«развитие науки и инновации в современном мире: проблемы и перспективы»

288 
 
УДК  372.851 
 
ПОДХОД ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 
 
                        
1
Юнусов А.А.,  
1
Юнусова А.А., 
2
Тулендиев Е.М., 
3
СаховаЛ.Н. 
 
1
ХГТУ Шымкент қ. Қазақстан Республикасы 
2
86-мектеп., Шымкент қ. Қазақстан Республикасы 
3
ОҚМУ Шымкент қ. Қазақстан Республикасы 
 
Түйін 
Бұл  мақалада    мектеп  математика  курсындағы  ―Алгебра  және  математикалық  анализ 
бастамалары‖ пәнін оқытуда функцияның шегі ұғымын енгізу мәселелері қарастырылады. 
 
Summary 
This article discusses challenges to the study of the limit of a function in the school course "Algebra and the 
beginning of mathematical analysis"profile level. 
 
 Цель урока: 
-    закрепить  понятия  предела  последовательности  при 
0
x
x

(
0
x
число, 




,
,
). 
- изучить понятие «  Предела функции в точке » 
Метод урока: репродуктивный , объяснительно-иллюстративный. 
Тип урока: комбинированный. 
Задачи: научить учащихся определять бесконечно малые и бесконечно большие 
функции  при  различных  параметров  и  вычислять  значение  предела  функции  в 
точке. 
Оборудование:    компьютер,  доска  ,  мультимедийный  проектор,  раздаточный 
материал. 
Ход урока: 
Подход  многих    педагогов    заключается  в  том    что  как    доступно,  методично 
изложить  занятие  и  ее  связать  с  известными  ученными  .  Например  как  известно, 
французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: 
“Учиться  можно  только  с  интересом.  Чтобы  переварить  знания,  надо 
поглощать их с аппетитом!” 
Другой известный математик 20 века П. Халмош  сказал  «Начинающий…. 
Не  должен,  смущаться,  если…  он  обнаружить,  что  у  него  не  хватает 
предварительных знаний даже для чтения предварительных сведений» 
Так давайте сегодня на уроке будем следовать этому совет ученных будем активны 
, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием(аппетитом), ведь они 
пригодятся вам в дальнейшем. 
1.Организационный момент урока. 
Объявление цели урока. Знакомства с правилом  работы  
2.Актуализация знаний учащихся. 
1)
 
У доски: 3 ученика (текст на экране).  
Задание. Докажите, что функция 
.
2
3
1
2
3
)
(
)



x
x
x
f
a
бесконечно малая при 


x
 
4
4
5
4
2
)
(
)




x
x
x
б

 бесконечно большая при 


x
 

289 
 
5
1
4
5
)
(
)




x
x
x
b

 бесконечно малая при


x
 
Решение.   
а)    Докажем,  что  для 
,
0
0






что  при 


x
 выполняется  неравенство


)
(x
f
.  Имеем:


3
2
4
,
2
3
2
4
3
)
(






x
x
x
f
 то  достаточно  решить 
неравенство  
,
3
2
4



x
  
)
2
3
(
4
1
4
2
4
3






x
 Теперь за число  

 возьмем  
)
2
3
(
4
1
)
(





 то есть 


)
(x
f
 при
)
(



x
 
Приведите  примеры  бесконечно  малых  функции  при 
0
x
x

 (
0
х
-конечный 
число) 
2) Устная работа. 
Формулировки определений:а) бесконечно малой функции; б) бесконечно большой 
функции; в) предела функции на бесконечности; г) предела последовательности. 
3) Решение примеров на доске (текст на экране): 
Задание 1. 
При каких значениях а и 
b
в функция 
bx
x
x
ax
x
f





1
3
1
2
)
(
 будет бесконечно малой 
функцией, когда 


x
? 
Решение: 
1
3
1
)
2
(
)
3
(
1
3
3
1
2
1
3
1
2
)
(
2
2
2
2

















x
x
b
x
b
a
x
bx
bx
x
ax
bx
x
x
ax
x
f
 ,  чтобы  
f(х)  была  бесконечно  малая  функция,  то  необходимо    и  достаточно 
0
1
3
1
)
2
(
)
3
(
2






x
x
b
x
b
a
при  условии
3
1


x
 и


x
.Из  последний  
выражении  видно,  что  при  выполнение  условие







0
2
0
3
b
b
a
 






2
6
b
a
 функция 
будет бесконечно малая при 


x
. 
 
Задание  2.  Дана  функция 














5
20
3
7
,
5
1
3
)
(

х
при
x
x
x
х
при
x
x
x
f
   Найдите  пределы  при 


х
 и при 


х
. 
 
Решение.  Пусть 
,


x
 тогда    по  определение  модуль 
,
x
x


 так  как 
,
0

x
следоветельно 




1
3
lim
x
x
x
 
3
1
3
lim






x
x
x
:
0
)
20
3
7
(
lim
20
3
7
lim












x
x
x
x
x
x
 
 
Пусть  тепер 
,


x
тогда по определение модуля 
,
x
x

так как 
0

x
 

290 
 




1
3
lim
x
x
x
3
1
3
lim




x
x
x
      
2
3
)
20
3
7
2
(
lim
20
3
7
lim











x
x
x
x
x
x
x
 
4) Индивидуальная работа по карточкам. 
III. Объяснение нового материала. 
Обратимся к рис.1 
 
 
 
 
1) Изучение свойств вблизи точки,  например, значение функции f(4)=3, а вблизи? 
(т. е. как ведет себя функция в окрестности  точки ( 4,3) ―вблизи точки ( 4,З)‖. Что 
это такое? 
2)
 
Понятие окрестности (рис.2). 
Пусть 
0
x
- некоторое число, 

- положительное число. 
      а).Интервал 
)
;
(
0
0
0
0
x
x
x





 называется  левой 

-  окрестностью(  «дельта-
окрестностью») точки 
0
x
.
  
                        


0
x
////////
           
0
x
 
              
 
 
                                
0
0

x

    
                      
 рисунок  2 
x

δ






x
x
x
0
0
0
0
 
 
б).  Интервал 
)
;
(
0
0
0
0





x
x
x
называется  правой 

-  окрестностью  точки    х
0 
                     
(рисунок 3) 
 
                         
0
x
  ////////          


0
x
             
 
                   
 
                                 
0
0

x

 
                         рисунок 3 
    








0
0
0
0
x
x
x
x
 
в). Множество 
0
0
0
0
0




x
x
x



 называется 

- окрестностью точки 
0
x
.  
 
(рисунок 4) 
          


0
x
         
0
x
            


0
x
 
 

291 
 
?
 
х
0
 
(
х
0
-

;
х
0
)    
(х
0
;
х
0
+

)
 
Рис.
8
 
?
 
1.8
 
2.2
 

=?
 
2
 
Рис.6
 
                  
0
0

x

         
0
0

x

 
                Рисунок4 
 
 
 
 
Следует обратить внимание, что 
0
0
x
x


  
 
г)    Интервал 








0
0
.
0
,
0
x
x
x
 называется

 интервалом      точки    х
0  . 
(рисунок 5) 
       
 
   


0
x
         
0
x
            


0
x
 
  
                              
0
x

         
 
 
            Рисунок  5 







0
0
0
x
x
x
x
 
 
Пример (Рис.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 б) Задание окрестности. 
Если же точки х
0 
 удалить, т.е. ―выколоть‖, то получается проколотая окрестность.- 
Какой из определение выше указанных является проколотая окрестность 
в) Некоторое свойство функции выполняется вблизи точки х
0 
 , если есть хоть одна 
проколотая окрестность или: если это свойство выполняется во всех точках какой-
то проколотой окрестности, то это свойство выполняется вблизи точки х
0
.  
3). Закрепление понятия ―окрестности точки‖. 
 
 
 
х
0
-

 
х
0
+

 
х
0
 
Рис.7
 







0
0
0
x
x
x
x

292 
 
 
 
 
 
 
 
 
Чему равно   
0
x
,

и 
0
x

  в рисунке 9  
Как определяется 

 окрестность в рисунке 10 
 
Что означает

 окрестность в рисунке 11 
4) Предел функции в точке 
Определение 1 Число А называется  
0
lim
x
x

f(x), если для любой  

 
существует  
0
x

такая, что  для каждого  











A
x
f
x
x
x
x
)
(
0
0
0
 
 
Если  А  предел функции f  при х стремящейся к х
0   , 
то пишут 
                                       
0
lim
x
x

f(x)=А. 
В символах  логической символики, данное выше определение можно сформулировать так 
А есть   
0
lim
x
x

f(x)  ,если 

 

 

 

 > 0   

  х 
0
x


 



A
x
f
)
(
 

. 
Определение  2 дано на языке окрестности, для каждой конкеретной комбинации пары 
точек  x
0
.  Определение  можна  перевести  на  языке  чисел  ε,  δ  на    катором  обычно  ведут 
рассуждения при решении примеров на вычисление пределов  конкретных функции. 
 
 
0
х
 
Число 


 


 

 
А 
Число,   


,


,  

 
Число,   


,


,  

 
Число,   


,


,  

 
Число,   


,


,  

 
 
Пусть х
0  
число, А-число 
Определение    3  Число  А  называется       
0
lim
x
x

f(x)  .Если     



,
0

 

( 

 ) 
0

     
)
(
0
0





x
x

 
f(x)—A


 
Аналогично,  рассматривается  вопрос  о  пределах  односторонних  (при 


x
 
и  при 


x
), т.е. 
                            
)
(
lim
0
0
x
f
x
x


           
)
(
lim
0
0
x
f
x
x


 
IV. Закрепление материала. 
1  Докажем, что            
0
0
lim
x
x
x
x


                                                    (1) 
Доказательство:  Берем    любое 
0


.  Нам  нужно  показать,  что  для  этого  числа  есть 
число 
0
)
(



 такое,  что  из    неравенства


)
(
0



x
x
  



0
0
x
x

.Сравнивая эти 
неравенства мы видим, что в качестве числа 
)
(


можно взять число 
0

.То есть
0
)
(




.Следовательно равенство (1) имеет место.  
Пример 2.Показать,что если 
)
(
)
(
)
(
R
x
постоянная
C
x
f


,То  
                                                 
C
x
f
x
x


)
(
lim
0
                                                   (2) 
То есть
.
lim
0
C
C
x
x


  
4
 
5
 
6
 
(     )
 
(     )
 
4,8
 
3,8
 
5,2
 
2
 
2
 
2
 
4,2
 
№332 
 
Рис.9
 
 
 
№333
 
Рис.10
 
№337
 
Рис.11
 

293 
 
Решение:  Нам  нужно  показать,  что  для  любого 
0


 существует  число
)
(


 
такое, что  из неравенства 






C
C
x
x



)
(
0
0
   
Последнее неравенство имеет место всегда                 
Пример бесконечно малой функции 
  
 
     х 
      4       3.1       3.01      3.001 
      2.9       2.99     2.999 
  


2
3

x
 
      1      0,01  0,0001 
0,0000001      0,01  0,0001 
0,000001 
 
 
0
lim
3


x
f
x
 
х 
1 
2 
2.9 
2.99 
3.01 
3.01 
3.1 
4 
3

x
 
3
9
2


x
x
 
4 
5 
5.99 
5.999  6.001  6.01 
6.1 
7 
6

f
 
 
 
6
lim
3


x
f
x
 
V. Оценки за урок: за домашнее задание (у доски).за работу у доски. 
за индивидуальную работу (по карточкам) на следующем уроке. 
 
Литература 
 
1. Саранчев А.Ф.,Юнусов А.А.  Понятие предела функций. 
2. КазХТИ.Чимкент 1978,90 стр. 
 3. Юнусов А.А., Юнусова А.А. Конспект лекций по математическому анализу. Шымкент 
2014 
 
ӘОЖ  378.02.372.8. 
 
Л.ЭЙЛЕР ЖӘНЕ ТРИГОНОМЕТРИЯНЫҢ ҚАЛЫПТАСУЫ 
 
1
Юнусов А.А., 
1
Қарабаев А., 
1
ЮнусоваА.А.,
2
Умирбай А. 
 
1
Халықаралық гуманитарлық – техникалық университеті, Шымкент қ., Қазақстан 
2
Халықаралық гуманитарлық – техникалық университеті,(МТ-213т. Студенті)  Шымкент қ., 
Қазақстан 
 
Резюме 
В данной статье рассматриваются труды известного ученого Л. Эйлера о формировании 
тригонометрии. 
 
Summary 
This article focuses on the works of the famous scientist Euler on the formation of trigonometry. 
 
Ең  алғашқы  рет  тригонометрия  біздің  эрамызға  дейінгі  II  ғасыр  бұрын 
Александрияда 
үшбұрыштарды 
шешуге 
байланысты 
пайда 
болды. 
"Тригонометрия" деген сӛз (грек тіліндегі " тригоном " – үшбұрыш, ал " метрео " - 
ӛлшеймін)  үшбұрыштарды  ӛлшеу  дегенді  білдіреді.  Сол  кезде  астрономия 
есептерінің  шешуі  үшбұрыштың  берілген  элементтері  арқылы  басқа  элементтерін 
табудың қажеттілігін тудырды. 

294 
 
 
Ертедегі  Грецияда  тригонометрия  астрономияның  бір  бӛлігі  ретінде  қатты 
дамыды. 
 
Ертедегі  грек  ғалымдары  ең  алғашқы  рет  ӛздерінің  алдына  үшбұрыштарды 
шешу есебін қойды, яғни үшбұрыштың үш элементі (оның ішінде біреуі қабырғасы 
болуы  шарт)  белгілі  болған  жағдайда  қалған  элементтерін  табу.  Бұл  есепті  шешу 
үшін  радиусы  тұрақты  дӛңгелектің  әр  түрлі  центрлік  бұрышқа  сәйкес 
хордаларының ұзындықтарының таблицасы құрылды. Ең бірінші рет хордалардың 
тригонрметриялық таблицасы астроном және математик Гиппархтың (б.э. дейінгі II 
ғ.)  еңбектерінде  пайда  болды,  бірақ  оның  еңбектері  біздің  заманымызға  жеткен 
жоқ. Бұл еңбектің кӛпшілігі гректің астрономы Клавдия Птоломейдің (б. э.  II ғ. ) 
белгілі шығармасы "Альмагест" – ке кіреді.  "Альмагест" – ке жазықтықтағы және 
сфералық  тригонометрия  элементтері,  астрономия  құралдарының  бейнелері, 
хордалар  таблицасының  каталогы  және  т.б.  кіреді.  Птоломей  хордалар  таблицасы 
алпыстық  есептеу  жүйесіндегі  әрбір  жарты  градус  сайын 
0
0
 -  тан 
0
180
-  қа  дейінгі 
аралықта  құрылған  және  ол  кәдімгі  синустар  таблицасы  ретінде  қолданылған, 
себебі синус хорданың жартысы. 
 
Қос доғаның жарты хордасын (яғни доғаның синусын) индус математиктері 
біздің  эрамыздың  V  ғасырында  енгізді.  Олар  синусты  "джива"  (хорда  дегенді 
білдіреді)  деп,  ал  косинусты  "котиджива"  (шеңбердің  ширегіне  дейінгі  синустың 
қалдығы  дегенді  білдіреді)  деп  атады.  Индустардан  кейін  бұл  функцияларды  араб 
астрономдары  мен  математиктері  қолданып,  олар  синусты  "джайб"  деп  атады. 
"Джайб" сӛзі кейіннен  XII ғасырда латынның сӛзіне sinus деп (ойыс мағынасында), 
ал  косинусты  sinus  complement  (яғни  синустың  толықтауышы,  мұнда 


x

0
90
sin
 
екенін  кӛрсету)  деп  аударылған.  Осы  сӛздердің  орындарын  ауыстырып  және 
complement  сӛзін  қысқартып  co  –sinus  деп  қолданылуына  байланысты  косинус 
термині  пайда  болған.  Бұл  термин  есептеу  линейкасын  жасаған  ағылшын 
астрономы Э.Гунтердің 1620 ж. еңбектерінде кездеседі. 
 
Араб  математиктері  Аль  –  Баттани,  Абу  –  л  –  Вафа  X  ғасырда  жаңа 
тригонометриялық  функцияларды  –  тангенс,  котангенс,  секанс  және  косекансты 
енгізді.  Тангенс  пен  секанс  тригонометриялық  функцияларының  атауларының 
пайда  болуы  (бұл  терминдерді  1953  жылы  неміс  математигі  Т.Финк  енгізді), 
олардың геометриялық бейнелері кесінділер арқылы берілуіне байланысты шықты. 
Латынның  tangens  деген  сӛзі  жанайды,  ал  secans  –  қиюшы  дегенді  білдіреді. 
"Котангенс"  және  "косеканс"  деген  терминдер  орта  ғасырларда  "косинус"  сӛзінің 
пайда  болуына  сәйкес  құрылды.  Соңғы  үш  терминнің  барлығы  бірнеше  ғасырлар 
бойы  қалыптасып,  тек    XVII  ғасырдың  бірінші  жартысында  ғана  жалпылама 
қолданысқа енгізілді. 
 
Индус  математиктері  синус  пен  косинусты  тек  сүйір  бұрыш  үшін  ғана 
қарастырды.  Олар  тригонометриялық  шамалар  арасындағы  кейбір  қатынастарды 
білді  және  оларды  қолданды.  Мысалы,  олар  мына 
,
1
cos
sin
2
2




   






0
90
cos
sin
             теңдіктерді  пайдаланды.  Ал  Птоломей  мына 
,
1
cos
sin
2
2




    


,
sin
cos
cos
sin
sin









    




cos
1
2
1
2
sin
2


 
қатыстарды  енгізді.  Осы  қатынастардың  нәтижесі  Птоломей  үшін  хордалар 
таблицасын 
0
0
-тан  
0
180
-қа дейін жарты градустық жиілікпен есептеуге жеткілікті 
болды.  Кейінгі  тексерулер  нәтижесі  (ондық  есептеулер  жүйесінде)  Птоломей 
таблицасының  мәндері  бесінші  таңбаны  қоса  есептегенге  дейін  дұрыс  екенін 
кӛрсетті. 

295 
 
 
Сонымен,  біздің  эрамыздың  алғашқы  ғасырларының  ӛзінде  –  ақ 
жазықтықтағы  тригонометрия  элементтері  бір  жүйеге  қалыптасып  және 
математиканың білімдер жиынтығында белгілі орын алған екен. 
 
Иранның Тус қаласынан шыққан кӛрнекті ғалым Насыр ад – Дин ат -  Туси 
(1201-1274)  ең  алғаш  рет  тригонометрияның  астрономиядан  бӛлініп  жеке  пән 
болуына  жол  ашты.  Оның  "  Кітаб  аш  –  шакл    ал  -  кита"  (толық  тӛртбұрыштар 
туралы трактат) арнайы тригонометрияға арналған дүниедегі ең алғашқы шығарма 
болып  есептеледі.  Бұл  еңбекке  оған  дейінгі  тригонометриядан  белгілі  нәтижелер 
мен  ӛзінің  зерттеулері  кіреді.  Оның    тригонометриядан  жазған  еңбегі  европа 
математиктеріне,  оның  ішінде  Региомонтанға  (1436-1476)  қатты  әсер  етті. 
Региомонтанның  XV  ғасырдағы  Европадағы  рӛлі  Насыр  ад  –  Диннің  екі  жүз  жыл 
бұрынғы  араб  елдеріндегі  рӛлімен  бірдей  болды.  Региомонтанның  "Үшбұрышты 
барлық  түрлері  туралы  бес  кітап"  атты    еңбегі  тригонометрияның  әрі  қарай 
дамуына  үлкен  әсер  етті.  Ол  синустар  таблицасын 
1

 минуттық  жиілікпен  7-ші 
орындағы  цифрға  дейінгі  дәлдікпен  құрды.  Оған  дейін  XV  ғасырдың  басында 
Джемшид  ибн  Масуд  ал  –  Каши  (Самарқандтағы  Ұлықбек  құрған  ғылыми 
орталықтың қызметкері)  тригонометриялық таблицаны 
1

 минуттық  жиілікпен ӛте 
үлкен  дәлдікпен  есептеген.  Оның  бұл  таблицасы  250  жыл  бойы  ӛзгеріссіз 
қолданылды.  Бұдан  кейінгі  тригононметриялық  функциялардың  толық  кестесін 
Коперниктің  шәкірті  неміс  ғалымы  Ретикус  (1551ж)  берді.  Тригонометриямен 
Коперник, Виет, Кеплер де  айналысты. Мысалы, Виет қос бұрыштың синусы  мен 
косинусы  туралы  белгілі  формулаларды  пайдаланып,  аргументтері  еселі 
функцияларды ӛрнектеді, тӛмендегідей: 








2
cos
1
cos
cos
2
cos




m
m
m
 
 








2
sin
1
sin
cos
2
sin




m
m
m
 
 








2
sin
1
cos
sin
2
sin




m
m
m
 
 








2
cos
1
sin
sin
2
cos





m
m
m
 
рекуррентті формулаларды қорытып шығарды. Ол 

 - ді мына түрде ӛрнектеді: 
 
...
2
90
cos
...
8
90
cos
4
90
cos
2
90
cos
2
0
0
0
0




n

 
 
Одан 
кейін 
 
XYI-XYII 
ғ. 
математиктердің 
еңбектерінде 

 










sec
,
,
2
cos
,
2
sin
,
2
tg
tg
 формулалары 
пайда 
болды. 
Ал 
тригонометриялық  функциялардың  графиктерімен  П.Роберваль,  Д.Валлис, 
Д.Грегори, И.Барроу, Р.Котес айналысты. 
 
Жоғарыда  кӛрсетілгендей,  тригонометриялық  функциялардың  атаулары  
XYI  ғ.  енгізілгенімен,  оларды  символдар  арқылы  ӛрнектеу  XYII  ғ.  екінші 
жартысында  пайда  болып,  тригонометрияны  күрделі  сӛйлемдермен  беруден 
алгебралық формада жазуға ӛту кӛп жылдар бойы қалыптасты. Мысалы, ағылшын 
математигі Р.Норвуд синусты – s деп, тангенсті  - t, секансты – sek, косинусты - cs 
не  sc,котангенсты  -  ct    не  tс  деп  белгілейді.  Ал  Д.Валлис  мына  белгілеулерді:  S  – 
синус,  Σ  –  косинус,  T  –  тангенс,  τ  –  котангенс  қолданды.  Қазір  біз жазып  жүрген 
мына 


2
2
cos
sin


R
   теңдікті Валлис мына түрде жазған: 
2
2
:



R
V
S
 
 
Тригонометрия  XYII  ғасырда  жаңа  аналитикалық  бағытта  дамып,  ол  бірте-
бірте  математикалық  анализдің  бір  тарауы  болып  қалыптаса  бастады.  Ол 
механикада,  физикада  және  техникада,  тербелісті  қозғалыстарды  зерттеуге, 
периодты  процестерді  ӛрнектеуге  кеңінен  қолданыс  тапты.  Тригонометриялық 
функциялардың  аналитикалық  теориясының  дамуына  И.Ньютон  мен  Л.Эйлердің 
еңбектері  әсер  етті.  Осы  теорияның  негізін  қалаушы  Л.Эйлер  ӛзіне  дейінгі 

296 
 
еңбектерді  бір  жүйеге  келтірді  және  ӛзі  де  кӛптеген  еңбектер  жазды.  Бұларды 
жүйелі  түрде  "  Введение  в  анализ  бесконечных"    (1748  ж.,    орыс  тілінде  1961  ж.)  
деген  еңбегінің  I  томында  жазды.  Ол  sinx,  cosx,  tgx,  ctgx  символдарды,  a,  b  ,c 
үшбұрыштардың қабырғаларын,  A, B, С  бұрыштарын белгілеуді енгізді. Сонымен 
қатар  ол  ең  алғаш  рет  тригонометриялық  функциялардың  таңбалары  туралы 
сұрақты  шешті,  келтіру  формулаларын  дәлелдеп,  басқа  да  қасиеттерін  толық 
зерттеді  және  аргументтің  теріс  мәндерін  қарастыруды  енгізді.  Жоғарыда  аталған 
еңбектің " Дӛңгелектен алынатын трансцендентті шамалар " деген тарауында Эйлер 
ӛзіне дейінгі математиктердің қолданған бүтін синусын R=1 деп алып, есептеулер 
мен жазуларды шағындап жазуға келтірді. Ол келтіру формулаларын пайдаланып, 
тригонометриялық  функциялардың  барлық  ширектегі  таңбаларын  анықтайды. 
Қосынды 
мен 
айырманың 
синустары 
мен 
косинустарынан 
мына 
z
y
z
y
z
y
sin
sin
,
cos
cos
,
cos
sin
 ӛрнектердіқосынды 
мен 
айырымы 
арқылы 
ӛрнектейді.  Ал  бұлардан 
2
sin
,
2
cos


-  лерді 

cos
 арқылы  ӛрнектеуін  алады,  сол 
сияқты  Муавр  формуласын  қорытып  шығарады.  Муавр  формуласының  кӛмегімен 
мына 



 



n
n
n
z
i
z
z
i
z
nz
z
i
z
conz
sin
cos
sin
cos
2
1
sin
;
sin
cos
2
1






  
формулаларды  қорытып,  бұлардан  шекке  кӛшу  арқылы 

cos
 мен 

sin
 дәрежелік 
қатарға  жіктелістерін  алған.  Мұндағы 
2


n
m

 мәнін  қойып, 

sin
 мен 

cos
 
таблицаларын  ӛте  жоғары  дәлдікпен  есептеген.  Бұл  алынған  нәтижелерден 
0
90
-қа 
дейінгі синус пен косинустың мәндері белгілі болса, онда қосынды мен айырымның 
синусы  мен  косинусының  формулаларын  пайдаланып,  үлкен  бұрыштардың 
синустары  мен  косинустарын  табуға  болатынын  кӛрсетеді.  Ал    тангенс    пен 
котангенс үшін  
0
30
-қа дейінгі белгілі мәндерінен 
0
60
-қа дейінгі мәндерін табады. 
 
Осы  тарауда  белгілі  Эйлер  формулалары  алынған.  Осы  формулалардан 
жорымал  кӛрсеткішті  шамаларды  синус  пен  косинус  арқылы  ӛрнектейді.  Осы 
тарауда ол  
arctgt
- тың жіктелісін алған және t=1 жағдайында  
...
7
1
5
1
3
1
1
4






қатар  түрінде  ӛрнектеген.  Бұл  қатарды  алғаш  рет    Лейбниц  шеңбер  ұзындығын 
ӛрнектеуге қолданған. 
 
Эйлер  бұл  еңбегінде  аргументтері  арифметикалық  прогрессия  құрайтын 
синустар  мен  косинустардың  қосындыларын  есептейді.  Тригонометриялық 
функцияларды  шексіз  кӛбейтінділер  түрінде  ӛрнектеп,  олардан  мына 
...,
23
24
19
18
17
18
13
12
11
12
7
6
5
6
2
3
2









     
...
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
...
18
18
14
14
10
10
6
6
2
2
2



















 
сандарды жоғары дәлдікпен есептеп тапқан. 
 
Сонымен,  Эйлерге  дейінгі  тригонометриялық  функциялар  геометриямен 
байланысты  болса,  ол  тек  аналитикалық  жолмен  олардың  барлық  қасиеттерін 
сипаттап  берген.  Оған  дейін  тригонометриялық  функциялардың  аргументтері 

-
ден асатын жағдайы сирек қарастырылса, ал Эйлер кез келген аргументтің мәндерін 
қарастырған.  Ол  осы  зерттеулерінде  бірде-бір  рет  сызба  қолданбаған,  бұл  туралы 
ол:  "  Здесь  все  изложение  ограничено  пределами  чистого  анализа,  так  что  для 
изложения всех правил этого исчесления не понадобилось ни одного чертежа" деп 
жазады. 

297 
 
 
Қазіргі замандағы оқулықтарда берілген тригонометрия теориясы сол Эйлер 
берген түрде сақталған. 
 
Бұл  теорияның  әрі  қарай  ӛркендеуінде  Н.  И.  Лобачевский  және  т.б. 
ғалымдар үлес қосты. 
 

жүктеу/скачать 4,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: