Еселі интегралдардың Қолданулары. ҚИсық сызықты интегралдар
Үш еселі интегралдың қолданылулары
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
| 8. Үш еселі интегралдың қолданылулары
облысында жататын дененің көлемі келесі формула бойынша есептеледі: . Егер дененің тығыздығы айнымалы болса, яғни , онда облысында жататын дененің массасы келесі формула бойынша есептеледі: . Дененің ауырлық центрінің координаталары мына формулалар бойынша анықталады: , , . болғанда , , . (-геометриялық ауырлық центрінің координаталары). Координата осьтеріне қатысты инерция моменттері (геометриялық) сәйкесінше төмендегідей болады: , , . 9. Параметрден тәуелді интегралдар. Интеграл таңбасы астында дифференциалдау және интегралдау (1) интегралын қарастырамыз, мұнда - айнымалы параметр, ал - аралығында -тің барлық мәндері үшін және -ның жиынындағы барлық мәндері үшін анықталған екі айнымалының функциясы. Бұл шарттар орындалғанда (1) интеграл параметрінен тәуелді функция болады. функциясының параметрі бойынша туындысы туралы сұрақтың маңызы зор. Айталық, функциясы және дербес туындысы тікбұрышында үзіліссіз болсын. Бұл жағдайда келесі туынды анықталады: . (2) Егер туындының ( бойынша) және интегралдың ( бойынша) таңбаларын ауыстыруға болатын болса, онда (1) функциясын параметр бойынша интеграл таңбасының астында дифференциалдауға болады дейді. (2) формулада интегралдау шекаралары және - параметрінен тәуелсіз деп есептеледі. Егер және - параметрінен тәуелді болса, онда . (3) Айталық, функциясы қандай да бір облысында -ның барлық мәндері үшін және -ның барлық мәндері үшін берілген болсын¸ және де әрбір үшін бұл облыста келесі интеграл анықталсын: Егер облысында бұл интеграл -ға қатысты бірқалыпты -ға ұмтылса, онда интегралы -ға қатысты параметрдің берілген мәндері үшін бірқалыпты жинақталады деп атайды.Бұдан кез келген үшін -дан тәуелді саны табылып, болған кезде теңсіздігі облысында -ның барлық мәндері үшін орындалады. меншіксіз интегралын параметр бойынша дифференциалдау үшін, және интегралдарының болған кезде бар болуы қажет. (1) анықталған интегралды параметрі бойынша аралығында интеграл таңбасы астында интегралдау формуласы келесі түрде болады: . (4) Интеграл астындағы функция ақырлы интегралдау облысында екі айнымалының үзіліссіз функциясы болу керек. Интегралдау облысы ақырсыз болғанда қаталама меншіксіз интеграл шығады. Үш еселі интеграл Айталық, функциясы шектелген тұйық кеңістіктік облысында анықталған болсын. облысын кез келген әдіспен диаметрлері және көлемдері болатын - элементар облыстарға бөлшектейік. Әрбір элементар облыста кез келген нүктесін таңдап алайық және функцияның нүктесіндегі мәнін осы облыстың көлеміне көбейтейік. функциясы үшін облысы бойынша интегралдық қосындысы деп келесі түрдегі қосындыны айтады: . Интегралдық қосындының элементар облыстарының диаметрлерінің ең үлкені нөлге ұмтылған кездегі шегін функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл деп атайды және ол келесі түрде белгіленеді: . Бұл түрдегі ақырлы шек тек қана шектелген функция үшін ғана бар болады.. Егер облысында болса, онда үш еселі интегралы облысын алып жататын және тығыздығы айнымалы болатын дененің массасы болады (үш кеселі интегралдың физикалық мағнасы). Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың қасиеттеріне сәйкес болады. Декарттық координаталарда үш еселі интеграл келесі түрде болады: . Айталық, интегралдау облысы , (мұнда, - үзіліссіз функциялар) теңсіздіктерімен анықталсын. Сонда функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл келесі формуланың көмегімен есептеледі: . Егер үш еселі интегралды есептегенде айнымалылларынан осы айнымалылармен , өрнектері арқылы байланысатын айнымалыларына көшу керек болса (мұнда , , - өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар), кеңістігінің облысы мен кеңістігінің облысының нүктелерінің арасында өзара бірмәнді және екі жаққа да үзіліссіз сәйкестік орнатылады және облысында якобианы нөлге айналмайды: , онда келесі формуланы пайдалану керек.: Дербес жағдайда, декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын цилиндрлік координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды цилиндрлік координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (17-сурет): декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын сфералық координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды сфералық координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (18-сурет): 17-сурет 18-сурет жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|