Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Понятие производной функции
4.1
Производные высших порядков
4.2
Дифференциал функции
4.3
Приложения производной функции
4.4
В медицине при изучении многих явлений часто бывает необходимо определить скорость изме-
нения какой-либо величины, характеризующей медико-биологический процесс. Скорость изменения
функции при данном изменении аргумента — общий смысл производной функции. В практических
условиях функция и аргумент могут иметь весьма разнообразную природу. Поэтому понятие произ-
водной функции широко используется в различных медицинских и биологических процессах, выра-
женных в виде функции, т.е. в виде математической модели.
Из истории. Источником дифференциального исчисления были два вопроса:
1) о разыскании касательной к произвольной линии;
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.
Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифферен-
циального исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по данной функции f(t) отыскать другую
функцию f(t), получившую позднее название производной и представляющую скорость изменения
функции f(t) относительно изменения аргумента.
В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном и в сходной форме Лейбницем в 70-х и
80-х гг. XVII века. Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие ученые фактически дали
правила для разыскания производных для многих функций. Ньютон и Лейбниц завершили это разви-
тие; они ввели общие понятия производной (данный термин введен в конце XVIII века Арбогастом) и
13
дифференциала (введен Лейбницем, от лат. differentia), а также обозначения, очень облегчившие вы-
числения; они развили аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов и приме-
нили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики. Недостаток ло-
гической скорости был восполнен только в XIX веке.
Как видно из исторической справки, в основу дифференциального исчисления были положены
две задачи, каждая из которых находит свое применение в решении задач медицинского содержания,
например, первая задача — при характеристике графика какой-либо математической модели; вто-
рая — в медико-биологических процессах, где используется понятие скорости (скорость растворения
лекарственных веществ, скорость реакции организма на лекарственные препараты, скорость размно-
жения бактерий и т.д.).
4.1. Понятие производной функции
− задачи, приводящие к понятию производной;
− понятие производной;
− геометрический и физический смыслы производной;
− правила дифференцирования;
− производные основных элементарных функций;
− производная сложной функции.
Задачи, приводящие к понятию производной
Скорость. Чтобы определить скорость поезда, отмечаем, на каком километре пути он находился
в момент t = t
1
, а затем в момент t = t
2
.
Пусть это будут расстояния: s = s
1
; s = s
2
. Приращение пути Δs = s
2
– s
1
, а приращение времени
Δt = t
2
– t
1
.
Частное
s
t
Δ
Δ
дает среднюю скорость поезда за промежуток времени (t
1
, t
2
). При неравномерном
движении средняя скорость недостаточно характеризует быстроту движения в момент t = t
1
. Но чем
меньше Δt, тем точнее характеризуется эта быстрота. Поэтому скоростью в момент t = t
1
называют
предел, к которому стремится отношение
s
t
Δ
Δ
при Δt → 0: V =
0
lim
x
s
t
Δ →
Δ
Δ
.
Касательная. Касательной к линии L в точке М (рис. 1)
называется прямая Т′МТ, с которой стремится совпасть секу-
щая ММ′, когда точка М′, оставаясь на L, стремиться к М —
будь то справа или слева. Из рисунка 1 видно, что касательная
может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие точ-
ки.
Если линия L есть график функции y = f(x), то угловой ко-
эффициент касательной равен значению производной функции
в соответствующей точке.
Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента х, определенная в промежутке (a, b), и пусть
х — какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу х приращение Δх (положительное или от-
рицательное). Функция y = f(x) получит приращение Δу, равное
Δу = f(x + Δx) – f(x).
При бесконечно малом Δх приращение Δу тоже бесконечно мало.
Предел, к которому стремится отношение Δу/Δx при Δx→0, т.е.
0
(
)
( )
lim
x
f x
x
f x
x
Δ →
+ Δ −
Δ
,
сам является функцией от аргумента х. Эта функция называется ПРОИЗВОДНОЙ от функции f(x) и
обозначается f′(x) или y′.
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f в точке x называется число, к которому стремится разностное от-
ношение
Рис. 1.
14
(
)
( )
f
f x
x
f x
x
x
Δ
+ Δ −
=
Δ
Δ
при Δx→0.
Процесс нахождения производной называется ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ.
Геометрический и физический смыслы производной
Физический (механический) смысл: Функция s = f(t) есть уравнение прямолинейного движения
точки, а производная s′ представляет собой скорость точки в данный момент времени t.
Геометрический смысл: Для функции y = f(x) ее производная y′ = f′(x) для каждого значения х
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
Правила дифференцирования
– производная от алгебраической суммы нескольких функций (взятых в неизменном числе) рав-
на алгебраической сумме их производных:
(u + v – w)′ = u′ + v′ – w′;
– производная произведения двух функций определяется формулой:
(u·v)′ = u′·v + u·v′;
– постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(Сu)′ = C·u′;
– производная частного двух функций определяется формулой
2
u
u v uv
v
v
′
′
′
−
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Производные основных элементарных функций
1.
С′ = 0, где С = const
6.
(a
x
)′ = a
x
·ln a 11.
(ctg x)′ =
2
1
sin x
−
2. (x)′ = 1
7.
(e
x
)′ = e
x
12.
(arccos x)′ =
2
1
1 x
−
−
3. (x
n
)′ = n·x
n–1
8.
(cos x)′ = –sin x 13.
(arcsin x)′ =
2
1
1 x
−
4.
(ln x)′ =
1
x
9. (sin
x)′ = cos x 14.
(arctg x)′ =
2
1
1 x
+
5.
(log
a
x)′ =
1
ln
x a
10. (tg x)′ =
2
1
cos x
15. (arcctg x)′ =
2
1
1 x
−
+
Производная сложной функции
Функция y = f(z), которая числу z ставит в соответствие число φ(x), называется ФУНКЦИЕЙ ОТ
ФУНКЦИИ, или СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Теорема. Если y = f(z) и z = φ(x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производ-
ная сложной функции y = f[φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции у
по промежуточному аргументу z на производную промежуточного аргумента z по независимой пере-
менной х, т.е.
y′
x
= y′
z
⋅ z′
x
или (f[φ(x)])′ = f′[φ(x)]
⋅ φ′(x).
Пример. При дискретном внутривенном введении препарата зависимость концентрации препа-
рата от времени описывается: c(t) = c
0
e
–kt
, где с — количество лекарственного вещества в таблетке,
оставшееся ко времени растворения t; с
0
— начальная концентрация препарата; k — коэффициент
выведения препарата. Определить скорость растворения лекарственного вещества из таблетки.
Решение. Так как c
0
, k — постоянные, тогда
c′(t) = c
0
·(e
–kt
)′,
т.е. функция с(t) есть сложная функция от t, так как она состоит из элементарных функций z = –kt;
y = e
–kt
c′(t) = –c
0
k e
–kt
.
Пример. Найти скорость основного обмена у мужчины относительно массы тела, если математи-
ческая модель основного обмена у мужчин есть функция Q = 71·P
0,75
⋅(0,68 + 0,01H⋅P
–1/3
– 0,004A), где
Q — основной обмен (ккал/сутки); P — масса тела (кг); A — возраст (лет); H — рост (см). Возраст
(А) — 58 лет, рост (H) — 182 см, масса тела (Р) = 96 кг.
15
Решение. Найдем скорость основного обмена у мужчин в зависимости от массы тела. В функ-
цию, описывающую моделируемый процесс, вставляем входные данные А = 58, H = 182 см.
Q = 71
⋅P
0,75
(0,68 + 0,01·182
⋅P
–1/3
– 0,004
⋅58).
Для нахождения скорости необходимо найти производную данной функции
Q′ = 36,21
⋅Р
–0,25
+ 53,842
⋅Р
–7/12
– 12,354
⋅Р
–0,25
.
Поэтому скорость основного обмена у мужчины при массе тела Р = 96 равна
Q′(96) = 20,983.
4.2. Производные высших порядков
− производные второго и высших порядков;
− физический смысл второй производной.
Производные второго и высших порядков
Производную f′(x) в дальнейшем будем называть ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, или
просто ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.
Пусть f′(x) есть производная от функции f(x), тогда производная от функции f′(x) называется
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от функции f(x) и обозначается f′′(x).
Производная от производной первого порядка называется ПРОИЗВОДНОЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, или ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Производная второй производной называется ПРОИЗВОДНОЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА и обо-
значается f′′′(x).
Таким же образом определяются производные четвертого порядка f
IV
(x) и т.д. Производная n-го
порядка обозначается f
(n)
(x). Если функция обозначается одной буквой, например y, то её производ-
ные обозначаются: y′, y′′, y′′′, y
IV
, y
V
, …, y
(n)
.
Пример. Найти производную четвертого порядка от функции f(x) = x
3
.
Решение. f′(x) = 3x
2
; f′′(x) = (3x
2
)′ = 6x; f′′′(x) = (6x)′ = 6, f
IV
= 0.
Физический смысл второй производной
Пусть s = s (t) — функция прямолинейного движения материальной точки. Мгновенная скорость
v этого движения есть производная пути s по времени t: v = s′(t).
Среднее ускорение переменного движения равно отношению приращения скорости Δv к прира-
щению времени Δt: a
ср
=
v
t
Δ
Δ
. Мгновенное ускорение a
мгн
в момент времени t равно пределу a
ср
при
Δt → 0, т.е. a
мгн
=
.
0
0
lim
lim
ср
t
t
v
a
t
Δ →
Δ →
Δ
=
Δ
= v′.
Так как v = s′, то a
мгн
= (s′)′ = s″.
Вторая производная от пути s по времени t равна мгновенному ускорению переменного
движения. В этом и состоит ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
4.3. Дифференциал функции
− понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной;
− физический и геометрический смыслы дифференциала функции;
− дифференциалы высших порядков.
Понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функции y = f(x) называется произведение ее производной на прираще-
ние независимой переменной
dy = f′(x)·Δx.
В частности, f(x) = x, получаем dx = 1
⋅Δx, dx = Δx, т.е. дифференциал независимой переменной
равен приращению этой переменной.
Тогда определение дифференциала функции можно записать в виде:
dy = f′(x)
⋅dx => f′(x) =
dy
dx
.
Пример: Найти дифференциал второго порядка d
2
y для функции y = sin x.
dy = cos x dx; d
2
y = – sin x dx
2
.
16
Теорема 1. Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.
Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.
Физический и геометрический смыслы дифференциала функции
Физический смысл. Пусть s = f(t) — расстояние прямолинейно движущейся точки от начального
положения (t — время пребывания в пути). Приращение Δs — это путь, пройденный точкой за про-
межуток времени Δt, а дифференциал ds = f′(x)
⋅∆t — это путь, который точка прошла бы за то же вре-
мя ∆t, если бы она сохранила скорость f′(t), достигнутую к моменту t. При достаточно малом ∆t вооб-
ражаемый путь ds очень мало отличается от истинного ∆s. Если скорость в момент t не равна нулю,
то ds дает приближенную величину малого смещения точки.
Геометрический смысл. Рассмотрим функцию y = f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем
на кривой y = f(x) произвольную точку М(х, у). Проведем касательную к кривой в этой точке и обо-
значим угол между касательной и Ох через α. Дадим независимой переменной приращение Δх, тогда
функция получит приращение Δу = QM
1
.
Значению х + Δх, у + Δу на кривой
y = f(x)
будет
соответствовать
точка
М
1
(х + Δх, у + Δу).
Рассмотрим треугольник MQN:
QN = MQ
⋅tg α,
так как tg α = f(x) (геометрической смысл
производной)
MQ = Δx => QN = f′(x)
⋅Δx.
По
определению
дифференциала
f′(x)
⋅Δx = dy. Таким образом QN = dy. Из ри-
сунка 2 следует, что NM
1
= Δу – dy. Отноше-
ние
1
0
M N
NQ
→ , при Δх→0. Итак, дифферен-
циал функции графически изображается
приращением ординаты касательной.
Дифференциалы высших порядков
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ II ПОРЯДКА (вторым дифференциалом) функции f(x) называется диф-
ференциал от дифференциала I порядка:
d
2
f(x) = d[df(x)].
Аналогично определяется дифференциал III, IV, V... порядков.
Теорема. Дифференциал II порядка от данной функции равен произведению производной II по-
рядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной:
d
2
f(x) = f″(x) dx
2
, где dx
2
= (dx)
2
.
Пример: Для сложной функции y = (1 + x
2
)
3
найти дифференциал III-го порядка d
3
y.
dy = 3
⋅2x⋅(1 + x
2
)
2
⋅dx;
dy = (6x + 12x
3
+ 6x
5
)dx;
d
2
y = (6 + 36x
2
+ 30x
4
)dx
2
.
4.4. Приложения производной функции
− исследование функции с помощью производных;
− правило Лопиталя.
Исследование функции с помощью производных
Достаточный признак возрастания функции. Если f′(x) > 0 в каждой точке интервала, то функ-
ция f возрастает на данном интервале.
Достаточный признак убывания функции. Если f′(x) < 0 в каждой точке интервала, то функция f
убывает на данном интервале.
Схема исследования функции на возрастание, убывание функции.
1. Найти область определения функции f(x).
2. Найти производную функции f′(x).
Рис. 2.
17
3. Решить неравенство f′(x) > 0 методом интервалов, в случае определения промежутка возраста-
ния функции.
Для определения промежутка убывания функции решить неравенство f′(x) < 0.
Замечание. Для решения неравенств f′(x) < 0 и f′(x) > 0 удобно пользоваться обобщением метода
интервалов точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения
функции f на промежутки, в каждом из которых f′ сохраняет постоянный знак. Знак можно опреде-
лить, вычислив значение f′(x) в какой-нибудь точке промежутка.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не
существует, называют КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ этой функции.
Необходимое условие экстремума. Если точка х
0
является точкой экстремума функции f и в этой
точке существует производная f′, то она равна нулю: f(х
0
) = 0.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х
0
, а f′(x) > 0 на интервале
(а; х
0
) и f′(x) < 0 на интервале (х
0
; b), то точка х
0
является ТОЧКОЙ МАКСИМУМА функции.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х
0
, а f′(x) < 0 на интервале
(а; х
0
) и f′(x) > 0 на интервале (х
0
; b), то точка х
0
является ТОЧКОЙ МИНИМУМА функции.
При решении удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке х
0
производная меняет знак с плюса на минус, то х
0
есть точка максимума; если в точке х
0
производная
меняет знак с минуса на плюс, то х
0
есть точка минимума.
Схема полного исследования функции.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность функции.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти промежутки знакопостоянства.
5. Определить промежутки возрастания и убывания функции.
6. Найти точки экстремума.
7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика.
8. Найти точки перегиба графика.
9. Построение графика функции на основании предыдущих пунктов.
Правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций, бесконечно ма-
лых при х → а (или при х → ∞), можно рассматривать отношение их производных
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если про-
изводные f и φ существуют, т.е.:
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x
a
f x
f x
x
x
→
→
′
=
′
ϕ
ϕ
.
Применение правила Лопиталя бывает полезно комбинировать с преобразованиями, облегчаю-
щими разыскание предела.
Правило Лопиталя имеет силу также и для отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций, бесконечно больших
при х → а (или при х → ∞).
Правило Лопиталя приносит пользу лишь тогда, когда выражение
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
удается преобразовать
к более удобному виду легче, чем выражение
( )
( )
f x
x
ϕ
.
Тесты для самопроверки
1. Какие из приведенных терминов относятся к дифференциальному исчислению?
a) производная функции; d)
ускорение;
b) дифференциал функции;
e) интеграл.
c) скорость;
18
2. С какой целью в медицине применяются элементы дифференциального исчисления?
a) для определения скорости изменения во
многих медико-биологических процессах;
b) при работе с медицинской аппаратурой;
d) основные понятия дифференциального
исчисления необходимы для изучения
раздела «Линейная алгебра»;
c) понятие производной и дифференциала
необходимо будущему врачу;
e) элементы дифференциального исчисления
используются в курсе анатомии человека.
3. Среди приведенных утверждений укажите те, которые являются верными:
d) если точка х
0
является точкой экстремума
функции f и в этой точке существует про-
изводная f′, то она не равна нулю.
a) если в точке х
0
производная меняет знак с
плюса на минус, то х
0
есть точка макси-
мума;
b) если в точке х
0
производная меняет знак с
минуса на плюс, то х
0
есть точка мини-
мума;
c) если функция имеет дифференциал, то эта
функция не имеет производную;
e) дифференциал II порядка от данной
функции равен сумме производной II по-
рядка этой функции и квадрата диффе-
ренциала независимой переменной.
4. При применении правила Лопиталя для разыскания предела отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций можно
рассматривать отношение их производных
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если
a) производные функций f и φ существуют;
b) выполняется условие f = 0 и φ ≠ 0;
c) выполняется условие f = φ = 0;
d) выполняется условие f ≠ 0 и φ=0;
e) производные функций f и φ равны нулю.
5. В чем заключается физический смысл первой производной?
a) функция s = f(t) есть уравнение прямоли-
нейного движения точки, то производная
s′ представляет собой скорость точки в
данный момент времени;
d) производная от пути s по времени t равна
мгновенному ускорению переменного
движения. В этом и состоит физический
смысл второй производной;
b) для функции y = f(x) ее производная для
каждого значения х равна угловому ко-
эффициенту касательной к графику
функции в соответствующей точке;
e) если скорость в момент времени t не равна
нулю, то производная дает приближенную
величину малого смещения точки.
c) физический смысл производной функции
графически изображается приращением
ординаты касательной;
6. Найти точки экстремума для изображенного графика функции:
a) max = (7; 7), (3; 0);
min = (3,5; 0,5);
b) max = (7; 7);
min = (3,5; 0,5);
c) max = (3; 0);
min = (3,5; 0,5);
d) max = (7; 7), (3; 0);
min — нет;
e) точек экстремума нет.
7. Определить производную функции f(x) = e
3sin x
:
a) e
3sin x
;
d) 3sin x e
3sin x
;
b) –3cos x e
3sin x
;
e) e
3cos x
.
c) 3cos x e
3sin x
;
8. В данное утверждение вставить вместо многоточия знак, чтобы получилось верное определение.
a) если f′(x) … 0 в каждой точке интервала, то
функция f возрастает на данном интервале;
d) для определения промежутка возрастания
функции решить неравенство f′(x) … 0;
b) если f′(x) … 0 в каждой точке интервала, то
функция f возрастает на данном интервале;
e) правило Лопиталя:
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x a
f x
f x
x
x
→
→
′
′
ϕ
ϕ
…
.
c) для определения промежутка убывания
функции решить неравенство f′(x) … 0;
19
9. Укажите формулу для вычисления производной сложной функции:
a) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)]
⋅φ′( x);
d) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)]: φ′( x);
b) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)] + φ′( x);
e) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)] – φ′( x).
c) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)];
10. Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается мате-
матической моделью: y = t
2
2
t
e
−
, где время t > 0. Определите скорость и ускорение в зависимости от
времени:
a) v =
2
2
t
e
−
(1 – t
2
), a = –
2
2
t
e
−
( t
3
– 3 t);
d) v =
2
2
t
e
−
(1 – t
2
), a =
2
2
t
e
−
( t
3
–3 t);
b) v =
2
2
t
e
−
( t
2
–1), a = –
2
2
t
e
−
( t
3
+ 3 t);
e) v =
2
2
t
e
−
(1 + t), a = –
2
2
t
e
−
(2 + t);
c) v =
2
2
t
e
−
, a = –
2
2
1
2
t
e
−
;
Список рекомендуемой литературы по разделу
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 2001.
2. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. — М.: Просвещение, 1990.
3. Козин Я.Б. Сборник задач и упражнений по медицинской кибернетике. — Свердловск:
Полиграфист, 1978.
4. Кудрявцев В.Я., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1975.
5. Лобоцкая Н.Л, Морозов Ю.В., Дунаев А.А. Высшая математика. — Минск: Выш. шк.,
1987.
6. Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003.
Список литературы
1. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Педагогика, 1975. — 214 с.
2. Выготский Л.С. Педагогическая психология. — М.: Просвещение, 1996. — 278 с.
3. Щукина Г.И. Проблема познавательного в педагогике. — М.: Педагогика, 1971. — 351 с.
4. Вергасов М.В. Активизация мыслительной деятельности студентов в высшей школе. — Киев: Вища шк., 1979. — 174 с.
5. Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003. — 16 с.
С.Т.Каргин, У.И.Копжасарова
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова
Достарыңызбен бөлісу: |