Тұрақтылықтың алгебралық критерилері

a₁a₃ a₅ a₇ ...0
a₀ a₂ a₄ a₆ ...0
 _n  0a₁a₃ a₅ ...0
.......... .......... . 0.0..0..0......a_n
. (5.8)

Басты анықтауыш бұлай құралады, басты диагональға а₁ бастап ӛсу ретімен а_n дейін теңдеу коэффициенттері жазылады. Бас диагональдың әр коэфффициентінен вертикаль бойынша жоғары қарай ӛсу ретімен, ал тӛмен қарай кему ретімен коэффициенттер индекстері жазылады. Индексі n нен жоғары және 0-ден тӛмен коэффициенттер матрицасындағы орындар нӛлмен толтырылады. Егер теңдеудің барлық коэффициенттері мен басты анықтауыштың диагональды минорлары оң болса, түбірлердің заттық бӛліктері теріс болады.

Гурвицтің басты анықтауышындағы диагональды минорды сыза отырып, Гурвицтің анықтауыштарының тӛменгі кезегін аламыз:

  a ;

_ a₁a


³ ; 
a₁a₃ a₅
 a a a


;....

(5.9)

1 1 2 _{a a} 3 0 2 4
0 2

0.a₁a₃

Гурвиц критериі: САУ тұрақты болуы үшін Гурвицтың барлық анықтауыштары сипаттамалық теңдеудің алғашқы а₀ коэффициентімен бірдей таңбалы болу керек және осы жеткілікті, яғни а ₀>0 оң болу керек

  a

• 
  0;
  

_ a₁a₃

• 
  0; 
  

a₁a₃ a₅
 a a a

• 
  0;....
  

(5.10)

1 1 2 _{a a}
0 2

3 0 2 4

0.a₁a₃
Әдетте Гурвиц критериі n ≤ 4 жүйелері үшін қолданылады, одан жоғары болғанда Льенар – Шипар критериі қолданылады. Басты анықтауыштың соңғы бағанында тек а_n қана нӛлден бӛлектенген, сондықтан:

Δ_n = a_nΔ_n-1 . (5.11)

Сондықтан САУ тұрақтылығын тексеру үшін Δ₁ – Δ_n-1 тапсақ жеткілікті. Егер барлық анықтауыштар Δ₁ – Δ_n-1>0, ал басты Δ_n = 0, онда САУ тұрақтылық шекарасында орналасқан. Бұл тек екі жағдайда ғана мүмкін: a_n =

0 немесе Δ_n-1>0. Біріншіде (a_n = 0) САУ апериодикалық тұрақтылық шекарасында орналасқан (түбірлердің біреуі s_i = 0); екіншіде (Δ_n-1>0) тербеліс тұрақтыдлық шекарасында (2 кешенді-түйіскен түбірлер жорамал s_i = jωi; s_i+1
= -jωi осінде орналасқан).
Сипаттамалық теңдеуі n ≥ 5 жүйелеріне 1914 жылы Льенар П. және Шипар Р. ұсынған Гурвицтың критериінің модификацияларының бірін қолдану ыңғайлы: САУ тұрақты болу үшін мына теңсіздіктер орындалуы керек және осының ӛзі жеткілікті
a₀>0, a₁>0, ..........a_n>0 (5.12)
Δ₁>0, Δ₃>0, Δ₅>0 тақ анықтауыштар
немесе
a₀>0, a₁>0, ..........a_n>0 (5.13)


Δ₂>0, Δ₄>0, Δ₆>0 жұп анықтауыштар.
Бұл критерий Гурвиц критериіне қарағанда екі есе аз анықтауыштардың ашылуын керек етеді, сол үшін де жоғарғы тәртіптегі САУ тұрақтылыққа зерттегенде әсіресе ыңғайлы.
Гурвиц критериінің кейбір теңдеулер үшін мінін қарастырып кӛрейік. Үшінші тәртіптегі теңдеу.
a₀р³ +а₁р² +а₂р + а₃ = 0.

Басты анықтауыш


a₁a₃ 0
  a₀ a₂ 0
0.a₁.a₃
 a₃ (a₁a₂  a₀ a₃ ).

Гурвиц шарты (а₁а₂ –а₀а₃) > 0, а₃(а₁а₂ – а₀а₃) > 0, a_i> 0, i=1, 2, 3.
Демек, егер барлық а₀,а₁,a₂,а₃ коэффициенттер оң және а₁a₂ – a₀a₃ >0, яғни а₁a₂> a₀a₃ болса жүйе тұрақты болады. Үшініші тәртіп теңдеуі оң а₀,а₁,a₂,а₃ коэффициентері кезінде және а₁a₂> a₀a₃ шарты орындалған кезде Вышнеградскидің тұрақтылық критері деп аталады.
Тӛртінші тәртіп теңдеуі

Басты анықтауыш

а₀р⁴ +a_lp³ +a₂p² + а₃р + а₄ = 0.


a₁a₃ .0.0

Гурвиц шарттары

_{ } a₀ a₂ a₄ 0 _.
0.a₁ .a₃ 0
0.a₀ .a₂ a₄

_{ } a₁a₃
² a a
 a₁a₂

• 
  a₃ a₀
  

• 
  0;
  

0 2
a₁a₃ 0
  a a 0  a (a a  a a )  a a ²  0
3 0 2 1 2 3 1 4 0 3

немесе
0.a₁.a₃

Δ₃ = а₃(а₁а₂ - а₀а₃) – а₁²а4 = а₃ Δ₂ – а₁²а4 >0.

Δ₃ анықтауышы тек Δ₂> 0 шартында ғана оң болуы мүмкін. Сол себепті тӛртінші тәртіпті теңдеу үшін тұрақтылық шарты мына түрде беріле алады
а₃ (а₁а₂ –a₃ a₀) – а ²а4> 0.
1

Бесінші тәртіпті теңдеу
а₀р⁵ + а₁р⁴ +а₂р³ +а₃р² +а₄р + а₅ = 0.

Егер
Δ₃ = а₁(а₂а₃ – а₁а₄) – а а ²>0.

Δ₄ = (a₃a₄ -а₂а₅)(а₁а₂ -а₀а₃)- (а₁а₄ -а₀а₅)²> 0 болса, бесінші тәртіпті теңдеумен сипатталған жүйе тұрақты.
0

3

6. Дәріс №6. Тұрақтылықтың жиілік критерийлері

Мақсаты: Найквист және Михаиловтың тұрақтылықтың жиілік критерийлерін оқып үйрену.

1. Найквисттің критерийі.

Найквисттің критерийі жиілік сипаттамаларды қолдануға негізделген, ол жабық САУ-дың тұрақтылығын ашық күйдегі амплитуда-фазалық сипаттамалары арқылы бағалауға мүмкіндік береді. БФ бірконтурлы жүйесіндегі ашық және жабық күйлердің арасында байланыс орнатайық. Функцияны карастырайық:

_{1 W ( p)  1} D( p) _ G( p)  D( p) _,
(6.1)

G( p) G( p)
мұнда алымы жабық күйдегі жүйенің сипаттамалық кӛпмүшелігі, бӛлімі ал бӛлімі — басты кері байланыс жүйесінің тұйықталмаған полином сипаттамасы.
Бұл ӛрнек

W ( p)  ^{D( p)}
G( p)
(6.2)

жабық жүйенің ӛткізі функциясы.
Физикалық жүзеге асу жүйесінің кӛпмүше реті D(p) кӛпмүше реті G(p)- дан асып кетпеу керектігінен, жабық жүйенің сипаттамалық теңдеуі мынаған тең:

G( p)  D( p)  0
ол ашық жүйенің сипаттамалық теңдеуіндегіге тең түбірлерге ие.
G( p)  0 .
(6.3)

(6.4)
Найквисттің критерийін тұжырымдасақ жүйе ашық және жабық күйде де тұрақты, себебі (6.3) и (6.4) теңдеулердің заттай бӛлшектері теріс.
(6.1) теңдеуіндегі р-ны jω-ға ауыстырып алымы мен бӛлімін қарапайым кӛбейткіштерге жіктесек жабық жүйенің аплитуда-фазалық сипаттамасының теңдеуін аламыз:

_{1 W ( j) } G( j)  D( j) _ ( j  p₁ )( j  p₂ )...( j  p_m ) _ Aexp j_{A ,}

(6.5)

G( j)
( j  s₁ )( j  s₂ )...( j  s_m )
B exp j_B

р₁, р₂, ..., р_m; s₁, s₂, ..., s_{m –} (6.3) және (6.4) теңдеулердің түбірлері.

(6.5) ӛрнектің оң жақ бӛлігіндегі кӛбейткіштің алымы мен бӛлімі жалған осьтің сол жағындағы комплексті жазықтықта орналасқан векторлар (6.1 сурет). Әр вектордың басы теңдеудің түбіріне сәйкес р_к келетін нүктеде, соңы жалған осьте орналасады.

ω ның жиілігін -∞ тен +∞ ӛзгертсек әр вектор π бұрышқа бұрылады. (6.5) ӛрнектің алымы А модулі кӛбейтілген векторлардың модуліне тең вектор болып табылады, φ_А аргументі сол векторлардың аргументтерінің қосындысына тең.
Сондықтан ω-ны -∞-тен +∞-ке ӛзгерткен кезде қорытынды вектор D(jω) + G(jω) φ_А = mπ бұрышқа бұрылады. Шарт бойынша G(p) = 0 түбірлері жалған осьтің сол жағында жатыр; қорытынды вектортың бұрылу бұрышы φ_В модульге ие болғандықтан ω -∞-тен +∞-ке ӛзгерген кезде ол да mπ-ға тең болады. Осыдан қорытынды, вектордың бұрылу бұрышы 1 + W(jω) ω -∞-тен
+∞-ке ӛзгерген кезде мынаған тең:
φ_А - φ_В = mπ – mπ = 0. (6.6)

Жабық жүйенің амплитуда-фазалық сипаттамасы (АФС) (6.2) теңдеуіндегі р-ны jω-ға ауыстыру арқылы алынады:

_{ } D( j) _ ^a
( j)ⁿ  a ( j)^n1  ...  a _{   }
(6.7)

W ( j )
G( j)
0 1 n
b ( j)^m  b ( j)^m1  ...  b
P( )
jQ( ).

0 1 m