Интегралдық есептеу және дифференциалдық теңдеулер

28 
 
83.Математикалық үміт, қасиеттері. 
84.Дисперсия, қасиеттері. 
85.Орташа квадраттық ауытқу, қасиеттері. 
86.Үзіліссіз  кездейсоқ  шамалардың  үлестірім  түрлері.  Бірқалыпты,  кӛрсеткіштік 
үлестірімдер. 
87.Қалыпты үлестірім заңы, оның сандық сипаттамалары. Гаусс қисығы.  
88.Қалыпты  үлестірім  заңымен  берілген  кездейсоқ  шаманың  берілген  аралыққа 
түсу ықтималдығы. 
89.«Үш сигма»  (3 σ) ережесі.  
90.Арифметикалық ортаның сандық сипаттамалары. 
91.Чебышев теңсіздігі. 
92.Үлкен сандар заңы. Чебышев теоремасы. 
93.Бернулли теоремасы. 
94.Ляпуновтың шектік теоремалары. 
95.Бас және таңдама жиындар.  
96.Варияциялық қатар. 
97.Таңдаманың орта мәні, дисперсиясы, ассиметриясы, эксцесі. 
98.Таңдаманың үлестірім функциясы. 
 
Студенттің рейтингін қою шкаласы
 
№
 
В
и
д 
к
он
тро
л
я 
К
ри
те
ри
и
 о
ц
ен
к
и
 1
-г
о 
ре
й
ти
н
га
 (
Р
1)
,%
 
 
Неделя 
Ито
ги
 1
-г
о 
ре
й
ти
н
г(
Р
1)
 
К
ри
те
ри
и
 о
ц
ен
к
и
 1
-г
о 
ре
й
ти
н
га
 (
Р
1)
,%
 
 
 
Неделя 
Ито
ги
 2
-г
о 
ре
й
ти
н
га
, (
Р
2)
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
 
Посещаемость 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
 
Активность 
студентов 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
 
Выполнение 
заданий СРСП 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
1
0
0
 
 
 
 
Выполнение 
заданий СРС 
(курсовая работа, 
презентация 
и.др.) 
1
0
0
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
1
0
0
 
 
1
0
0
 
 
 
 
1
0
0
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
Итого текущий 
контроль 
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнение 
заданий 
рубежного 
контроля 
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
1
0
0
 
 
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
Итого: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

29 
 
 
Для от итоговой 
оценки 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
0
%
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
0
%
 
 
ДӘРІСТЕР КЕШЕНІ 
Дәріс №1,2Анықтауштар мен матрицалар 
Екінші ретті анықтауштар 
0
1
2
2
1


b
a
b
a
айырымыеа тең болатын ӛрнекті екінші ретті анықтауш деп атайды да былай 
белгілеіді: 




2
2
1
1
1
2
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
 
 
(1.1.1) 
Мұндағы  
1
a ,
1
b , 
2
a ,
2
b  анықтауыштың элементтері, яғни 
1
a  мен 
1
b - бірінші жатық жолдың, 
2
a ,
2
b  - екінші жатық жолдың, 
1
a  мен 
2
a  - бірінші тік жолдың, 
1
b  мен 
2
b - екінші тік жолдың ал 
1
a  мен 
2
b - бас диагональдың, 
2
a  мен 
1
b - қосалқы (екінші) диагональдың элементтері деп аталады. 
Анықтауыш 

-ның  тӛрт  элементі  екі  жатық  және  екі  тік  жол  бойына  орналасқан,  сондықтан 
оны екінші ретті анықтауыш (немесе детерминант) деп атайды. 
Сонда (1.1) теңдіктен мынандай ереже шығады: екінші ретті анықтауыштың мәнін табу үшін бас 
диагональ  бойындағы  элементтердің  кӛбейтіндісінен  қосалқы  диагональда  орналасқан 
элементтердің кӛбейтіндісін алу керек. 
 
1.2.  Ҥшінші ретті анықтауыштар 
 
0
2
3
1
3
1
2
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1






c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
 
 
ӛрнекті ҥшінші ретті анықтауыш деп атайды да былай белгілейді: 
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
3
1
2
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
b
c
a
c
b
a
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a






  (1.2.1) 
Үшінші  ретті  анықтауыштың  9  элементі  үш  жатық  және  үш  тік  жолдың  бойына  орналасқан. 
Мұндағы 
3
2
1
,
,
c
b
a
-  бас  диагональдың,  ал   
1
2
3
,
,
c
b
a
-  қосалқы  диагональдың  элементтерін  құрайды. 
Үшінші  ретті  анықтауыштың  мәні  алты  қосылғыштың  алгебралық  қосындысына  тең.  Әрбір 
қосылғыш анықтауыштың жатық жолдары және тік жолдарының әрқайсысынан бір-бірден алынған 
үш  элементтің  кӛбейтіндісінен  тұрады.  Олардың  үшеуі  “+”  таңбасымен,  қалған  үшеуі  “-” 
таңбасымен алынады. Мұны Саррюс ережесі деп атайды. 
       +   
 
- 
 
     + 









 









 
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
b
a
c
b
a
b
a
c
b
a
b
a
c
b
a
 
   
 
 
- 
 
 Реті n-ге тең анықтауыш және оның қасиеттері 
Біз  
2
n  элементтен жасалған мынандай кесте алайық: 

30 
 
   












nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
..
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
   
              (1.3.1) 
Мұндай  кестені  матрица  деп  атайды.  Бұл  матрицаның  элементтері 
n
  жатық  және 
n
  тік  жол 
бойымен орналасқан. 
Анықтама.    Реті 
n
-ге  тең  анықтауыш  деп  (1.3.1)  матрицаның  жатық  жолдары  мен  тік 
жолдарының  әрқайсысынан  бір-бірден  алынған 
n
  элементтің  кӛбейтіндісінен  тұратын 
n
! 
қосылғыштың алгебралық қосындысын айтады. 
n
-ші ретті анықтауышты былай белгілейді: 
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a




2
1
2
22
21
1
12
11



. 
Мұндағы 
ij
a - анықтауыштың элементтері болады. Бірінші индекс жатық жолдың, екінші индекс 
тік  жолдың  нӛмірі.  Егер 
3

n
  болса,  онда 
n
-ші  ретті  анықтауышты  есептеуге  үшінші  ретті 
анықтауыштарға  пайдаланғандай  ережені  алдын  ала  кӛрсету  қиын.  Кез  келген  жағдайда  жоғары 
ретті анықтауыштарды есептеуге бірдей тәсілді (амалды) қолдануға болмайды. 
Анықтауыштарды есептеудің барлық тәсілдері сол анықтауыштың қасиеттеріне негізделген. 
   
 
1.4. Крамер формулалары 
Бізге 
n
 белгісізі бар 
n
 сызықтық теңдеуден тұратын жүйе берілсін: 
   



















.
...
.
.
.
.
.
.
.
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
 
        (1.4.1) 
Мұндағы х
1
, х
2
, …х
n
 – белгісіздер, 


n
к
i
a
iк
,...
2
,
1
,

-белгісіздердің коэффициенттері; 
n
b
b
b
,...,
,
2
1
- 
бос мүшелер. 
Анықтама.  Белгісіздердің  (1.4.1)  жүйедегі  теңдеулердің  әрқайсысын  теңбе-теңдікке 
айналдыратын  мәндерін  жүйенің  шешімі  деп  атайды.  Шешімі  бар  жүйені  үйлесімді,  шешімі  жоқ 
жүйені үйлесімсіз жүйе деп атайды. 
Белгісіздердің коэффициенттерінен құралған анықтауышты 
   
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a




2
1
2
22
21
1
12
11





 
 
(1.4.2) 
жүйенің (немесе жүйеге сәйкес) анықтауышы деп атайды. 
Теорема.  Егер  (1.4.1)  жүйеге  сәйкес  (1.4.2)  анықтауыштың  мәні  нӛлден  ӛзгеше  болса,  онда 
(1.4.1) жүйе үйлесімді болады және оның жалғыз ғана шешімі болады.  
Енді х
1
-дің мәнін табу үшін (1.4.1) жүйедегі бірінші теңдеуді 
11
А -ге, екінші теңдеуді 
21
А -ге тағы 
сол сияқты ең соңғы теңдеуді 
1
n
А -ге кӛбейтіп, одан шығатын теңдеулерді мүшелеп қосамыз. Сонда 
мынау шығады: 






.
1
21
2
11
1
1
21
2
11
1
2
1
2
21
22
11
12
1
1
1
21
21
11
11
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
A
b
A
b
A
b
x
A
a
A
a
A
a
x
A
a
A
a
A
a
x
A
a
A
a
A
a





















 
Анықтауыштың анықтамасы мен 9-шы қасиеті бойынша, бұл теңдіктегі х
1
-дің коэффициенті 

-
ға тең болады, ал х
2
,х
3
,…,х
n
 –дердің коэффициенттері нӛлге айналады. Сондықтан 

31 
 


1
21
2
11
1
1
1
1
21
21
11
11
...
n
n
n
n
A
b
A
b
A
b
x
A
a
A
a
A
a








, 
яғни 
0


 болғандықтан, 










1
1
1
21
21
11
11
1
21
2
11
1
1
...
...
x
A
a
A
a
A
a
A
b
A
b
A
b
x
n
n
n
n
 болады. 
Мұндағы 
   
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a




2
1
2
22
21
1
12
11





,    
n n
n
n
n
n
a
a
b
a
a
b
a
a
b
x




2
2
2 2
2
1
1 2
1
1





. 
Енді  х
2
-ні  табу  үшін  (1.4.1)  жүйедегі  бірінші  теңдеуді  А
12
-ге,  екінші  теңдеуді  А
22
-ге  т.с.с  ең 
соңғы  теңдеуді  А
n2
-ге  кӛбейтіп,  шыққан  теңдеулерді  мүшелеп  қосамыз.  Сонда  алдындағы 
айтылғандай х
1
, х
3
,х
4
,…,х
n
 белгісіздердің коэффициенттері нӛлге айналып, мынау шығады: 
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
a
b
a
x
x
A
a
A
a
A
b
A
b
x




1
2
2
12
1
1
11
2
2
2
2
12
12
2
12
1
2
,
...
...













        Жалпы  х
к 
(к=1,2,…,n) үшін тӛменгі 
формула шығады: 
   








к
n
n
nк
n
к
к
x
A
a
A
a
A
b
A
b
x
2
2
12
12
1
1
...
...
 
соныменен  
n
к
х
х
к
к
,...,
2
,
1
,




 
          (1.4.3)  
Мұндағы 
n
х
к


-ретті  анықтауыш,  оның 

-дан  айырмашылығы  тек  к-  тік  жолдың 
элементтерінде: 

-дағы    к  –тік  жолдың  элементтерінің  орнына  сәйкес  бос  мүшелерді  қойсақ, 

х
к
 
шығады. Сӛйтіп, (1.4.1) жүйедегі белгісіздердің мәні (1.4.3) формулалармен анықталады. Олар (1.4.3) 
Крамер формулалары деп аталады. 
Егер  (1.4.1)  жүйедегі  барлық  бос  мүшелер 
0
...
2
1




n
b
b
b
  болса,  онда  ондай  жүйені 
біртектес жүйе деп атайды. 
 
Біртектес жүйе 
   



















.
0
...
,
0
...
,
0
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
nn
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a





 
әрқашанда  үйлесімді  болады,  ӛйткені 
0
,...,
0
,
0
2
1



n
х
х
х
  оның  шешімі  болады.  Бұл  шешімді 
нӛлдік  шешім  дейді.  Егер  біртектес  жүйенің    анықтауышы 
0


  болса,  онда  жүйенің  нӛлдік 
шешімінен басқа шешімі болмайды. Біртектес жүйе үшін Крамер формулалары мына түрге кӛшеді: 
   
n
,...,
2
,
1
к
0
х
к



. 
Осыдан біз біртектес жүйенің нӛлдік шешімнен басқа шешімінің, тек 
0


 болғанда ғана болуы 
мүмкін деген қорытындыға келеміз. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: