Практикум по алгебре

96 
4. a) {
x
+
y
3
: 
x
, 
y
∈
Z
}; 
б
)
a = 
24+7 3 ,
b = 
21+2 3 ;
a = 
19+9 3 ,
b = 
–31–19 3 . 
5. a) {
5
2
2
i
y
x
+
:
x
, 
y
∈
Z
, 
x
–
y
M
2}; 
б
)
a = 
7+12 5 ,
b = 
4–5 5 ;
a = 
8–7 5 ,
b = 
–11+13 5 . 
6. a) {
7
2
2
i
y
x
+
:
x
, 
y
∈
Z
,
x
–
y
M
2}; 
б
)
a = 
13+
5i
7 ,
b = 
8–3
i
7 ;
a = 
29–
8i
7 ,
b = 
15+2
i
7 . 
Задание
 32 
1. 
Найти
сумму
коэффициентов
многочлена
(7
х
3 
–
13
х
2 
+ 3
х
 
+ 4)
1999 
(
х
3 
–
8
х
2 
+ 6
х
 
+ 1999) + (2
х
3 
+ 18
х
 – 
21)
2000
после
приведение
его
к
стандартному
виду
. 
2. 
Найти
сумму
коэффициентов
при
нечетных
степенях
х
многочлена
(
х
4 
–
х
 
+ 1)
1999 
+ (
х
5 
+ 
х
 – 
1)
1999
после
приведения
его
к
стандартному
виду
. 
3. 
Доказать
, 
что
в
произведении
многочленов
(1 – 
х
 
+ 
х
2 
–
х
3 
+…+ 
x
100
)(1 + 
x 
+ 
x
2 
+…+ 
x
100
)
после
раскрытия
скобок
и
приведения
подобных
членов
отсутствуют
члены
, 
содержащие
нечетные
степени
переменной
х
. 
4. 
Найти
сумму
коэффициентов
многочлена
1 + (
x
2 
–
6
x 
+ 5)(
x
5 
+ 3
x
4 
– 2
x
3 
+ 
x
2 
– 
x 
+ 7)
3
+(
x
2 
–
3
x 
+ 1)
2
(
x
3 
+ 5
x 
+ 7)
после
приведения
его
к
стандартному
виду
. 
5. 
Найти
сумму
коэффициентов
при
четных
степенях
х
многочлена
(
x
4 
+ 
x
3
+
x
2
+ 
x 
+ 1)
4 
– (2
x
3 
+ 3
x
2 
–
2)
5
после
приведения
его
к
стандартному
виду
. 
6. 
Доказать
, 
что
в
многочлене
(1 + 
x 
+ 
 x
2 
+ 
x
3 
+ 
x
4
)(
 x
2
+ 3
x 
+ 2)
2000
+ (–1 + 
x – x
2 
+ 
x
3 
–
x
4
)(
x
2 
–
3
x 
+ 2)
2000
после
ра
c
крытия
скобок
и
приведения
подобных
членов
отсутствуют
члены
, 
содержащие
нечетные
степени
переменной
х
. 
Задание
 33 
1. 
а
) 
Пусть
g
(
x
)
∈
R
[
x
]. 
Доказать
, 
что
если
g
~
ограниченная
функция
, 
то
deg 
g =
0. 
б
) 
Доказать
, 
что
если
deg 
g 
< 
n
и
g
~
принимает
целые
значения
при
n
последова
-
тельных
целых
значениях
переменной
, 
то
g
~
принимает
целые
значения
при
всех
целых
значениях
переменной
. 
Верно
ли
, 
что
g
(
x
)
∈
Z
[
x
]? 
2. 
а
) 
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
m
∈
Z
. 
Доказать
: 
m
корень
g
(
x
) 
⇔
g
~ (
a
)
M
 a
–
m
при
любых
целых
значениях
а
. 
б
) 
Найти
корни
многочлена
.
!
)
1
)...(
1
(
)
1
(
...
!
2
)
1
(
!
1
1
n
n
x
x
x
x
x
x
n
+
−
−
−
+
−
−
+
−
3. 
а
) 
Доказать
, 
что
функция
sin 
не
является
многочленной
функцией
.
б
) 
Доказать
: (
∀
n
∈
Z
)( 
g
~ (
n
)
∈
Z
) 
⇔
2
a
, 
a+d
, 
c
∈
Z
, 
если
g
(
x
) 
=
ax
2
+
dx
+
c
. 

97 
4. 
а
) 
Верно
ли
, 
что
в
Z
6
[
x
] 
любой
многочлен
имеет
корней
не
больше
, 
чем
его
степень
? 
б
) 
Построить
многочлен
наименьшей
степени
, 
удовлетворяющий
условию
g
~ (
i
) 
=
i
–1
для
i=
1, 2, ... , 
n
: 
а
) 
над
Q
; 
б
) 
над
Z
p
, 
где
p
простое
число
. 
5. 
а
) 
Коэффициенты
a
, 
b
, 
с
многочлена
g
(
x
) 
=
x
3
+
ax
2
+
b
х
+
с
∈
R
[
x
] 
по
модулю
не
превосходят
1999. 
Может
ли
этот
многочлен
иметь
корень
, 
больший
чем
2000? 
б
) 
Пусть
(
∀
a
∈
Q
)( 
g
~ (
a
) 
∈
Q
). 
Доказать
, 
что
g
(
x
) 
∈
Q
[
x
]. 
6. 
а
) 
Пусть
g
1
(
x
), 
g
2
(
x
)
∈
R
[
x
], deg 
g
1 
=
3, deg 
g
2
=
2. 
Доказать
, 
что
графики
функ
-
ций
у
 = g
~
1
(
х
)
и
у
 = g
~
2
(
x
) 
пересекаются
. 
б
) 
Пусть
g
(
x
) 
=
ax
3
+
bx
2
+
сх
+
d
.
Доказать
: (
∀
n
∈
Z
)( 
g
~ (
n
)
∈
Z
) 
⇔
6
a
, 2
b
, 
а
+
b
+
с
, 
d
∈
Z
. 
Задание
 34 
1. 
а
) 
Существует
ли
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
такой
, 
что
g
~ (1) 
=
2, 
g
~ (2) 
=
3, 
g
~ (3) 
=
5? 
б
) 
g
(
x
)
∈
Z
[
x
] 
и
множество
значений
g
~
содержит
бесконечно
много
простых
чисел
. 
Доказать
, 
что
g(x
) 
неприводим
над
Q
. 
2. 
а
) 
Существует
ли
g
(
x
) 
∈
Z
[
x
], 
такой
, 
что
g
~ (1) 
=
19, 
g
~ (19) 
=
99? 
б
) 
Привести
пример
приводимого
над
Q
многочлена
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
многочленная
функция
которого
при
k
различных
натуральных
значениях
переменной
дает
k 
различных
простых
значений
. 
3. 
а
) 
g
(
x
)
∈
Z
[
x
]. 
В
трех
целых
точках
g
~
принимает
значение
, 
равное
2. 
Доказать
, 
что
ни
в
какой
целой
точке
g
~
не
принимает
значение
, 
равное
3. 
б
) 
Доказать
, 
что
если
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], deg 
g
=
n 
≥
1 
и
g
~
принимает
значения
±
1 
бо
-
лее
чем
при
n
целых
значениях
переменной
, 
то
g
(
x
) 
неприводим
над
Q
. 
4. a) 
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
a
, 
b
, 
с
различные
целые
числа
. 
Доказать
, 
что
невозможны
одно
-
временно
равенства
g
~ (
а
) 
=
b
, 
g
~ (
b
) 
=
с
, 
g
~ (
с
) 
=
а
. 
б
) 
Доказать
, 
что
если
a
1
, 
a
2
, ... , 
a
n
различные
целые
числа
, 
то
многочлен
g
(
x
) 
=
(
x
–
a
1
)(
x
–
a
2
) ... (
x
–
a
n
) –1 
неприводим
над
Q
. 
5. a) 
g
(
x
)
∈
Z
[
x
], 
g
~
принимает
значение
k
в
двух
различных
точках
а
, 
b
∈

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: