Батыс Қазақстан облысы білім басқармасының мектепке дейінгі, жалпы орта, техникалық кәсіптік білім беру ұйымдарының облыстық оқу-әдістемелік кабинеті

Анықтама. Егер сынаулардың әрқайсысы А оқиғасы бірдей ықтималдықпен, яғни Р(А)=Р пайда болып, ықтималдығы бұл оқиғаның басқа сынауларда пайда болмауы тәуелсіз болса, онда сынаулар тәуелсіз деп аталады. Айталық, тәуелсіз сынаулар жүргізілсін. Мысалы тиынды n рет лақтырайық. Егер тиынды бір рет лақтырғандағы «е_т» пайда болуын , А оқиғасы деп алсақ, онда оның пайда болу ықтималдығы басқа сынауларда, яғни тиынның басқа лақтырғанда «е_т» пайда болу және болмауына тәуелсіз. Қобдишада 4 ақ , 5 қара щар бар.Қобдишадан тәуекелге шарлардың біреуін аламыз. Алынған шарды қайтадан қобдишаға қайта салайық. Ақ шардың щығу ықтималдығы Р(А) . Бұл ықтималдық басқа сынаулардағы ақ шардың шығу, шықпауына тәуелсіз болды. Ал А оқиғасына кері оқиғасының ықтиммалдығы .

Егер , онда болатыны түсінікті.

Тәуелсіз n-сынау жүргізілсін делік. Бір рет жүргізілген сынау кезінде, яғни n=1, А оқиғасы Р ықтималдықпен пайда болуы да мұмкін немесе пайда болмауы да мүмкін. Демек, А оқиғасына кері оқиғасы пайда болуы да мүмкін.

Егер n рет тәуелсіз сынаулар жүргізілгенде, олардың әр қайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және р-ға , ал бұл оқиғаның пайла болмауының ықтималдығы q=1-p тең болса, онда жүргізілген n сынауларда А оқиғасы m рет пайда болуының ықтималдығы

P_n(m)=

Формуласымен анықталады.

Қорытып алынған формуланы Бернулли формуласы леп аталады.

P(B)=P_n(1)+…+P_n(n) екені түсінікті. Бұл жағдайда P(B)=1-P_n(0)

Немесе

P(B)=1- (8,3)

1-мысал. Бір тәулікте пайдаланылатын электр энергиясының мөлшері белгіленген нормадан аспауының ықтималдығы р=0,75 . жақындағы 6 тәуліктің 4 тәулігінде пайдаланылған электр энергиясының мөлшері нормадан аспауының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: есептің шарты бойынша:

Р=0.75; q=1-0.75=0.25; n=4; m=4

Сондықтан

2-мысал. Нысанаға 6 рет оқ атылды. Олардың әрқайсысының нысанаға тиюінің тұрақты және ол 0,4- ке тең . осы шарттардан пайдалана отырып, нысанаға 1) бір рет; 2) 4-тен кем емес; 3) ең болмағанда бір рет оқтың тиюінің ықтималдығын табу керек.

Шешуі: 1) бернулли формуласы бойынша

2) нысанаға 4 тең кем емес оқтың тиюін С оқиғасы деп белгілейміз, сонда оқ 4,5 немесе 6 рет тиюі мүмкін.

3) Нысанаға оқтың ең болмағанда «бір рет» тиюін В оқиғасы деп белгілейміз.

Сондықтан

Жалпы жағдайда Бернулли формуласын пайдаланып мына оқиғалардың ықтималдығын анақтауға болады:

§2.7.Тапсырмалар:

1.Тәуелсіз n сынақта оқиға тұрақты ықтималдықпен пайда болады.

1.n= 1500 болғанда салыстырмалы жиіліктің p=0,4 ықтималдықтан ауытқуының абсолют шамасы 0,02-ден кем болатындығының мықтималдығыг табу керек.

2. n=1500 және p=0,4 болғанда оқиғаның пайда болуының саны мына аралықтарда жататындағының ықтималдығын табу керек.

a)570-тен 630-ға дейін;

б)600-ден 660-қа дейін;

с)620-дан 380-ге дейін;

г)580-нен 640-қа дейін;

3. n=1200, p=2/3 болғанда салыстырмалы жиіліктің ықтималдықтан (p=2/3) ауытқуының абсолют шамасының ықтималдығы 0,985-ке тең ьолуы үшін салыстырмалы жиілік қандай аралықта жатуы керек?