Практикум по алгебре
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задание 28
- Задание 29
- Задание 30
| Задание
27 1. а ) Доказать , что если стороны прямоугольника a и b и его диагональ c – чис - ла целые , то площадь прямоугольника кратна 12, а произведение abc кратно 60. б ) Существуют ли целые числа а , b , удовлетворяющие уравнению а 2 + 1998 = b 2 ? 2. а ) Даны n числе а 1 , а 2 , ..., а n , каждое из которых равно 1 или –1. Известно , что а 1 a 2 + a 2 a 3 + ... + a n a 1 = 0. Доказать , что n делится на 4. б ) Число n ∈ N таково , что 2 n + 1 и 3 n + 1 являются точными квадратами . Дока - зать , что n делится на 8. 3. а ) Число 2001 умножается на числа 1, 2,..., 999. Доказать , что если выписать 3 последние цифры у каждого из этих произведений , то все выписанные 999 трехзначных ‘ чисел ’ ( некоторые из них начинаются с 0) будут различны . б ) Решить в Z уравнение х 3 –2 y 3 –4 z 3 = 0. 4. а ) Доказать , что при любых n ∈ Z число n 2 +3 n +5 не делится на 121. б ) Может ли квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант , равный 23? 5. а ) Сколько существует пар натуральных чисел х , у ∈ [1, 1000] таких , что х 2 + y 2 M 49? б ) Доказать , что число 250 нельзя представить в виде n 2 – m 2 , где n , m ∈ Z . 6. а ) Числа 1, 2, ..., n переставлены в некотором порядке : a 1 , a 2 , ..., a n . Доказать , что если n четно , то ( a 1 –1) ⋅ ( a 2 –2) ⋅ ... ⋅ ( a n – n ) четно . б ) Доказать , что при n > 1 числа 2 n –1 не являются полными квадратами . Задание 28 А . Будет ли сократима дробь ? Если сократима , то на какое число и при каких значениях n ? 1. . 3 64 5 111 + + n n 2. . 7 8 6 5 + + n n 3. . 3 14 1 12 + + n n 4. . 3 14 4 21 + + n n 5. . 4 7 8 9 + + n n 6. . 4 9 1 2 + + n n 94 Б . ( а , b ) = 1. Найти НОД , используя определение 1. (2 а + b , 5 а +3 b ). 2. (7 a +5 b , 3 а +2 b ). 3. (5 а +3 b , 3 а +2 b ). 4. (13 а +2 b , 20 а +3 b ). 5. (7 а +2 b , 11 а +2 b ). 6. (5 а +3 b , 11 а +8 b ). В . Доказать иррациональность числа 1. 1) 10 . 2. 2) 21 . 3. 3) 12 . 4. 4) 3 5 . 5. 5) 4 27 . 6. 6) 3 7 . Г . ( а , b ) = 1. Найти НОД , используя каноническое разложение . 1. ( а + b , ( а –b ) 2 ). 2. ( а + b , а 2 + b 2 ). 3. ( а + b , а 2 – а b + b 2 ). 4. ( а – b , а 2 + а b + b 2 ). 5. ( а – b , а 2 – а b + b 2 ). 6. ( а + b , а 2 + а b + b 2 ). Д . 1) Доказать , что если а и b взаимно простые числа , то ( ас , b ) = ( b , с ). 2) Доказать : (2 р –1, 2 q –1) ⇔ ( p , q ) = 1. 3) Доказать , что при любом натуральном n число (1+ 2 ) n может быть пред - ставлено в виде а + b 2 , где а и b взаимно простые целые числа . 4) Доказать : ( ) . , 1 1 , 1 1 n a a a a n − = − − − 5) m = [ a , b ]. Найти ( а + b , m ). 6) m = [ а , b ]. Найти ( а b , m ). Задание__29'>Задание 29 1. а ) Доказать , что остаток от деления простого числа на 30 есть 1 или является простым числом . б ) p и q простые числа , q 3 –1 делится на p , p –1 делится на q . Доказать , что p = 1+ q + q 2 . 2. а ) Найти все натуральные числа n , для которых все числа n +1, n +3, n +7, n +9, n +15 являются простыми . б ) При каких значениях простых чисел p и q число ( p +1) q являются полным квадратом ? 3. а ) Найти все числа p , для которых каждое из чисел p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +14 является простым . б ) Доказать , что если p и q простые числа и q = p +2, то p q + q p делится на p + q . 4. а ) Какое наибольшее количество простых чисел может встретиться среди 17 последовательных чисел , больших 3. б ) Найти все простые числа p , такие , что 2 р +1 M р . 5. а ) Найти 3 последовательных простых числа , сумма квадратов которых также является простым числом . б ) Найти все простые числа вида . 1 2 ) 1 ( − + n n 95 6. а ) Найти все простые числа p , такие , что 1) р 2 +13 — простое число ; 2) р 2 +14 — простое число . б ) Число 2 р –1 простое . Доказать , что р также простое число . Задание 30 1. а ) Найти все арифметические прогрессии с разностью 10, состоящие более чем из двух простых чисел . б ) Доказать , что уравнение 1 = + + x z z y y x не разрешимо в N . 2. а ) Найти все арифметические прогрессии с разностью 100, содержащие более чем 2 простых чисел . б ) Доказать , что квадрат числа вида 3 n +2, где n ≠ 0, нельзя представить в ви - де суммы квадрата натурального числа и простого числа . 3. а ) Простые числа a 1 , a 2 , ..., a p образуют возрастающую арифметическую про - грессию , a p > p . Доказать , что если р простое число , то разность прогрес - сии делится на р . б ) Доказать , что нечетные числа вида 6 n +1, n ≥ 1, нельзя представить в виде разности двух простых чисел . 4. а ) Доказать , что если числа а , a + d , a +2 d ,..., a +( n –1) d целые и взаимно про - стые числа с n , то d и n не взаимно простые . б ) Доказать , что всякое натуральное число , большее 6, является суммой двух взаимно простых чисел , больших 1. 5. а ) Найти все целые числа k ≥ 0, для которых последовательность k +1, k +2, ..., k +10 содержит наибольшее количество простых чисел . б ) Доказать , что сумма , 1 ... 3 1 2 1 n + + + где n > 1, не может быть целым числом . 6. а ) Найти все прямоугольные треугольники , стороны которых выражаются натуральными числами , образующими арифметическую прогрессию . б ) Найти все простые числа , которые являются одновременно суммой и раз - ностью простых чисел . жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|