Тақырып: Шредингер теңдеуі. Шредингердің стационарлық теңдеуі. Ықтималдықтың ағынының тығыздығы. Кванттық механикадағы үздіксіздік теңдеуі

Классикалық механикада Ньютонның теңдеуі және электродинамикада Максвелл теңдеулері қандай рөл атқарса, кванттық механикада Шредингер теңдеуінің рөлі сондай болады. Ньютон және Максвелл теңдеулері сияқты, Шредингер теңдеуі қорытылмайды. Шредингер теңдеуі постулат түрінде қабылданады, яғни белгілі тәжірибелердің қорытындысы болып саналады.

Бірақ, Шредингер теңдеуін себептілік принципінің көмегімен формальды түрде алуға болады. Бұл әдістің тарихи және әдіснамалық маңызы бар. Себептілік принципі бойынша бастапқы уақыттағы толқындық функция кейінгі уақыттағы толқындық функциямен байланысты болады. Осы байланысты қалай табуға болады? Оны табу үшін функцияны уақыт мезетінде қарастырайық, яғни

-ді қатарға жіктейміз:

Себептілік принципі бойынша функциядан анықталу керек:

мұндағы - ны алу үшін - ге қатысты жасалатын амал. Біздің жағдайда кез келген түрде алынған, сондықтан

, (11.1)

мұндағы - уақыт бойынша ығысу операторы.

Кванттық механикадағы анықтама бойынша, оператор - бір толқындық функцияны басқа толқындық функцияға ауыстыратын кез келген математикалық символ. Сондықтан (11.1) теңдеудегі оператор постулат түрінде қабылдану керек. Суперпозиция принципі бойынша сызықтық түрде болу керек. Бұл операторда уақыт бойынша алынған туындылар мен интегралдар болмау керек, ал тек параметр ретінде болу керек. Егер керісінше жорамалдасақ, онда функция жүйе күйін сипаттайды деген кванттық механиканың негізгі қағидасы бұзылады. (11.1) теңдеудің көмегімен бастапқы функция арқылы функциясын табуға болады, осыған сәйкес уақыттағы әр түрлі өлшеулер нәтижелерінің ықтималдығын болжауға болады.

(11.1) теңдеудегі оператордың түрін анықтау керек. Оны табу үшін белгілі бір импульске ие болатын еркін қозғалысты қарастыру қажет. Бұл қозғалыстың толқындық функциясы де Бройль толқыны болады:

(11.2)
мұндағы толқын амплитудасы. Осы толқындық функциядан және туындыларды табайық:

Бұл есептеуде еркін бөлшектерге арналған

қатысын пайдаландық. Жоғарыдағы екі қатыстан (11.2) функцияның мына теңдеуді қанағаттандыратынын байқаймыз:

.
Бұл теңдеуді мына түрде қайта жазуға болады

. (11.4)

Сонымен (11.1) және (11.3) теңдеулерді салыстыра отырып, еркін қозғалысқа арналған уақыт бойынша ығысу операторын табамыз:

. (11.5)

Кванттық механикада бұл нәтижені жалпы түрде жазуға болады, ол үшін ығысу операторын Гамильтон функциясының операторы ретінде қарастыру керек

(11.6)

. (11.7)

Бұл теңдеуді 1926 жылы басқа әдіспен Шредингер алған, ол Шредингер теңдеуі немесе Шредингердің толқындық теңдеуі деп аталынады. Шредингер теңдеуінің ерекшелігі, ол уақыт бойынша бірінші ретті теңдеу және оның құрамына комплекс бірлік кіреді, сол себепті оның периодты шешімдері болады. Сондықтан да, Шредингер теңдеуі толқындық теңдеу болады.

(11.7) теңдеу бойынша толқындық функциядан уақыт бойынша тек бірінші ретті туындысы ғана болады, яғни бұл теңдеудің көмегімен бастапқы уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәні белгілі болғанда, кейінгі уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәнін табуға болады. Осы жағдай Шредингер теңдеуінің себептілік принципін қанағаттандыратынын көрсетеді.

Шредингер теңдеуінің бірнеше түрлері болады. Егер (11.6) өрнектегі потенциалдық энергия болса, онда еркін қозғалыс болады. Егер болса, онда тұрақты күй болады. Егер болса, онда бұл айнымалы өрістегі қозғалыс (11.7) теңдеумен қарастырылады. Егер потенциалдық энергия - радиус – вектордың модуліне тәуелді болса, яғни , онда біз центрлі – симметриялы өрістегі есепті аламыз, мұндағы .

Cыртқы айнымалы өріс болмаған жағдайда, гамильтониан уақытқа тәуелді болмайды, яғни , ал . Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі мына түрде болады:

. (11.8)

Бұл теңдеуде айнымалыларды бөлу әдісін пайдалануға болады:

. (11.9)

(11.9) өрнекті (11.8) теңдеуге қояйық:

Бұл теңдеуді басқаша түрге келтірейік

. (11.10)

(11.10) теңдеудің сол жағы уақытқа ғана тәуелді болса, оң жағы координатаға ғана тәуелді. Бұл теңдік сол жағында да және оң жағында да кейбір тұрақты шамалар тең болса, мүмкін болады. Ондай тұрақты шамалар айнымалыларды бөлудің тұрақтылары деп аталынады. Оларды

әрпімен белгілейік. Бұндайда (11.10) теңдеу екі тәуелсіз теңдеулерге бөлінеді

(11.11)

. (11.12)

(11.11) теңдеу толық энергия операторының өзіндік функцияларына арналған теңдеу, оларды деп, ал өзіндік мәндерін деп белгілеуге болады. (11.12) теңдеудің шешімі мына түрде болады

(11.13)
(11.13) функциясын есепке ала отырып, (11.9) шешімді табамыз:

. (11.14)
Энергияның анықталған мәнімен сипатталатын (11.14) күйді тұрақты күй деп атайды, ал (11.11) теңдеуді Шредингердің тұрақты күйлеріне арналған теңдеуі деп атайды. (11.8) теңдеу сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі үзікті спектр үшін тұрақты күйлердің суперпозициясы болады

, (11.15)

мұндағы - тұрақты амплитудалар. Егер оператордың өзіндік мәндері үзіліссіз спектр құрса, онда

. (11.16)

Алдыңғы тақырыптарда қарастырылған мәліметтер бойынша, толқындық функция жалпы жағдайда кеңістік пен уақытта өзгеріске ұшырайды. Бірақ, бұл өзгеріс қалай болса солай болмайды. Бұл жағдайда белгілі бір сақталу заңы орындалуы керек. Біздің мақсатымыз – осы заңды табу. Ол үшін, классикалық электрдинамиканы еске түсірейік. Электрдинамикада үзіліссіздік теңдеуі бар:

, (12.1)

мұндағы - заряд тығыздығы, - ток тығыздығы. Бұл теңдеу зарядтың сақталу заңын береді. (12.1) теңдеуді кванттық механикада Шредингер теңдеуінің көмегімен алуға болады. Басқаша айтқанда, Шредингер теңдеуінің шешімі (12.1) теңдеуіне ұқсас теңдеуді қанағаттандыратын көрсету керек. Ол үшін Шредингер теңдеуін және оның комплекс түйіндес теңдеуін жазайық.

,

.

Бірінші теңдеуді , екінші теңдеуді функциясына көбейтіп, бір бірінен шегерейік

Бұл теңдікті басқаша түрде қайтадан жазуға болады

, (12.2)

мұндағы - ықтималдық тығыздығы. Енді арқылы мына векторды белгілесек

, (12.3)

онда (12.2) теңдеу былай жазылады

. (12.4)

(12.3) өрнекпен сипатталатын векторы ықтималдық ағыны тығыздығының векторы деп аталады. (12.4) үзіліссіздік теңдеуіндегі бөлшектердің орта тығыздығы ретінде де қарастырылады. Бұл жағдайда белгілі бір бетті уақыт бірлігінде қиып өтетін бөлшектердің орта ағыны болып саналады, ал (12.4) теңдеуді бөлшектер санының сақталу заңы деп атайды.

Егер мен шамаларды бөлшектің заряды -ге көбейтсек, электр тогы мен электр зарядының орта тығыздығын аламыз

, .
Үзіліссіздік теңдеуі мұндайда кванттық механикадағы зарядтың сақталу заңына айналады

. (12.5)
Егер қарастыратын толқындық функция нақты болса, яғни , онда ток тығыздығы әрқашан да нөлге тең болады.

Енді мен шамаларды бөлшектің массасы -ге көбейтейік

. (12.6)

Өзімізге белгілі, классикалық механикада Пуассон жақшалары үлкен рөл атқарады. Ол жақшалардың көмегімен классикалық механикадағы сақталу заңдарын алуға болады. Енді кванттық механикадағы Пуассон жақшаларын алайық.

Кванттық механикада операторлардың тек орта мәндері қарастырылады. Анықтама бойынша кез келген оператордың орта мәні

интегралмен есептелінеді. Бұл шама уақытқа екі себеппен байланысты:

а) күйді сипаттайтын толқындық функция Шредингер теңдеуіне сәйкес уақыт бойынша өзгереді; ә) операторы уақытқа айқын тәуелді болады. Осы орта мәннің уақыт бойынша алынған толық туындысын алайық, яғни орта мәннің өзгерісінің жылдамдығын табайық:
. (13.1)
Мұндағы және дербес туындыларды Шредингер теңдеуінен тауып, орнына қояйық:
, ; , ;
. (13.2)
Операторлардың өзіне түйіндестік шартын пайдалана отырып, (13.2) өрнектегі үшінші интегралды былай жазамыз
.
Сонымен
. (13.3)
Мұндағы

(13.4)
өрнегі Пуассонның кванттық жақшалары деп аталынады.

Егер оператор уақытқа айқын тәуелді болмаса, онда . Бұл жағдайда (13.3) теңдеу ықшамдалады

. (13.5)

Мысал ретінде, потенциалдық өрісте қозғалатын бөлшектің толық энергиясы сақталу керек, Расында да

осыдан

.

Егер, Шредингердің стационар теңдеуін еске түсірсек

Сонымен, біз кванттық механикадағы энергияның сақталу заңын, яғни қозғалыс интегралын алдық.

Пуассонның кванттық жақшаларын пайдалана отырып, классикалық қозғалыс теңдеулерінің кванттық баламаларын табуға болады. Ол үшін

және шамалардың уақытқа айқын тәуелсіз екендігін біле отырып, (13.5) теңдеуді пайдаланамыз.

1.

(8.9) қатыстарды пайдалана отырып,

Операторларды көбейту ережесін пайдалана отырып,

табамыз. Сонымен

. (13.7)

Классикалық механикада сақталу заңдарының кеңістік-уақыт симметриясының қасиеттерімен тығыз байланысты екенін қарастырғанбыз. Кванттық механикада да импульстің, импульс моментінің және энергияның сақталу заңдары кеңістіктің біртектілік, изотроптық қасиеттерімен және уақыттың біртектілік қасиеттерімен байланысты болады.

Қозғалыс интегралдарының бар болуы және оларға сәйкес келетін сақталу заңдарының, квантмеханикалық жүйелердің симметриясының қасиеттерімен тығыз байланысты екенін, яғни Гамильтон операторының координаталар түрленуіне қатысты инварианттылығын көрсетеміз. Басқаша айтқанда, егер операторының бір оператормен коммутаторы нөлге тең болса, ол квантмеханикалық жүйеде симметрия бар болатындығын көрсетеді.

Импульстің сақталуы кеңістіктің біртектілігімен байланысты екенін көрсетейік. Егер, тұйық жүйені параллель тасымалдасақ, онда оның қасиеттері өзгермейді. Бұл ерекшелік-кеңістіктің біртектілігі деп аталынады. Кванттық механикада жүйенің қасиеттері Гамильтон операторымен анықталғандықтан, параллель тасымалдауда ол оператор өзгермейді. Қарастырып отырған жүйемізді өсінің бойымен қашықтыққа ығыстырайық, мұнда - ақырсыз кішкене ығысу. Бұл жағдайда ескі және жаңа координаталар мына қатыспен байланысты болады

Жаңа координаталарға тәуелді толқындық функция мен ескі координаталарға тәуелді толқындық функцияның арасындағы байланысты табайық, ол үшін функцияны қатарға жіктеп, оның бірінші мүшесімен шектелейік

.

Бұл өрнектегі операторын ақырсыз кішкене ығысу операторы немесе ығысу операторы деп атайды. Сонымен

мұндағы ығысу операторының функциясына жасаған әрекеті координатаның шамаға ығысуына баламалы болады.

Сонымен қатар Гамильтон операторының кейбір түрленуге қатысты инварианттылығын түсіндіре кетейік. Егер кез келген оператордың функцияға әрекеті оператордың функциясына әрекетіне тепе-тең болса, онда операторы инвариантты болады, яғни

.

Басқаша айтқанда, Гамильтон операторының операторы іске асыратын түрлендіруіне қатысты инварианттылығы, осы екі оператордың коммутациялаушы болуына келтіреді

Кеңістіктің біртектілігіне байланысты ығысу операторы мен Гамильтон операторы (14.2) қатысты қанағаттандыру керек. операторы импульс операторымен байланысты

сондықтан

. (14.3)

Импульс операторы уақытқа айқын тәуелді болмайды, сондықтан (13.5) теңдеу бойынша импульстің сақталу заңын аламыз. (14.3) қатыстың орындалуы жүйенің өсі бойымен ығысқанда симметриялы екенін көрсетеді.

Импульс моментінің сақталуы кеңістіктің изотроптылығымен байланысты екенін көрсетейік. Егер тұйық жүйені өсті айналдыра ақырсыз кішкене бұрышқа бұрсақ, онда жүйенің гамильтонианы өзгермейді. Бұл ерекшелік математикалық түрде былай көрсетіледі

. (14.4)

Осы бұру операторын табайық. Ол үшін ескі және жаңа координаталардың арасындағы байланыстарды берейік

Жүйені бұрышқа бұрғанда толқындық функция функцияға өзгереді

.

. (14.5)

Кеңістіктің изотроптылығына байланысты, операторы (14.4) қатысты қанағаттандыру керек. Екінші жағынан, бұру операторын (8.7) өрнектер бойынша импульс моменті операторы арқылы көрсетуге болады

. (14.6)

Нәтижесінде Гамильтон операторы импульс моменті операторымен коммутациялаушы болады, сондықтан (13.5) теңдеуі бойынша импульс моментінің сақталу заңын аламыз. операторының оператормен коммутативтігі жүйенің өсті айналдыра бұрышқа бұруына қатысты симметриялы екенін байқатады.

Енді энергияның сақталу заңының уақыттың біртектілігімен байланыстылығын көрсетейік. Ол үшін уақытты - ға ығыстыратын трансляция операторын енгізейік. Ескі және жаңа координаталардың арасындағы байланыс

.

Осыған сәйкес

Бұл өрнектен трансляция операторын табамыз

. (14.7)

Математикалық өрнек бойынша уақыттың біртектілігін коммутация шартымен көрсетуге болады

. (14.8)

Кей жағдайда мынадай энергия операторын енгізуге болады

. (14.9)

Трансляция операторын (14.9) шартты түрде енгізген энергия операторы арқылы өрнектейміз:

.

Сонымен, Гамильтон операторы энергия операторымен, яғни өз өзімен коммутациялаушы болады. Осыдан энергияның сақталу заңын (13.5) теңдеуден аламыз. Қарастырып отырған тұйық жүйеміз, уақытқа қатысты тасымалдауда симметриялы болады.

. (14.10)

Басқаша айтқанда, координаталардың оң жүйесі координаталардың сол жүйесіне ауысады. Гамильтон операторы осы түрлендірулерге қатысты инвариантты болып қалады.

Жоғарыда қарастырған ығысу және бұру операторларын енгізген сияқты, инверсия операторын енгізейік

.

Енді осы инверсия операторының өзіндік мәнін анықтау керек, ол үшін мынадай операторлық теңдеу құрамыз:

.

Бұл заң бойынша жүйе жұп күйде болса, ол әрқашан да осы күйде қала береді. Тақ күйде орналасқан жүйе де осындай жағдайда болады. Осы қағиданы әмбебап физикалық заң деп есептеген. Бірақ 1956 жылы американдық физиктер Т.Ли, Ч.Янг және Ц.Ву әлсіз өзара әрекеттерде жұптылықтың сақталмайтындығын көрсетті. Осы әлсіз процестерде оң және теріс арасындағы симметрия бұзылады, яғни жұптылықтың сақталу заңы бұзылады.