Коммерциялық емес

А ӛлшемді (nxn) және В (nxr) ӛлшемді коэффициенттер матрицалары мынаған тең:
 ^a11...a1n  ^b11...b1r 


A  _......
  
_; B  _{ }.
(2.14)

^ a ...a ^{ }b ...b ^

 ^n1
nn 
 ^n1
nr 

Жалғыз кіріс сигнал кезінде, мысалы u = u₁ басқарумен, В матрицасында тек бір баған болады.

^b11 

 
B  _... _.
_b 
(2.15)

 ⁿ¹ 
Ішкі жағдайлар арасында, басқару сигналы мен шығыс сигналында тәуелділік болады:


y = Cx + Du,
(2.16)
мұндағы (pxn) және (pxr) ӛлшемді С және Д коэффициенттер матрицалары тиісінше тең:

 c₁₁...c_1n 




^{C } ^...... ^;
 d₁₁...d_1r ^{
D } ^...... 




немесе


_ p1
c

...c

pn _

_ p1
d

...d

pr _

y₁  c₁₁ x₁  ...  c_1n x_n  d₁₁u₁  ...  d_1r u_r
......
y _p  c_p1 x₁  ...  c_pn x_n  d _p1u₁  ..  d _pru_r .

(2.17)

Егер жүйеде бір шығыс у = у₁ болса, онда С матрицасы бір жолдан С = (с₁ …с_n), тұрады, ал Д матрицасы – нӛлдік.

(2.13) және (2.16) формуларын қолдана, Жүйенің ЖФ-ын жағдай айнымаларынын ішкі сипаттамларынан тікелей есептеуге болады. Ол үшін Лаплас бейнесінде (2.13) теңдеуін келістіреміз:

pEx( p)  Ax( p)  Bu( p),
(2.18)

мұндағы Е –(nxn) ӛлшемді бірлік матрицасы;

р = d/dt –Лаплас операторы. Онда жағдай векторы тең болады
x( p)  ( pE  A)^1 Bu. (2.19)

х(р)-ді (2.16) формуласына Лаплас бейнесі арқылы келтірсек, шығыс сигналын аламыз:

y( p)  C( pE  A)^1 Bu( p)  Du( p). (2.20)

Онда жүйе ЖФ-сф мынаған тең болады:


W ( p)  ^{y( p)}  C( pE  A)^1  D. u( p)
(2.21)

ЖФ бӛлгіші сипаттамалық теңдеу деп аталады, оның түбірлері полюстар (poles) деп аталады. Полюстар матрицасы А матрицасының сандарымен бірдей. Алым түбірлері нӛлдер деп аталады. Егер нӛлдерді z₁, ..., z_m, ал полюстерді p₁,..., p_n деп белгілесек, онда кезінде ЖФ формулаларын (2.12) мына түрде жазуға болады

_{W (s) } K (s  z₁)...(s  z_m ) _
(s  p₁)...(s  p_n )
a₁

s  p₁


 ... 
a_{n ,}
s  p_n
(2.22)

Шындығында, егер екі полюстер
p_{k ,k 1}    j,
мәніне ие болса, онда бұл

^{жұпқа бір құрамдас} C e^t sint. ^{сәйкес келеді.}
k

Полюстер немесе сызықтық жүйенің А матрицасының меншікті сандары толықтай тұрақтылықты анықтайды. Егер полюстердің заттай бӛлігін
– теріс (кешенді жазықтықтың сол жақ бӛлігінде жатса немесе жай ғана сол ), онда шектеулі (мысалы, жалғыз) u(t) кіріс сигналына реакция сол секілді әрқашан шектеулі, демек жүйе орнықты.

3. Дәріс №3. Типтік динамикалық буындар

Мақсаты: беріліс функцияларын , басқару жүйесінің жиіліктік және уақыттық сипаттамалары бойынша типтік динамикалық буындарын зерттеу.

1. Жиіліктік және уақыттық буындарының сипаттамалары

Буындардың (жүйенің) жиіліктік сипаттамасын гармоникалық сигналдың кірісіне тұрақты амплитуда мен нӛлден ∞ дейін айнымалы жиіліктікті беру арқылы алады, сонымен қоса шығысында амплитуда мен сигнал фазасын ӛлшеп тұрады.

БФ-на s = jω буыны келістірейік:

W ( j) 
^y(s)  U ( j)  V ( j) 
x(s)
_{A  e} j ( ) _,
(3.1)

^{мұндағы} A()  ^{- БФ модулі;}

()  arctg ^{V ()}
U ()
- фаза ПФ или фазасы немесе шығыс сигналдың

ығысуы.

W ( p) 
^{y( p)}  k ^{. (3.6)}
x( p)

Бұл буынның Амплитудалы-фазалық сипаттамасы (АФС) аналитикалық вектор ӛрнегі W(jω) = k, бұдан кӛретініміз БФ кіріс сигнал жиілігіне тәуелді есместігі.

A(ω) = k; φ(ω) = arctg 0 = 0; L(ω) = 20 lg k. (3.7)

Беріліс функциясы келесі түрде болады:
W ( p)  ^{у( р)}  ¹
х( р) Тр

. (3.10)

БФ-да р = jω ауыстыру жолымен Амплитудалы-фазалық жиіліктік сипаттамасы (АФЖС) векторының аналитикалық ӛрнегіне айналады

A()  ^k ;
 t
()  arctg()   ^ ;
2
L()  20lg k  20lgT;
h(t)  kt.

W ( j) 
1

T ( j)
  j ¹
T
. (3.11)

2. 
   сурет – Астатикалық буынның жиіліктік және уақыттық
   

сипаттамалары

W ( p) 
K

Tp 1
. (3.13)

Апериодтық буын БФ-на үлгі болып RC және RL элементеріндегі тӛменгі жиілік фильтрі болып табылады.

Қажетті ӛзгертулерден кейін келесіні аламыз:

W ( j) 
k
1  T ² ²

• 
  _j kT₀ _. 1  T ² ²
  

(3.14)

A() 
^k ; ()  arctgT;
L()  20 lg k  20 lg
1 T ²² .

3. 
   сурет – Бірініші ретті апериодтық буынның жиіліктік және уақыттық
   

сипаттамасы
Апредиодтық буын реализациясы ретінде кішігірім қуатты электродвиатель мысал бола алады. Апреиодтық буында беріліс функциясы бар объекттерді статикалық деп атайды.

4. 
   Екінші ретті апериодтық буын.
   

Бұл буынның дифференциалдық теңдеуі келесі түрде болады:

dy^2
Т1 dt ²

• 
  T ^dy  y(t)  kх(t).
  

² dt
(3.15)

Операторлы жазылу формасы:
(T p ²  T


p  1) y( p)  kx( p)

1 2
немесе

Мұндағы T  T₁;

  ^T2

2T₁
(T ² p²  2Tp  1) y( p)  kx( p).
 ^T2 . 2T
(3.16)

Береліс функциясы келесідей


W ( p) 


y( р) _ k _.

(3.17)

^{х ( р)} Тр ²  2Тр 1

Апериодтық буынның коэффициентінің ξ демпфировние шамасына қарай 3 түрге бӛлінеді:

1. 
   ξ ≥ 1 – 2 ретті апреиодтық буын.
   
2. 
   0 < ξ < 1 – тербелмелі буын.
   
3. 
   ξ = 0 – консервативті буын.
   

1. 
   Екінші ретті апреиодтық буын (ξ ≥ 1).
   

Буынның БФ-сы екі 1-ші ретті преиодтық буынның тізбектеліп қосылуы сияқты ӛзгертіледі.

W ( p) 
k _
T ² p²  2Tp 1
k
(T p 1)(T
1) ^,
(3.18)

мұндағы
1 2


T_1,2  .
T

Сонымен, Екінші ретті апреиодтық буын ξ ≥ 1 кезінде ӛзін 2 бірінші ретті апреиодтық буын секілді жүргізеді. Сондықтан АФЖС және ФЖС бірінші ретті буынмен бірдей, бірақ ω₁ = 1/Т₁ -20 дБ/дек және тағы ω₂ = 1/Т₂ одан ары -20 дБ/дек кезінде логарифмдік амплитудалы-жиіліктік сипаттамасының (ЛАЖС) бұрмалануымен. Жалпы кӛлбеу – 40 дБ/дек болады.

2. 
   Ауытқулы буын (0 < ξ < 1).
   

Буының БФ-на р = jω ӛрнегін қойсақ, келесіні аламыз:

W ( j) 
k

(1 T ²²)  j2T

_ k(1 T ²²) _
(1 T ²²)²  (2T)²
_j 2kT _. (1 T ²²)²  (2T)²
(3.19)

A() 
^k ; L()  20lg k  20lg
(1  T ²² )²  (2T)² ,

.

  ^
h(t)  k[1  _

   

e^t sin(t   )],

1   ²

0

(3.21)

мұндағы ^;
T
_T ; ₀
arctg _ .

4. 
   сурет - Тербелмелі буынның жиіліктік және уақыттық сипаттамасы
   

Екпін қисығы бойынша тербелмелі буынның Т уақыт тұрақтысын және ξ алса болады. Екпін қисығында тербеліс периодын Т_т және А₁ мен А₂ тербеліс амплитудаларын ӛлшей отыра, α және β коэффициенттері формуламен табылады:

  ¹
T_k
ln ^A1 ;
A₂
  ^2 .
T_k
(3.22)

α және β коэффициенттер мәндерін (3.21)-ге қойып, екі белгісізбен теңеу жүйесін шеше отырып, Т және ξ анықтаймыз.
Тербелмелі буынмен анықталатын объекттер, ӛзін-ӛзін үзу қасиетіне ие.

3. 
   Консервативті буын (ξ = 0). Буынның БФ-сы
   

W ( p)
k _;
T ² p² 1
W ( j)
k
1 T ²^{2 ;}
A() 
k
1 T ²^{2 ;}
h(t)  k(1 cost).
(3.23)

A()  k;
()  t_зап ;
L()  20 lg k;
h(t)  k 1(t  t_зап ).
(3.27)

W ( j)  k  e^{ jtзап}  k[cos(t )  j sin(t )]. ^(3.28)
зап зап