар  жүргізсе,  ол  жазықтықтар  тік 
бұрышты  параллелепипед  жасайды  (3-сызба,ә).  Сонда  бір  жазықтықта  жатпайтын  үш  вектордың 
қосындысы  тік  бұрышты  параллелепипедтің  диагоналінің  бойында  жатқан  векторға  тең: 
3
2
1
ОМ
ОМ
ОМ
ОМ



. Ал құраушы векторлар бірлік векторлар арқылы 
   
k
z
OM
j
y
OM
i
х
ОМ



3
2
1
,
,
  болады.  
Сонда  ОМ  векторы осылар арқылы былай ӛрнектеледі: 
   
 
k
z
j
y
i
x
OM



. 
Мұндағы   
k
z
j
y
i
x
,
,
  векторлары  ОМ   векторының  құраушылары  немесе  компоненттері  деп 
аталады. 
2
2
2
z
y
x
OM








cos
;
cos
;
cos
о
а
M
3
 
O 
z 
y 
x 
M
2
 
x 
z 
M 
M
1
 
y 
C 
j  
к  
е  
x 
y 
z 
y 
3-сызба 

46 
 
Сонымен кез келген   a  векторын былай жазуға болады: 
   
a =
k
z
j
y
i
x
1
1
1


 
Вектор  a -ның  басталған  нүктесін  координаталардың  басталған  нүктесіне  орналастыруға 
болатындықтан,  оның  (
k
j
i
,
,
)  базисіндегі 


1
1
1
,
,
z
у
х
  координаттарын  осы  вектордың  тік  бұрышты 
декарттық координаттар жүйесіндегі координаттары (проекциялары) деп атайды. 
Кеңістікте кез келген   a  векторы берілсін. Оның координаттарын  
z
у
х
а
а
а
,
,
 деп белгілесе, онда  
a (
z
у
х
а
а
а
,
,
)  немесе 
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x



 
болады.  Осы  вектордың  басталған  нүктесін 
координаталардың  бас  нүктесіне  кӛшірсе  одан  оның  ұзындығы,  координаттар  осімен  жасайтын 
бұрыштары және координаттары ӛзгермейді. Олай болса (2.5.3) және (2.5.4) бойынша  
   
2
2
2
z
у
х
а
а
а
а



   
 
(2.5.6) 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
,
cos
,
cos
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a












  (2.5.7) 
осылардан 
1
cos
cos
cos
2
2
2






  теңдігі  шығады.  Демек,  кез  келген  вектордың  бағыттаушы 
косинустарының квадраттарының қосындысы бірге тең болады. 
Енді  нормальданған  ортогональ  базис    (
k
j
i
,
,
)  берілсін.  Сонда,  егер  k   вектордың  ұшынан 
қарағанда   i -ден  j -ге қарай айналу (бұрылу) сағат тілінің бағытына қарсы орындалса, онда осыған 
сәйкес координаттар жүйесін оң жүйе, ал егер  k -ның ұшынан қарағанда  i -ден   j -ге айналу сағат 
тілінің  бағытымен  бағыттас  болса,  ол  сол  жүйе  деп  аталады.  Аналитикалық  геометрияда  оң  жүйе 
қарастырылады. 
Векторды оның басталу және аяқталу нүктелері арқылы толық анықтауға болатындықтан, оның 
нормальданған  ортогональ  базистегі  координаттарын  сол  нүктелердің  координаттары  арқылы 
ӛрнектеуге болады. 
Тік  бұрышты  декарттық  координаттар  жүйесінде 


1
1
1
1
;
;
z
y
х
М
  және 


2
2
2
2
;
;
z
y
х
М
  нүктелері 
берілсін. 
2
1
M
M
 векторының координаттарын және ұзындығын табу керек: (4-сызба). 
Сонда 
k
z
j
y
i
х
ОМ
k
z
j
y
i
х
ОМ
ОМ
М
М
ОМ
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
,
,








немесе  

 










k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
OM
OM
M
M
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1

 
 

k
z
z
j
y
y
i
x
x
1
2
1
2
1
2





 
Бұдан 
2
1
M
M
  векторының  координаттары 
1
2
1
2
1
2
,
,
z
z
y
y
x
x



  сандары  болатынын  кӛреміз, 
яғни  
2
1
M
M
(х
2
-х
1
, у
2
-у
1
, z
2
-z
1
)                          (2.5.8) 
Ал (2.5.6) бойынша  
2
1
M
M
 векторының ұзындығы 






2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
z
z
у
у
х
х
М
М






 
 
Соныменен  егер  вектордың  басталған  және  аяталған  нүктелері  берілсе,  онда  оның 
координаттары  аяқталған  нүктенің  сәйкес  координаттарынан  басталған  нүктенің  сәйкес 
координаттарын алғанға тең болады. 
Векторлық алгебра мен координаттар әдісін пайдаланып кӛптеген есептер шығаруға болады. 
 
О 
M 
M
2
 
M
1
 
x 
z 
4-сызба 

47 
 
2.6. Екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі 
Анықтама.  Екі  вектордың  скалярлық  кӛбейтіндісі  деп  сол  векторлардың  ұзындықтары  мен 
екеуінің арасындағы бұрыштың косинусының кӛбейтіндісіне тең санды айтады. 
Берілген 
а   және  в   векторларының  скалярлық  кӛбейтіндісі  былай  белгіленеді: 
 
 

cos
в
а
в
а
в
а



 
           (2.6.1) 
Мұндағы  бұрышы 
а  мен  в  векторларының арасындағы бұрыш. 
Осы формуланы (2.4.1)-ді пайдаланып былай жазуға болады: 
   
 
а
пр
в
в
пр
а
в
а
в
а




 
 
(2.6.2) 
Скалярлық кӛбейтіндінің тӛмендегідей қасиеттері бар: 
1-қасиет. Кез келген  
а  мен  в  үшін 
   
а
в
в
а

, 
2-қасиет. Кез келген 
о
а

 вектор үшін 
 
2
2
а
а
в
а


, 
3-қасиет. Кез келген   а  мен  в  векторлары және 
R


 саны үшін
   
в
а
в
a



, 
4-қасиет. Кез келген  
в
а,
 және  с  векторлар үшін 
     
с
а
в
а
с
в
а



. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: