Курсы оқу құралы
Ш мидт ядросы және ол ядроның меншікті функцияларм
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- К {xj)h{x)h{s)d\dx
| 3. Ш мидт ядросы және ол ядроның меншікті функцияларм.
H ( x , s ) e L2(D) симметриялық ядро емес, ал H*(x,s) = H ( s ,x ) оның түйіндесі, бұларға сэйкес Фредгольм операторлары Н жэне Н ' болсын. Ал А', = Н ' Н жэне К 2 = Н Н ' симметриялық жэне оң операторлар дейік. Олардың ядролары К , (х ,s) = j H ' { x , t ) H { t, s ) d t , K 2(x ,s ) = j Я (x ,t) H '( t,s ) d t a и симметриялық жэне оң ядролар болады. Расында, 99 К, (s,x) = \H~ (s,t)H (t,x)dt = \ H ( t , x ) H ' ( s , t ) d t = \ Н ' (x ,t)H (t,s)dt = K t(x,s), (I К {xj)h{x)h{s)d\dx = f fjj Н' {x,t)HU.s)dl lh( - b (b b ( b = j dtU H ’ (x,t)h(x)dxj H(t,s)h(s)ds \ = \d t j H(t,s)h(s)ds a a \a > 0. Міне, осындай қасиеттері бар А^,(х,5) жоне K 2(x,s) ядролары H ( x ,s ) ядросы үшін Шмидт ядролары деп аталады. Әрбір симметриялық емес H (x,s) ядросына Шмидт екі ортогональ функ- цияны сойкестендіреді, ал жалпы жағдайда берілген ядроның меншікті функция- лары ешқандай байланысы жоқ жүйемен сэйкестендіреді. Екі (р{х) жэне ^(х) функциялары (Шмидтің анықтауы бойынша) (р(х) = А( Н ( х , s)if/(s)ds, y/{s) = Aj H(s, x)(p{x)dx (90) теңдеулерін қанағаттандырса, онда (р{х) пен i//(s) функциялары одақтас меншікті функциялар деп аталады.(90) тендеулеріндегі Л шамасы H (x ,s ) ядросының меншікті моні. Әрқашан меншікті функциялар пары бар болады. Расында, (90) теңдеулерінен^(х) функциясын шығарып тастасақ, онда симметриялык ядролы һ (р{х) = А }\К 2 (x,s)(p(s)ds біртекті интегралдық тендеуіне келеміз, мұндағы, К 2 (х, s) - Шмидт ядросы. Егер (90) теңдеулерінен (р{х) функциясын шығарып тастасақ, онда симметриялык ядролы ь у/(х) = Я2 J AT, (х, s)y/(s)ds (91) а біртекті интегралдықтеңдеуін аламыз, мунда да K i(х ,s ) -Ш м и д т ядросы. Егер (90) жүйесінің Я параметрлеріне сэйкес ^ ,( х ) ,^ ,( х ) шешімдері болса, онда K {( x ,s ) ,K 2(x,s) ядролары үшін А, сандары меншікті мэндер, ал у/,{х ) пен (рі(х) функциялары оларға сойкес меншікті функциялар болады. Керісінше, А ^ - сол ядролардың біреуінің (моселен, AT,(x,.v) ядросының) меншікті моні болсын. Бул сан орқашан оц. Ал <р0(х) функциясы сол Я0 санына сойкес меншікті функция болсын. Егер 100 деп алсақ, онда ¥и (x) = jA^jH(t,x) <РМ = лДЛ н (x,t)i//0(t)d t. и Сонымен, (90) теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу моселесі K^(x,s) немесе K 2(x ,s ) симметриялық ядроларының біреуінің меншікті мэндері мен меншікті функцияларын табу моселесімен пара-пар. Бұл екі ядроның меншікті мэндері бірдей жэне оң болғандықтан (Я > 0) оларды Л;,Л2,... деп белгілейік. АДх,.?) ядросының ортонормаланған меншікті функциялары (р,(х),<р2(х),...,<рп(х) болсын. (90) тендеуінің екіншісінде Л = ЛІ жоне (р - (р,(х) деп алсақ, (91) тендеуінің Лі мен- шікті мәніне сойкес меншікті функциясын аламыз. Осылай алынған і//,(х) функ циялары да ортонормаланған жүйе құрайды. Расында, һ ь V-,(*) = ц н (Ах)(р, 0t)dt, у/к (*) = Лк\ Н (s,х)(рк (s)ds п п Теңдеулерінен һ һ j у/ (х)у/к (x)dx = ЛіЛк\< J H(t,x)cp, (t)dt\H(s,x)(pk (s)ds үіх = и а [ а а ) b b = Л А j j A (t,s)(pt 0t) 00<Рк ( 0 dt = Г \ к ’ а а А к а I U , I Ф К , демек, {у/Xх )} (z -1,2,...) жүйесі ортонормаланған. 4. Ш м идт теорем асы . V/?(x) е L2(a,b) үшін f ( x ) - \ H (x,s)h(s)ds (92) тендігі орынды екенін Шмидт долелдеген (мұндағы, H ( x , s ) симметриялық емес ядро). Теорем а (Шмидт). H ( x , s )~үзіліссіз ядро болсын. (92) теңдігімен анықталған кез келген f ( x ) функциясы H ( x , s ) ядросының меншікті функциялары {(р,{х)} арқылы бірқалыпты жинақты қатарға жіктеледі. Д әлелдеуі. Теореманың шартына байланысты (92) теңдігімен анықталған f { x ) функциясы үзіліссіз болады. Ал f ( x ) үшін Фурье коэффиценттері 101 h b f] = J J H (x,s)h(s)cpi(s)dsdx a a ^-\h{s)y/,{s)ds Я; a h ____ l_ Я / Екінші жағынан, = \ H ( x , s ) y / i (s)ds H (x ,s) ядросының Фурье коэффиценттері. Бессель теңсіздігінен Х^,2 жэне <РМ 1=I ; I Я қатарларының жинақтығы шығады. Сондыктан һ S(x) = ХүУ?,(х) <=| Я катары абсолютті жэне бірқалыпты жинақты. R(x) = f ( x ) - S ( x ) деп белгілейік. R(x) функциясы барлық (pt (х) функцияларына ортогональ. Расында, J R(x)cpi(x)dx = J / О )(р,{x)dx - J S{x)(p,(x)dx = -j-(/7, - h, ) = 0, ci a li демек, j R(x)S(x)dx = J R(x)'^^-(pi(x)dx = X ^ j Я(*)<Р,(*№ = 0. Мына өрнекті қарастырайық: J H ( x , / ) / (х)<Ят = j Н (х, t)R(x)dx + {Н (х , t)S(x)dx. и и a Бұған (92) теңдігін пайдалансақ, j K i(x,s)h(s)ds = f H (x ,t) R ( x ) d x + j H ( x ,t) S ( x ) d x . a a a (93) һ Гильберт-Шмидт теоремасы бойынша f KXx,s)h(s)ds функциясі a l сының меншікті у/Дх) функциялары арқылы коэффиценттрі - / лыпты жинақты қатарға жіктеуге болады. Екінші жағынан K x(x,s) ядро- болған бірқа- 102 j H (x,t)S(x)dx = Х ~ /г ,^ ,( /) . a I I /V b Сондықтан алдыңғы тендіктен j H{x,t)R{x)dx = 0. Демек (93) жэне соңғы тендіктерден J/ (x)/?(x)dx = j j H(x,s)h(s)R(x)dsdx = О, а ] R 1(x)dx = \ R(x)[f(x) - = О, и а яғни Я(х) = 0. Ендеше / W = ^ ) = Z y f , W / I а , теңдігін аламыз. Бұл формуладан \ / g ( x ) e L 2[a,b] үшін j J H(x,s)h(s)g(x)dsdx = f J*y-gr а а /=1 Л/; (94) b Осы тэсілмен кез келген f (х) = j Н (x,s)g(x)ds фуніщиясын (х) функция- * 1 лары арқылы бірқалыпты жинақты f ( x ) = 'Z—g,i//l(x ) қатарына жіктеуге болады. /=і Теорема дэлелденді. Енді (94) формуласын симметриялық К 2 (x,s) = j H ( x , t) H '( t , s ) d t a ядросына қолданайық. Сонда ол ядро K 2(x,s) = жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|