Лекция 11 Планиметрияның негізгі ұғымдары мен аксиомалары. Үшбұрыш және оның теңдік

Дөңес көпбұрыш. 
Бұл жазықтықта орналасқан геометриялық фигура, ол барлық диагнольдары ішкі 
жағында болатындығымен және ішкі бұрыштары 180°-тан аз болатындығымен 
ерекшеленеді.
1º. Кез келген үшбұрыш үшін 
(а, b, с – қабырғалары; α, β, γ – оларға қарсы жатқан 
бұрыштары; р – жарты периметр, R – сырттай сызылған шеңбердің радиусы; r – іштей 
сызылған шеңбердің радиусы; S – ауданы; h
a
– a қабырғасына жүргізілген биіктік): 
𝑆 =
1
2
𝑎 ∙ ℎ
𝑎
;
(1) 
𝑆 =
1
2
𝑏𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼;
(2) 
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
(Герон формуласы); (3) 
𝑟 =
𝑆
𝑝
;
(4)
𝑅 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑆
;
(5) 
𝑆 =
𝑎
2
∙𝑠𝑖𝑛𝛽∙𝑠𝑖𝑛𝛾
2𝑠𝑖𝑛𝛼
;
(6) 
𝑎
2
= 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
(косинустар теоремасы); (7) 
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
(синустар теоремасы);
(8) 
2º. Тік бұрышты үшбұрыш үшін 
(а, b – катеттері; с – гипотенуза; а
с
, b
с
– катеттердің 
гипотенузаға түсірілген проекциялары): 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏;
(9) 
𝑆 =
1
2
𝑐 ∙ ℎ
𝑐
;
(10) 
𝑟 =
𝑎+𝑏−𝑐
2
;
(11) 
𝑅 =
𝑐
2
;
(12) 
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
(Пифагор теоремасы)
(13) 
𝑎
𝑐
ℎ
𝑐
=
ℎ
𝑐
𝑏
𝑐
;
(14) 
𝑎
𝑐
𝑎
=
𝑎
𝑐
;
(15) 
𝑏
𝑐
𝑏
=
𝑏
𝑐
;
(16) 

𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑏 ∙ 𝑡𝑔𝛼 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝛽.
(17) 
3º. Тең қабырғалы үшбұрыш үшін: 
𝑆 =
𝑎
2
√3
4
;
(18) 
r =
a√3
6
;
(19) 
R =
a√3
3
;
(20) 

Фигураның элементтерінің арасындағы орындалатын қосымша арақатыстар. 
1º. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы мына формуламен анықталады:
𝑎 =
2
3
√2(𝑚
𝑏
2
+ 𝑚
𝑐
2
) − 𝑚
𝑎
2
,
(21) 
мұндағы m
а
, m
b
, m
с
– үшбұрыштың медианаларының ұзындықтары. 
2º. Үшбұрыштың биссектрисасының ұзындығы мына формуламен анықталады:
𝑙
𝑐
= √𝑎𝑏 − 𝑎
1
𝑏
1
, 
(22) 
мұндағы a және b – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары, а
1
және b
1
– үшінші 
қабырғасының кесінділері.
3º. Үшбұрыштың биссектрисасының ұзындығы оның а, b және с қабырғалары арқылы мына 
формуламен өрнектеледі:
𝑙
𝑐
=
√𝑎𝑏(𝑎+𝑏+𝑐)∙(𝑎+𝑏−𝑐)
𝑎+𝑏
.
(23) 
4º. Кез келген үшбұрыш үшін оның h
a
, h
b
, h
c
биіктіктері мен оған іштей сызылған шеңбердің 
радиусы r арасында мынадай арақатыс орындалады: 
1
ℎ
𝑎
+
1
ℎ
𝑏
+
1
ℎ
𝑐
=
1
𝑟
.
(24)