Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16 теңсіздігі бойынша, егер
жүктеу/скачать 34,99 Kb.
|
|
Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16) теңсіздігі бойынша, егер Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген (2.16) теңсіздігі бойынша, егер болса, онда ,
.
,
теңсіздігін және үшін кері теңсіздікті аламыз. Теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Сонымен біз Гельдердің келесі классикалық теоремасын дәлелдедік: 2-теорема. Егер болса, онда келесі теңсіздік орындалады . Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Классикалық теңсіздіктерді келесі Минковский теңсіздігімен аяқтаймыз. 3-теорема. Егер болса, онда клесі теңсіздік орындалады . (3.1) Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Дәлелдеуі. Келесі орындалатыны айқын теңдігінің оң жағындағы әрбір қосындыға Гельдер теңсіздігін және көрсеткіштерімен қолдансақ, нәтижесінде клесі теңсіздікті аламыз .
Бұл теңсіздік (3.1) теңсіздігімен пара-пар екенін көру қиын емес. Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер егер болса. Теңдік тек қана мен -ге пропорционал болғанда орындалады, немесе бұл мен пропорционал болғанда дегенмен бірдей. Кейде (3.1) теңсіздігін «үшбұрыштар теңсіздігі» деп те атайды, себебі, болғанда геометриялық тұрғыдан ол үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы қалған екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысынан аспайтынын білдіреді. Бұл жағдайда теңсіздік оң болуы міндетті емес барлық нақты сандары үшін орындалады, ал теңдік орындалуының шарты пен -тің оң пропорционалдығы, яғни кемінде біреуі нөлден өзгеше және сандары табылып, теңдігі орындалса. Жоғарыда қрастырылған теңсіздіктерді көптеген бағытта жалпылауға болады. Енді осылардың ішіндегі маңыздыларына тоқталайық. Гельдер және Минковский теңсіздіктерінің келесі жалпылауына математикалық индукцияны қолдануға болатынын айта кетейік. Гельдер теоремасының жалпыламасы. Егер және үшін және әрі болса, онда келесі теңсіздік орындалады ; (3.2) теңдік тек қана сандардың жүйесі пропорционал болса, яғни барлығы бірдей нөлге тең емес және шартын қанағаттандыратын сандары табылса. Минковский теоремасының жалпыламасы. Егер және үшін және болса, онда келесі теңсіздік орындалады . (3.3) Теңсіздіктің таңбасы кері өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана сандардың жүйесі пропорционал болғанда орындалады (жоғарыда берілген анықтама мағнасында). Бұл теңсіздіктердің еселі және ақырсыз қосындылар жағдайларына да жалпыламалары бар. Алдыңғы теңсіздіктер «-ға қатысты біртекті болғандықтан» олардың орталар үшін аналогтары бар. (3.2) теңсіздігінің сондай бір аналогы келесі теңсіздік болады .
-ға қатысты біртекті теңсіздіктердің интегралдық аналготары әр уақытта болады. Мысалға, Гельдер және Минковский теңсіздіктерін келсі түрге келтіруге болады (Коши теңсіздігі Гельдердің дискретті теңсіздігінң болғандағы дербес жағдайы; оның интегралдық аналогы Коши-Шварц теңсіздігі немесе жай Шварц теңсіздігі деп, немесе Буняковский-Шварц теңсіздігі деп аталады).
жүктеу/скачать 34,99 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|