Практикум по алгебре

91 
б
) 
Доказать
, 
что
кольцо
является
кольцом
с
сокращением
тогда
и
только
то
-
гда
, 
когда
кольцо
не
имеет
делителей
нуля
. 
6. 
а
) 
Доказать
, 
что
в
конечном
кольце
с
единицей
элемент
ху
обратим
тогда
и
только
тогда
, 
когда
одновременно
обратимы
элементы
х
и
у
. 
б
) 
Доказать
, 
что
в
конечном
коммутативном
кольце
любой
ненулевой
эле
-
мент
является
либо
делителем
нуля
, 
либо
делителем
единицы
. 
Задание
 21. 
Гомоморфизм
ϕ
: 
А
 
→
А
называется
эндоморфизмом
алгебры
А
. 
Биективный
эндоморфизм
назы
-
вается
автоморфизмом
алгебры
. 
Пусть
〈
G
; +
〉
произвольная
абелева
группа
. 
А
. 
Доказать
, 
что
множество
End
G
всех
эндоморфизмов
абелевой
группы
обра
-
зует
кольцо
относительно
операций
+
и
°
, 
где
(
f 
+ 
g
)(
x
) 
=
f
(
x
) + 
g
(
x
), 
(
f
°
g
)(
x
)
=f 
(
g
(
x
)). 
Б
. 
Пусть
a 
∈
Z
m
. 
Доказать
, 
что
отображение
λ
а
: 
х
→
ax
является
эндоморфизмом
группы
〈
Z
m
; +
〉
. 
В
. 
Доказать
, 
что
любой
эндоморфизм
данной
группы
Z
m
имеет
вид
λ
а
. 
Г
. 
Вывести
отсюда
, 
что
кольцо
End
Z
m
изоморфно
кольцу
классов
вычетов
〈
Z
m
; +, 
⋅〉
. 
Д
. 
Сколько
элементов
этого
кольца
является
автоморфизмами
? 
1.
 
Z
9
.
2.
Z
10
.
3.
Z
15
.
4.
Z
12
.
5.
Z
8
.
6.
Z
14
. 
Задание
 22 
А
. 
Найти
все
автоморфизмы
поля
. 
Б
. 
Доказать
, 
что
кольца
не
изоморфны
. 
1. 
а
) 
Q
( 2 ). 
3. 
а
) 
Q
( 5 ). 
5. 
а
) 
Q
( 7 ). 
б
) 2
Z
и
3
Z
. 
б
) 2
Z
и
5
Z
. 
б
) 2
Z
и
6
Z
. 
2. a) 
Q
( 3 ). 
4. a) 
Q
(
5
−
). 
6. a) 
Q
( 2 )( 3 ). 
б
) 3
Z
и
5
Z
. 
б
) 
Q
( 2 ) 
и
Q
( 3 ). 
б
) 3
Z
и
7
Z
. 
Задание
 23 
1.
Доказать
, 
что
элемент
a
является
простым
элементом
целостного
кольца
А
тогда
и
только
тогда
, 
когда
фактор
-
кольцо
А
/(
а
) 
является
полем
. 
2.
Доказать
, 
что
любой
гомоморфизм
поля
является
либо
изоморфизмом
, 
либо
нулевым
отображением
. 
3.
Доказать
, 
что
кольцо
целых
чисел
нельзя
эпиморфно
отобразить
на
любое
свое
ненулевое
подкольцо
. 
4.
Можно
ли
некоторое
кольцо
, 
не
являющееся
полем
, 
эпиморфно
отобразить
на
поле
? 
5.
Можно
ли
кольцо
без
единицы
эпиморфно
отобразить
на
кольце
с
единицей
?
Кольцо
с
единицей
на
кольцо
без
единицы
? 
6.
Найти
все
автоморфизмы
кольца
Z
[
3
7 ]. 

92 
Задание
 24 
А
. 
Пусть
〈
A
; +, 
⋅〉
— 
кольцо
(
поле
), 
ϕ
 
: 
А
→
В
биекция
А
на
произвольное
множе
-
ство
В
. 
Определим
на
В
правила
⊕
и
⊗
следующим
образом
: 
b
1
⊕
b
2
=
ϕ
(
ϕ
–1
(
b
1
) +
ϕ
–1
(
b
2
)), 
b
1
⊗
b
2
=
ϕ
(
ϕ
–
1
(
b
1
)
·
ϕ
–1
(
b
2
)). 
Доказать
: 
а
) 
правила
⊕
и
⊗
задают
операции
на
В
; 
б
) 
〈
B
; 
⊕
, 
⊗〉
является
кольцом
(
полем
); 
в
) 
отображение
ϕ
(
или
ϕ
–1
) 
есть
изоморфизм
колец
. 
Б
. 
Пользуясь
доказанным
, 
построить
на
R
поле
с
необычными
операциями
сло
-
жения
и
умножения
. 
Задание
 25 
1.
A
=
R
×
R
— 
декартово
произведение
колец
. 
Доказать
, 
что
алфавитный
поря
-
док
не
делает
кольцо
линейно
упорядоченным
кольцом
. 
2.
A
=
R
×
R
— 
декартово
произведение
колец
. 
Определим
отношение
p
на
A
следующим
образом
: (
a
; 
b
) 
p
(
c
;
 d
) 
⇔
a 
≤
c
∧
b 
≤
d
. 
Доказать
, 
что
это
отно
-
шение
не
делает
кольцо
A
линейно
упорядоченным
кольцом
. 
3.
Доказать
, 
что
всякое
линейно
упорядоченное
кольцо
не
содержит
делителей
нуля
. 
4.
Доказать
, 
что
всякое
линейно
упорядоченное
кольцо
бесконечное
. 
5.
Доказать
, 
что
всякое
линейно
упорядоченное
кольцо
имеет
характеристику
0. 
6.
Доказать
, 
что
всякое
конечное
кольцо
невозможно
превратить
в
линейно
упорядоченное
кольцо
. 
Задание
 26 
1.
Три
автомата
печатают
на
карточках
пары
целых
чисел
. 
Каждый
автомат
, 
про
-
читав
некоторую
карточку
, 
выдает
новую
карточку
; 
прочитав
карточку
с
парой
(
а
; 
b
), 
первый
автомат
выдает
карточку
(
а
–b
; 
b
), 
второй
— 
карточку
(
а
+b
; 
b
), 
третий
— 
карточку
(
b
; 
а
). 
Пусть
первоначально
имеется
карточка
с
парой
(19; 91). 
Можно
ли
, 
используя
автоматы
в
любом
порядке
, 
получить
из
нее
карточку
(2; 5)? (18; 81)? 
Найти
критерий
, 
позволяющий
определить
, 
можно
ли
преобразовать
с
помощью
этих
автоматов
пару
(
а
; 
b
) 
в
пару
(
с
; 
d
). 
2.
Один
мастер
делает
на
длинной
ленте
пометки
синим
карандашом
от
ее
на
-
чала
через
каждые
36 
см
. 
Другой
мастер
делает
пометки
красным
каранда
-
шом
от
начала
через
каждые
25 
см
. 
Может
ли
синяя
пометка
оказаться
на
расстоянии
1 
см
от
какой
-
нибудь
красной
пометки
? 
3.
Про
некоторую
фигуру
на
плоскости
известно
, 
при
повороте
вокруг
точки
0 
на
48
°
она
переходит
в
себя
. 
Можно
ли
утверждать
, 
что
она
переходит
в
себя
при
повороте
вокруг
точки
0 
на
угол
90
°
? 72
°
? 
Найти
критерий
, 
позволяю
-
щий
определить
, 
переходит
ли
фигура
в
себя
при
повороте
на
данный
угол
. 
4.
а
) 
От
прямоугольника
324 
см
×
141 
см
отрезают
несколько
квадратов
со
сто
- 
роной
141 
см
, 
пока
не
останется
прямоугольник
, 
у
которого
длина
одной
стороны
меньше
141 
см
. 
От
полученного
прямоугольника
отрезают
квад
- 
раты
, 
стороны
которых
равны
по
длине
меньшей
стороне
прямоугольника

93 
до
тех
пор
, 
пока
это
возможно
и
так
далее
. 
Какова
длина
стороны
послед
- 
него
отрезанного
квадрата
? 
б
) 
Найти
какие
-
нибудь
два
числа
a
и
b
, 
чтобы
при
таком
разрезании
прямо
- 
угольника
a
×
b
получились
квадраты
ровно
6 
размеров
. 
5.
а
) 
По
окружности
радиуса
40 
см
катится
колесо
радиуса
18 
см
. 
В
колесо
вбит
гвоздь
, 
который
, 
ударяясь
об
окружность
, 
оставляет
на
ней
отметки
.
Сколько
всего
таких
отметок
оставит
гвоздь
на
окружности
? 
б
) 
Сколько
раз
прокатится
колесо
по
окружности
, 
прежде
чем
гвоздь
попа
- 
дет
в
уже
отмеченную
точку
? 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: