Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
|
Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер Мазмұны
Кіріспе Өрістің математикалық теориясы §1. Скалярлық және векторлық өрістер. §2. Скалярлық өріс және скалярлық өрістің градиенті. §3. Қисық сызықты координаталар. §4. Ламе коэффициенті. §5. Қисық сызықты координаталарда өрістердің берілу градиенті. §6. Қисық сызықты координаталардағы векторлық өріске қолданылатын интегралдық және дифференциалдық операциялар. §7. Векторлық өрістің дивергенциясы. §8. Қисық сызықты координаталардағы ротор. §9. Векторлық өрістің потенциалын қалпына келтіру. §10. Гамильтон операторы. §11. Екінші ретті дифференциалдық операциялар. §12. Тензорлар. Тензорларға амалдар қолдану. Екінші рангілі тензорлар. II – бөлім Математикалық физика теңдеулері. Математикалық физика әдістері. Математикалық физика пәні. Физика өзінің тарихи дамуында біртіндеп сипаттаушы ғылымнан дәл ғылымға айналды. Табиғатта және техникада болып жататын әр түрлі құбылыстарды және процестерді сипаттау үшін физиктер кеңінен математикалық әдістерді немесе сәйкес математикалық аппаратты қолдануда. Осы мақсат үшін әрбір физикалық қасиеттің өлшемін енгізуге тура келді. Сандық әдістің дамуы зерттелетін объектінің әр түрлі нүктелеріндегі бір физикалық қасиеттің әр түрлі мәндерді қабылдайтындығын көрсетті, сондықтан математикалық тұрғыдан сипаттау үшін қарастырылып отырған объекттің барлық нүктелеріндегі сәйкес шамалардың мәндерінің жиынтығын білу қажет. Сөйтіп, физикада біртіндеп математикалық өріс ұғымы пайда болды. Өрістер скалярлық, векторлық және тензорлық болады. Бұлардың әрқайсысы өз кезегінде стационарлық немесе стационарлық емес болуы мүмкін. Стационарлық өріс кеңістіктің нүктелерінің координаталарының функциясы, ал стационарлық емес өріс төрт айнымалылардың координаталары мен уақыттың функциясы болып табылады. Физикада өрістер ұғымын енгізу өз кезінде математикада айнымалы шамаларды енгізген кезде қандай прогрессивті рөл атқарса, сондай рөл атқарды. Математикалық физиканың негізгі міндеті физикалық шамалардың скалярлық, векторлық және тензорлық өрістерін аналитикалық тұрғыдан зерттеу болып табылады. Математикалық физикада екі проблема қарастырылады: тура және кері. Тура проблема былайша қойылады. Кеңістіктің кез келген нүктесінде бізге қажетті физикалық шаманы анықтау ережесі, яғни өріс беріледі. Осы өрістің сипатын, яғни оның нүктеден нүктеге дейінгі өзгеру шапшаңдығын білу керек. Әр түрлі өрістердің дифференциалдық қасиеттерін зерттеумен өрістің математикалық теориясы айналысады. Кері проблема физикалық объектінің қандай жағдайда болатындығы белгілі болғанда, кейбір физикалық шаманы, яғни математикалық өрістің конкретті түрін табуға келіп тіреледі. Жалпы алғанда кез келген физикалық құбылыс немесе процесс қандай да болмасын физикалық шаманың кеңістіктегі және белгілі бір уақыт ішіндегі өзгерісін кескіндейді. Сондықтан математикалық өріс төрт тәуелсіз айнымалы шамалармен сипатталады. Бірнеше айнымалыларға тәуелді ізделінді функцияны табу дифференциалдық теңдеуді шешуге әкеліп тіреледі. Мұндай теңдеулерді құру әдісімен және ең бастысы ол теңдеулерді интегралдаумен математикалық физиканың екінші белгісі – дербес туындыны дифференциалдық теңдеулер теориясы айналысады (шұғылданады). Өрістер теориясы мен дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясының жиынтығы классикалық математикалық физиканы құрайды. Бірінші бөлім. Өрістің математикалық теориясы. Өрістің математикалық теориясы (векторлық анализ) қазіргі замандағы физикада, серпімділік теориясында, аэрогидродинамика мен электротехникада т.б ғылымның көптеген салаларында кеңінен қолданылады. §1. Скалярлық және векторлық өрістер. Ғылым мен техникада екі түрлі шамалар, скалярлық шамалар мен векторлық шамалар зерттеледі. Өзінің тек сандық мәнімен толық сипатталатын физикалық шамалар скалярлық шамалар деп аталады. Мысалы: температура, көлем, масса, тығыздық тағы сол сияқтылар. Сандық мәндерімен және бағытымен сипатталатын шаманы вектор деп атайды. Сол себепті вектор кеңістіктің белгілі бір нүктесінен басталатын бағытталған кесінді түрінде кескінделеді. Мысалы: жылдамдық, үдеу, күш т.б. Егер облысынан, әрбір нүктесінде сандық функцияанық болса, онда облысында скалярлық өріс берілген делінеді, ал егер облысында векторлық функция анықталған болса, онда сол облыста векторлық өріс берілген делінеді. Скалярлық өріс скаляр функциясы немесе айнымалы нүктенің радиус-векторының функциясы түрінде белгіленеді: ал векторлық өріс былай белгіленеді: . Стационарлық және стационарлық емес өрістер. Егер өрісті сипаттаушы шама уақыт өзгерісімен байланысты өзгеріп отырса, оны стационар емес өріс, ал егер нүкте қозғалысының жылдамдығы уақытқа тәуелсіз, тек қозғалушы нүктенің орнына тәуелді болса, онда стационар деп аталады. Біз әрі қарай тек қана стационар өрістерді қарастыратын боламыз. Стационар өрістер былай белгіленеді: немесе т.с.с. Мұнда – кеңістіктің айнымалы нүктесі, – сан (скалярлық өрістің нүктесіндегі мәні). Векторлық өрісті былай белгілейміз: , мұнда – айнымалы нүкте, ал– вектор (векторлық өрістің – нүктедегі мәні). Енді стационар өріс аналитикалық түрде қалай беріледі екен, соған тоқталайық. Егер ол скалярлық өріс болса, онда үш айнымалы функция түрінде беріледі: . (1) Мұндағы өрістері нүктесініңі декарт координаталары болып табылады. Шынында, мұнда функциясының анықталу аймағының әрбір нүктесіне айнымалы шаманың белгілі сандық мәні сәйкес келеді, ал бұл осы аймақта скалярлық өрістің берілгенін білдіреді. Егер өріс векторлық өріс болатын болса, онда оның берілуі үшін айнымалы вектордың координаталар өстерінендегі үш проекциясын білуіміз қажет, ал бұл проекциялар кеңістіктегі нүктенің орнына байланысты болғандықтан, векторлық өріс мынадай теңдік түрінде берілуі мүмкін: (2)
Өрістердің бұл жалпы түрлерінен басқа арнаулы түрлері де болады. Олар: жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|