Сборник материалов Международной научно-образовательной конференции

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 

Мукашева Шынар Сабитовна 

№51 гимназия, 

математика пәні мұғалімі, 

Ақтөбе қаласы, Қазақстан 

 

Түйін 

Бұл  мақалада  егер 



  квадрат  иррационал  сан  болса,  онда 



-ның  шексіз  тізбек 

бөлшекке  жіктелуінде  лайықты  бөлшектердің  алымдары  және  бөлімдері 



-шы  ретті 

рекуррентті тізбектер құрайтындығы дәлелденген. 

Аннотация 

В  работе  доказана  теорема:  если 



  квадратичная  иррациональность  в  разложении 

которой    в  бесконечную  периодическую  цепную  дробь  длина  периода  равна  двум,  то 

последовательности 

знаменателей 

и 

числителей 

являются 

рекуррентными 

последовательностями четвертого порядка.  

Кез келген 



 иррационал саны,  

...

1

...

1

1

2

1

0











n

a

a

a

a

 

бір ғана әдіспен шексіз тізбек бөлшекке жіктелетіндігі белгілі. Мұнда 

,...

2

,

1

,

,

0







i

N

a

Z

a

i

 

Анықтама.  Егер 



  нақты  иррационал  саны  бүтін  коэффициентті  квадрат 

көпмүшеліктің түбірі болса, онда 



 саны квадрат иррационал сан деп аталады. [1] 

Теорема (Эйлер-Лагранж). Кез келген квадрат иррационал сан шексіз периодты тізбек 

бөлшекке  жіктеледі.  Және  керісінше:  кез  келген  шексіз  периодты  тізбек  бөлшек  квадрат 

иррационал санға тең болады.[2] 

Теорема. Егер 



 квадрат иррационал сан болса, онда 



-ның шексіз тізбек бөлшекке 

жіктелуінде  лайықты  бөлшектердің  алымдары  және  бөлімдері 



-шы  ретті  рекуррентті 

тізбектер құрайды. Мұнда 



 



-ның шексіз тізбек бөлшегінің периоды. [1] 

Теореманың жалпы дәлелдемесі 

2





 болғандағы жағдайға ұқсайтындықтан тек осы 

жағдаймен шектелеміз. 

Теореманың дәлелдемесі. (

2





)



 квадраттық иррационал сан болсын және  

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

...

1

1

1

1

1

...

1

1

2

1

0





















b

a

b

a

b

b

b

b

k



 

деп аламыз. 

;

1

0

0

0

b

Q

P



 

;

1

1

0

1

1

1

b

b

b

Q

P





… 

 

,

1

,

0

0

0





Q

b

P

   

,...,

,...,

1

1

1

0

1

1

b

Q

b

b

P







 

,

,

2

1

2

1

















k

k

k

k

k

k

k

k

Q

Q

b

Q

P

P

b

P

,

,

2

1

1

1

















k

k

k

k

k

k

Q

aQ

Q

P

aP

P

  

,...

,...

1

2

1

2

k

k

k

k

k

k

Q

bQ

Q

P

bP

P

















 

 

,...

,

1

,

1





k

k

k

Q

Q

Q

 тізбегінің рекуррентті екендігін дәлелдейміз. Ыңғайлы болғандықтан 

'

,...,

'

,

'

,

'

1

2

1

1

0

1

n

k

n

k

k

k

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

















  белгілеуін  енгіземіз.  Теореманы  дәлелдеу  үшін 

,...

'

,...,

'

,

'

1

0

n

Q

Q

Q

 тізбегінің тудырушы функциясын қарастырамыз, яғни  

 

 

...

'

...

'

'

'

2

2

1

0













n

n

x

Q

x

Q

x

Q

Q

x

f

 

Мұнда  

                                      

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

3

4

5

2

3

4

1

2

3

0

1

2

Q

bQ

Q

Q

aQ

Q

Q

bQ

Q

Q

aQ

Q

















                                                               (1) 

 

 

 

x

f

x

f

x

f

1

0





 қосындысы ретінде жазамыз [3]. Мұнда  

 

 

...

'

'

'

...

'

'

'

5

5

3

3

1

1

4

4

2

2

0

0

















x

Q

x

Q

Q

x

f

x

Q

x

Q

Q

x

f

 

Енді осы функцияларды түрлендіреміз: 

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 





 

 

.

'

'

'

'

0

2

1

0

1

2

2

2

2

'

1

2

1

2

1

2

'

0

1

2

2

2

'

1

2

1

2

'

0

2

1

2

2

'

1

2

'

0

1

2

2

'

'

0

0

x

f

x

x

axf

Q

x

Q

x

x

Q

ax

Q

x

Q

x

aQ

Q

x

Q

aQ

Q

x

Q

Q

x

f

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n



















































































 

Осы секілді  

 





 





 

.

'

'

'

'

'

...

'

'

'

1

2

0

0

1

1

1

2

1

2

'

1

1

2

2

'

1

1

2

1

1

2

'

2

'

1

1

1

2

1

2

'

1

5

5

3

3

1

1

x

f

x

Q

x

f

bx

x

Q

x

Q

x

bQ

x

Q

x

Q

bQ

x

Q

x

Q

x

Q

x

Q

x

Q

x

Q

x

f

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n









































































 

Осы  екі  теңдіктен 

 

x

f

0

  және 

 

x

f

1

  функциялары  үшін  мынадай  теңдеулерсистемасына 

келеміз 





 

 

 





 

























x

Q

bxQ

x

f

x

x

bxf

Q

x

axf

x

f

x

'

'

1

'

1

1

0

1

2

0

0

1

0

2

 

Бұл системаны 

 

x

f

0

, 

 

x

f

1

 белгісіздері бойынша Крамер ережесімен шешеміз.[1] 





.

1

2

1

2

1

1

2

4

2

2

4

2

2

























x

ab

x

abx

x

x

x

bx

ax

x

 













.

1

'

1

'

'

'

1

'

'

'

'

1

'

0

2

2

0

2

1

0

0

2

1

0

0

0

Q

bQ

ax

x

Q

x

x

Q

bQ

ax

Q

x

x

Q

bxQ

ax

Q





























 













.

'

'

'

'

1

'

'

'

1

0

'

1

'

0

3

1

0

0

2

1

0

0

2

1

bx

Q

Q

Q

b

x

x

x

Q

bQ

bx

Q

x

x

Q

bxQ

bx

Q

x



























 

Олай болса,  

 

;

0

0







x

f

 

 







1

1

x

f

 

және  

 

 

 

Рекуррен

тті 

тізбектердің 

жалпы  теориясы 

 

 

 







 

 















0

1

0

1

2

2

'

'

3

'

'

0

0

1

0

1

0

'

'

3

'

'

'

2

0

1

0

0

1

1

0

4

2

1

'

1

'

'

'

2

1

f x

f

x

f x

Q

x

ax

bQ

Q

x

x b Q

Q

Q bx

Q

Q bx

Q

abQ

aQ

x

bQ x Q

x

ab

x



























 







































ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

 

ХХІ ғасырдағы білім және ғылымның өзекті мәселелері /Актуальные проблемы образования и науки в ХХІ веке 

 

 

бойынша 

 

x

f

-тің  коэффициенттер  тізбегі  төртінші  ретті  рекурренттік  тізбек 

құ

райды. Ол тізбек 



 санының лайықты бөлшектерінің бөлімдерінің тізбегі. Дәл осы секілді 

алымдар тізбегі де 4-ретті рекурренттік тізбек болатындығын дәлелдеуге болады. 

 

 

Ә

дебиеттер тізімі 

1.

 

Л.Эйлер.  Введение в анализ бесконечных. Том І. Издание второе. Государственное 

издательство физико-математической литературы. М.,1961 

2.

 

Д.  Пойа.  Математика  и  Правдоподобные  рассуждение,  изд.  иностранной 

литературы, М.1957. 

3.

 

А.И.Маркушевич.  Возвратные  последовательности.  Популярные  лекции  по 

математике.  Издательство  «Наука».  Главная  редакция  физико-математической 

литературы, М.,1975 

4.

 

А.Кофман.  Введение  в  прикладную  комбинаторику.  Издательство  «Наука». 

Главная редакция физико-математической литературы, М.,1975 

5.

 

Н.Н.  Воробьев.  Числа  Фибоначчи,  изд.  «Наука»,  главная  редакция  физико-

математической литературы, М.,1969 

6.

 

Г.Полиа,  Г.Сеге,  Задачи  и  теоремы  из  анализа,  изд.,  «Наука»,  главная  редакция 

физико-математической литературы, М.1978 

 

ЕКІ ЖӘНЕ ҮШ ТАҢБАЛЫ  БІРДЕЙ ЖӘНЕ ДЕ АЙНАЛЫҚ ТҮРДЕГІ 

САНДАРДЫҢ АЙЫРМАСЫНЫҢ ФОРМУЛАСЫ 

 

Орын Миржан Досымұлы 

№8 орта мектебі, 

математика пәні мұғалімі, 

Ақтөбе қаласы, Қазақстан 

 

Түйін 

Бұл  ғылыми  мақалада  екі  және  үш  таңбалы  бірдей  және  де  айналық 

түрдегі  сандардың  формулалары  қорытылған.  Олардың  орындалуы  үшін 

шарттар көрсетілген. Сонымен қатар кестеде түрінде жүйеленген. 

жүктеу/скачать 6,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: