Методические указания к выполнению домашнего задания
жүктеу/скачать 0,64 Mb.
|
| С х е м а II
Схема II образована из схемы I включением в конструкцию ещё одного деформируемого стержня. Требуется: 1. Определить внутренние усилия в стержнях. Подобрать площади поперечных сечений стержней, удовлетворив условие прочности и заданное соотношение площадей: А1:А2:А3=2:1:1,5. На схеме показан предпочтительный вариант изображения реакций в опоре В. Полная реакция RB разложена на две по осям примыкающих стержней, шарнир В является двойным. Система находится в равновесии и можно записать три уравнения равновесия, в которые войдут четыре неизвестные реакции. Иногда допускают ошибку, полагая, что можно записать четыре уравнения для определения четырёх реакций: проекции сил на оси Х, У и два уравнения моментов относительно разных точек. Не следует забывать, что для плоской системы сил в любом случае будет только три линейно независимых уравнения. При записи четырёх уравнений одно из них будет линейной комбинацией других. Система статически неопределима (реакции нельзя определить из уравнений равновесия). Разность между числом неизвестных усилий и числом уравнений характеризует степень статической неопределимости. Она может быть любой. Если в систему добавить ещё один стержень, она станет два раза статически неопределимой и т.д. Для расчёта статически неопределимых систем необходимо, помимо уравнений равновесия, составлять дополнительные уравнения в количестве равном степени статической неопределимости. В сумме уравнений должно быть столько, сколько неизвестных усилий. Для расчёта заданной схемы необходимо одно дополнительное уравнение, она один раз статически неопределима. Дополнительные уравнения являются геометрическими и они устанавливаются из очевидного соображения: система деформируется (искажается) в точном соответствии с наложенными на неё связями. Называют их уравнениями перемещений или уравнениями совместности деформации. Их всегда можно записать столько, сколько раз система статически неопределима. В заданной конструкции геометрия искажений обусловлена изменениями длин стержней, которые по закону Гука связаны с внутренними усилиями в них и которые, в свою очередь, связаны с реакциями в связях (внешних и внутренних). В большинстве случаев систему в деформированном виде несложно изобразить. Иногда это будет некоторая гипотетическая форма, которая в конечном итоге по результатам расчёта может быть не подтверждена, но по которым всегда можно изобразить реальную схему искажений. Расчёт будет верен и при гипотетической форме деформирования, если соблюдать очевидное правило: предполагаемое изменение длин стержней должно соответствовать направлению внутренних усилий в них (соответствие движений действующим силам). Обратим внимание на формулировку задачи: определить внутренние усилия в стержнях. О реакциях ничего не сказано и, следовательно, их определять не будем. Реакции и внутренние усилия в стержнях связаны посредством уравнений равновесия выделенных частей и при известных внутренних усилиях несложно определить реакции. 1. Определение внутренних усилий в стержнях конструкции. Изобразим силовую схему системы и соответствующую ей схему деформирования, удовлетворяя требуемое соответствие направлений сил и изменений длин стержней. Очевидно, принимая предположение о направлении усилий в стержнях, нельзя допустить их все растягивающими, шарниры D, C, A должны находиться на одной прямой линии. Маловероятно также, что жесткий стержень перемещается параллельно самому себе. Все другие предположения возможны. Можно допустить, что 3-ий стержень растягивается и изобразить соответствующую схему деформировния. Все варианты дадут одно решение, если соблюдено соответствие двух схем. Запишем вначале геометрическое уравнение, которое следует из подобия треугольников, одна сторона которых пунктирная линия: , . Заменим в нём изменения длин их выражениями по закону Гука: . Преобразуем, определив длины стержней через исходные данные: . , . (1) Получили уравнение (1), дополнительное к уравнениям равновесия. Как можно заметить, уравнение включает от площади поперечных сечений стержней (точнее от их соотношеня), которые в проектном расчёте не могут быть известны. Это является особенностью статически неопределимых систем. Поэтому при проектном расчёте необходимо принимать(задавать) соотношения между площадями поперечных сечений стержней. Этим самым можно управлять значениями внутренних усилий в стержнях и подбором его можно получать оптимальные системы. Подставим в уравнение (1) заданные соотношения площадей и численные значения геометрических параметров системы: , , . Рекомендуется не приводить промежуточные значения вспомогательных вычислений, необходимо буквенные обозначения заменить числами и указывать только полученный результат. При таком порядке ведения вычислений в случае какой-либо ошибки расчёт всегда несложно проверить. . (1') Теперь запишем уравнения равновесия. Не следует их записывать в том порядке, как они обычно читаются. Так, уравнение не будем записывать, оно необходимо только для определения реакции RA. Уравнение используем для проверки решения. Остаётся уравнение . , (2) . . (3) Заменим в (2) и (3) буквенные обозначения параметров их числами: . (2') . (3') Из (1') при подстановке в него (2') и (3'): . . Из (2') и (3') следует: . Проверка: Погрешность . Положительные значения определённых внутренних усилий свидетельствуют о корректности предположенной схемы деформирования. 2. Подбор площадей поперечных сечений стержней. Необходимо удовлетворить условие прочности и принятое соотношение между площадями поперечных сечений стержней: , . Усилия в стержнях: . (1-ый стержень растягивается, 2-ой и 3-ий сжимаются) Удовлетворим условие прочности для второго стержня: . Примем . Из соотношений площадей: , . Напряжения в стержнях: , , . Для данного материала напряжения в 1-ом стержне недопустимы, поэтому удовлетворим для него условие прочности, определив необходимую площадь: . Согласно соотношению площадей, площади сечений других стержней: , . При этом напряжения в стержнях: , , . Условие прочности соблюдено для всех стержней, превышать допускаемое напряжение можно до 5%. 2-й и 3-й стержни недогружены, но с этим надо примириться и это есть также особенность статически неопределимых систем. Только тщательным подбором соотношения площадей можно добиться лучшего результата. Заметим, что этот расчёт конструкции не окончательный. Длинные сжатые стержни могут искривляться (терять устойчивость) и их надо ещё проверять на условие устойчивости. жүктеу/скачать 0,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|