Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Понятие производной функции
4.1
Производные высших порядков
4.2
Дифференциал функции
4.3
Приложения производной функции
4.4
В медицине при изучении многих явлений часто бывает необходимо определить скорость изме-
нения какой-либо величины, характеризующей медико-биологический процесс. Скорость изменения
функции при данном изменении аргумента — общий смысл производной функции. В практических
условиях функция и аргумент могут иметь весьма разнообразную природу. Поэтому понятие произ-
водной функции широко используется в различных медицинских и биологических процессах, выра-
женных в виде функции, т.е. в виде математической модели.
Из истории. Источником дифференциального исчисления были два вопроса:
1) о разыскании касательной к произвольной линии;
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.
Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифферен-
циального исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по данной функции f(t) отыскать другую
функцию f(t), получившую позднее название производной и представляющую скорость изменения
функции f(t) относительно изменения аргумента.
В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном и в сходной форме Лейбницем в 70-х и
80-х гг. XVII века. Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие ученые фактически дали
правила для разыскания производных для многих функций. Ньютон и Лейбниц завершили это разви-
тие; они ввели общие понятия производной (данный термин введен в конце XVIII века Арбогастом) и
13
дифференциала (введен Лейбницем, от лат. differentia), а также обозначения, очень облегчившие вы-
числения; они развили аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов и приме-
нили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики. Недостаток ло-
гической скорости был восполнен только в XIX веке.
Как видно из исторической справки, в основу дифференциального исчисления были положены
две задачи, каждая из которых находит свое применение в решении задач медицинского содержания,
например, первая задача — при характеристике графика какой-либо математической модели; вто-
рая — в медико-биологических процессах, где используется понятие скорости (скорость растворения
лекарственных веществ, скорость реакции организма на лекарственные препараты, скорость размно-
жения бактерий и т.д.).
4.1. Понятие производной функции
− задачи, приводящие к понятию производной;
− понятие производной;
− геометрический и физический смыслы производной;
− правила дифференцирования;
− производные основных элементарных функций;
− производная сложной функции.
Задачи, приводящие к понятию производной
Скорость. Чтобы определить скорость поезда, отмечаем, на каком километре пути он находился
в момент t = t
1
, а затем в момент t = t
2
.
Пусть это будут расстояния: s = s
1
; s = s
2
. Приращение пути Δ s = s
2
– s
1
, а приращение времени
Δ t = t
2
– t
1
.
Частное
s
t
Δ
Δ
дает среднюю скорость поезда за промежуток времени ( t
1
, t
2
). При неравномерном
движении средняя скорость недостаточно характеризует быстроту движения в момент t = t
1
. Но чем
меньше Δ t, тем точнее характеризуется эта быстрота. Поэтому скоростью в момент t = t
1
называют
предел, к которому стремится отношение
s
t
Δ
Δ
при Δ t → 0: V =
0
lim
x
s
t
Δ →
Δ
Δ
.
Касательная. Касательной к линии L в точке М (рис. 1)
называется прямая Т′МТ, с которой стремится совпасть секу-
щая ММ′, когда точка М′, оставаясь на L, стремиться к М —
будь то справа или слева. Из рисунка 1 видно, что касательная
может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие точ-
ки.
Если линия L есть график функции y = f( x), то угловой ко-
эффициент касательной равен значению производной функции
в соответствующей точке.
Понятие производной
Пусть y = f( x) есть непрерывная функция аргумента х, определенная в промежутке ( a, b), и пусть
х — какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу х приращение Δ х (положительное или от-
рицательное). Функция y = f( x) получит приращение Δ у, равное
Δ у = f( x + Δ x) – f( x).
При бесконечно малом Δ х приращение Δ у тоже бесконечно мало.
Предел, к которому стремится отношение Δ у/Δ x при Δ x→0, т.е.
0
(
)
( )
lim
x
f x
x
f x
x
Δ →
+ Δ −
Δ
,
сам является функцией от аргумента х. Эта функция называется ПРОИЗВОДНОЙ от функции f( x) и
обозначается f′( x) или y′.
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f в точке x называется число, к которому стремится разностное от-
ношение
Рис. 1.
14
(
)
( )
f
f x
x
f x
x
x
Δ
+ Δ −
=
Δ
Δ
при Δ x→0.
Процесс нахождения производной называется ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ.
Геометрический и физический смыслы производной
Физический (механический) смысл: Функция s = f( t) есть уравнение прямолинейного движения
точки, а производная s′ представляет собой скорость точки в данный момент времени t.
Геометрический смысл: Для функции y = f( x) ее производная y′ = f′( x) для каждого значения х
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
Правила дифференцирования
– производная от алгебраической суммы нескольких функций (взятых в неизменном числе) рав-
на алгебраической сумме их производных:
( u + v – w)′ = u′ + v′ – w′;
– производная произведения двух функций определяется формулой:
( u·v)′ = u′·v + u·v′;
– постоянный множитель можно выносить за знак производной:
( Сu)′ = C·u′;
– производная частного двух функций определяется формулой
2
u
u v uv
v
v
′
′
′
−
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Производные основных элементарных функций
1.
С′ = 0, где С = const
6.
( a
x
)′ = a
x
·ln a 11.
(ctg x)′ =
2
1
sin x
−
2. ( x)′ = 1
7.
( e
x
)′ = e
x
12.
(arccos x)′ =
2
1
1 x
−
−
3. ( x
n
)′ = n·x
n–1
8.
(cos x)′ = –sin x 13.
(arcsin x)′ =
2
1
1 x
−
4.
(ln x)′ =
1
x
9. (sin
x)′ = cos x 14.
(arctg x)′ =
2
1
1 x
+
5.
(log
a
x)′ =
1
ln
x a
10. (tg x)′ =
2
1
cos x
15. (arcctg x)′ =
2
1
1 x
−
+
Производная сложной функции
Функция y = f( z), которая числу z ставит в соответствие число φ( x), называется ФУНКЦИЕЙ ОТ
ФУНКЦИИ, или СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Теорема. Если y = f( z) и z = φ( x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производ-
ная сложной функции y = f[φ( x)] существует и равна произведению производной данной функции у
по промежуточному аргументу z на производную промежуточного аргумента z по независимой пере-
менной х, т.е.
y′
x
= y′
z
⋅ z′
x
или ( f[φ( x)])′ = f′[φ( x)]
⋅ φ′( x).
Пример. При дискретном внутривенном введении препарата зависимость концентрации препа-
рата от времени описывается: c( t) = c
0
e
–kt
, где с — количество лекарственного вещества в таблетке,
оставшееся ко времени растворения t; с
0
— начальная концентрация препарата; k — коэффициент
выведения препарата. Определить скорость растворения лекарственного вещества из таблетки.
Решение. Так как c
0
, k — постоянные, тогда
c′( t) = c
0
·( e
– kt
)′,
т.е. функция с( t) есть сложная функция от t, так как она состоит из элементарных функций z = – kt;
y = e
– kt
c′( t) = – c
0
k e
– kt
.
Пример. Найти скорость основного обмена у мужчины относительно массы тела, если математи-
ческая модель основного обмена у мужчин есть функция Q = 71· P
0,75
⋅(0,68 + 0,01 H⋅ P
–1/3
– 0,004 A), где
Q — основной обмен (ккал/сутки); P — масса тела (кг); A — возраст (лет); H — рост (см). Возраст
( А) — 58 лет, рост ( H) — 182 см, масса тела ( Р) = 96 кг.
15
Решение. Найдем скорость основного обмена у мужчин в зависимости от массы тела. В функ-
цию, описывающую моделируемый процесс, вставляем входные данные А = 58, H = 182 см.
Q = 71
⋅ P
0,75
(0,68 + 0,01·182
⋅ P
–1/3
– 0,004
⋅58).
Для нахождения скорости необходимо найти производную данной функции
Q′ = 36,21
⋅ Р
–0,25
+ 53,842
⋅ Р
–7/12
– 12,354
⋅ Р
–0,25
.
Поэтому скорость основного обмена у мужчины при массе тела Р = 96 равна
Q′(96) = 20,983.
4.2. Производные высших порядков
− производные второго и высших порядков;
− физический смысл второй производной.
Производные второго и высших порядков
Производную f′( x) в дальнейшем будем называть ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, или
просто ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.
Пусть f′( x) есть производная от функции f( x), тогда производная от функции f′( x) называется
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от функции f( x) и обозначается f′′( x).
Производная от производной первого порядка называется ПРОИЗВОДНОЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, или ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Производная второй производной называется ПРОИЗВОДНОЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА и обо-
значается f′′′( x).
Таким же образом определяются производные четвертого порядка f
IV
( x) и т.д. Производная n-го
порядка обозначается f
( n)
( x). Если функция обозначается одной буквой, например y, то её производ-
ные обозначаются: y′, y′′, y′′′, y
IV
, y
V
, …, y
( n)
.
Пример. Найти производную четвертого порядка от функции f( x) = x
3
.
Решение. f′( x) = 3 x
2
; f′′( x) = (3 x
2
)′ = 6 x; f′′′( x) = (6 x)′ = 6, f
IV
= 0.
Физический смысл второй производной
Пусть s = s ( t) — функция прямолинейного движения материальной точки. Мгновенная скорость
v этого движения есть производная пути s по времени t: v = s′( t) .
Среднее ускорение переменного движения равно отношению приращения скорости Δ v к прира-
щению времени Δ t: a
ср
=
v
t
Δ
Δ
. Мгновенное ускорение a
мгн
в момент времени t равно пределу a
ср
при
Δ t → 0, т.е. a
мгн
=
.
0
0
lim
lim
ср
t
t
v
a
t
Δ →
Δ →
Δ
=
Δ
= v′.
Так как v = s′, то a
мгн
= (s′)′ = s″.
Вторая производная от пути s по времени t равна мгновенному ускорению переменного
движения. В этом и состоит ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
4.3. Дифференциал функции
− понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной;
− физический и геометрический смыслы дифференциала функции;
− дифференциалы высших порядков.
Понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функции y = f( x) называется произведение ее производной на прираще-
ние независимой переменной
dy = f′( x)·Δ x.
В частности, f( x) = x, получаем dx = 1
⋅Δ x, dx = Δ x, т.е. дифференциал независимой переменной
равен приращению этой переменной.
Тогда определение дифференциала функции можно записать в виде:
dy = f′( x)
⋅ dx => f′( x) =
dy
dx
.
Пример: Найти дифференциал второго порядка d
2
y для функции y = sin x.
dy = cos x dx; d
2
y = – sin x dx
2
.
16
Теорема 1. Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.
Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.
Физический и геометрический смыслы дифференциала функции
Физический смысл. Пусть s = f( t) — расстояние прямолинейно движущейся точки от начального
положения ( t — время пребывания в пути). Приращение Δ s — это путь, пройденный точкой за про-
межуток времени Δ t, а дифференциал ds = f′( x)
⋅∆ t — это путь, который точка прошла бы за то же вре-
мя ∆ t, если бы она сохранила скорость f′( t), достигнутую к моменту t. При достаточно малом ∆ t вооб-
ражаемый путь ds очень мало отличается от истинного ∆ s. Если скорость в момент t не равна нулю,
то ds дает приближенную величину малого смещения точки.
Геометрический смысл. Рассмотрим функцию y = f( x) и соответствующую ей кривую. Возьмем
на кривой y = f( x) произвольную точку М( х, у). Проведем касательную к кривой в этой точке и обо-
значим угол между касательной и Ох через α. Дадим независимой переменной приращение Δ х, тогда
функция получит приращение Δ у = QM
1
.
Значению х + Δ х, у + Δ у на кривой
y = f( x)
будет
соответствовать
точка
М
1
( х + Δ х, у + Δ у).
Рассмотрим треугольник MQN:
QN = MQ
⋅tg α,
так как tg α = f( x) (геометрической смысл
производной)
MQ = Δ x => QN = f′( x)
⋅Δ x.
По
определению
дифференциала
f′( x)
⋅Δ x = dy. Таким образом QN = dy. Из ри-
сунка 2 следует, что NM
1
= Δ у – dy. Отноше-
ние
1
0
M N
NQ
→ , при Δ х→0. Итак, дифферен-
циал функции графически изображается
приращением ординаты касательной.
Дифференциалы высших порядков
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ II ПОРЯДКА (вторым дифференциалом) функции f( x) называется диф-
ференциал от дифференциала I порядка:
d
2
f( x) = d[ df( x)].
Аналогично определяется дифференциал III, IV, V... порядков.
Теорема. Дифференциал II порядка от данной функции равен произведению производной II по-
рядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной:
d
2
f( x) = f″( x) dx
2
, где dx
2
= ( dx)
2
.
Пример: Для сложной функции y = (1 + x
2
)
3
найти дифференциал III-го порядка d
3
y.
dy = 3
⋅2 x⋅(1 + x
2
)
2
⋅ dx;
dy = (6 x + 12 x
3
+ 6 x
5
) dx;
d
2
y = (6 + 36 x
2
+ 30 x
4
)d x
2
.
4.4. Приложения производной функции
− исследование функции с помощью производных;
− правило Лопиталя.
Исследование функции с помощью производных
Достаточный признак возрастания функции. Если f′( x) > 0 в каждой точке интервала, то функ-
ция f возрастает на данном интервале.
Достаточный признак убывания функции. Если f′( x) < 0 в каждой точке интервала, то функция f
убывает на данном интервале.
Схема исследования функции на возрастание, убывание функции.
1. Найти область определения функции f( x).
2. Найти производную функции f′( x).
Рис. 2.
17
3. Решить неравенство f′( x) > 0 методом интервалов, в случае определения промежутка возраста-
ния функции.
Для определения промежутка убывания функции решить неравенство f′( x) < 0.
Замечание. Для решения неравенств f′( x) < 0 и f′( x) > 0 удобно пользоваться обобщением метода
интервалов точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения
функции f на промежутки, в каждом из которых f′ сохраняет постоянный знак. Знак можно опреде-
лить, вычислив значение f′( x) в какой-нибудь точке промежутка.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не
существует, называют КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ этой функции.
Необходимое условие экстремума. Если точка х
0
является точкой экстремума функции f и в этой
точке существует производная f′, то она равна нулю: f( х
0
) = 0.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х
0
, а f′( x) > 0 на интервале
( а; х
0
) и f′( x) < 0 на интервале ( х
0
; b), то точка х
0
является ТОЧКОЙ МАКСИМУМА функции.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х
0
, а f′( x) < 0 на интервале
( а; х
0
) и f′( x) > 0 на интервале ( х
0
; b), то точка х
0
является ТОЧКОЙ МИНИМУМА функции.
При решении удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке х
0
производная меняет знак с плюса на минус, то х
0
есть точка максимума; если в точке х
0
производная
меняет знак с минуса на плюс, то х
0
есть точка минимума.
Схема полного исследования функции.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность функции.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти промежутки знакопостоянства.
5. Определить промежутки возрастания и убывания функции.
6. Найти точки экстремума.
7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика.
8. Найти точки перегиба графика.
9. Построение графика функции на основании предыдущих пунктов.
Правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций, бесконечно ма-
лых при х → а (или при х → ∞), можно рассматривать отношение их производных
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если про-
изводные f и φ существуют, т.е.:
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x
a
f x
f x
x
x
→
→
′
=
′
ϕ
ϕ
.
Применение правила Лопиталя бывает полезно комбинировать с преобразованиями, облегчаю-
щими разыскание предела.
Правило Лопиталя имеет силу также и для отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций, бесконечно больших
при х → а (или при х → ∞).
Правило Лопиталя приносит пользу лишь тогда, когда выражение
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
удается преобразовать
к более удобному виду легче, чем выражение
( )
( )
f x
x
ϕ
.
Тесты для самопроверки
1. Какие из приведенных терминов относятся к дифференциальному исчислению?
a) производная функции; d)
ускорение;
b) дифференциал функции;
e) интеграл.
c) скорость;
18
2. С какой целью в медицине применяются элементы дифференциального исчисления?
a) для определения скорости изменения во
многих медико-биологических процессах;
b) при работе с медицинской аппаратурой;
d) основные понятия дифференциального
исчисления необходимы для изучения
раздела «Линейная алгебра»;
c) понятие производной и дифференциала
необходимо будущему врачу;
e) элементы дифференциального исчисления
используются в курсе анатомии человека.
3. Среди приведенных утверждений укажите те, которые являются верными:
d) если точка х
0
является точкой экстремума
функции f и в этой точке существует про-
изводная f′, то она не равна нулю.
a) если в точке х
0
производная меняет знак с
плюса на минус, то х
0
есть точка макси-
мума;
b) если в точке х
0
производная меняет знак с
минуса на плюс, то х
0
есть точка мини-
мума;
c) если функция имеет дифференциал, то эта
функция не имеет производную;
e) дифференциал II порядка от данной
функции равен сумме производной II по-
рядка этой функции и квадрата диффе-
ренциала независимой переменной.
4. При применении правила Лопиталя для разыскания предела отношения
( )
( )
f x
x
ϕ
двух функций можно
рассматривать отношение их производных
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если
a) производные функций f и φ существуют;
b) выполняется условие f = 0 и φ ≠ 0;
c) выполняется условие f = φ = 0;
d) выполняется условие f ≠ 0 и φ=0;
e) производные функций f и φ равны нулю.
5. В чем заключается физический смысл первой производной?
a) функция s = f( t) есть уравнение прямоли-
нейного движения точки, то производная
s′ представляет собой скорость точки в
данный момент времени;
d) производная от пути s по времени t равна
мгновенному ускорению переменного
движения. В этом и состоит физический
смысл второй производной;
b) для функции y = f( x) ее производная для
каждого значения х равна угловому ко-
эффициенту касательной к графику
функции в соответствующей точке;
e) если скорость в момент времени t не равна
нулю, то производная дает приближенную
величину малого смещения точки.
c) физический смысл производной функции
графически изображается приращением
ординаты касательной;
6. Найти точки экстремума для изображенного графика функции:
a) max = (7; 7), (3; 0);
min = (3,5; 0,5);
b) max = (7; 7);
min = (3,5; 0,5);
c) max = (3; 0);
min = (3,5; 0,5);
d) max = (7; 7), (3; 0);
min — нет;
e) точек экстремума нет.
7. Определить производную функции f( x) = e
3sin x
:
a) e
3sin x
;
d) 3sin x e
3sin x
;
b) –3cos x e
3sin x
;
e) e
3cos x
.
c) 3cos x e
3sin x
;
8. В данное утверждение вставить вместо многоточия знак, чтобы получилось верное определение.
a) если f′( x) … 0 в каждой точке интервала, то
функция f возрастает на данном интервале;
d) для определения промежутка возрастания
функции решить неравенство f′( x) … 0;
b) если f′( x) … 0 в каждой точке интервала, то
функция f возрастает на данном интервале;
e) правило Лопиталя:
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x a
f x
f x
x
x
→
→
′
′
ϕ
ϕ
…
.
c) для определения промежутка убывания
функции решить неравенство f′( x) … 0;
19
9. Укажите формулу для вычисления производной сложной функции:
a) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)]
⋅φ′( x);
d) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)]: φ′( x);
b) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)] + φ′( x);
e) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)] – φ′( x).
c) ( f [φ( x)])′ = f′[φ( x)];
10. Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается мате-
матической моделью: y = t
2
2
t
e
−
, где время t > 0. Определите скорость и ускорение в зависимости от
времени:
a) v =
2
2
t
e
−
(1 – t
2
), a = –
2
2
t
e
−
( t
3
– 3 t);
d) v =
2
2
t
e
−
(1 – t
2
), a =
2
2
t
e
−
( t
3
–3 t);
b) v =
2
2
t
e
−
( t
2
–1), a = –
2
2
t
e
−
( t
3
+ 3 t);
e) v =
2
2
t
e
−
(1 + t), a = –
2
2
t
e
−
(2 + t);
c) v =
2
2
t
e
−
, a = –
2
2
1
2
t
e
−
;
Список рекомендуемой литературы по разделу
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 2001.
2. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. — М.: Просвещение, 1990.
3. Козин Я.Б. Сборник задач и упражнений по медицинской кибернетике. — Свердловск:
Полиграфист, 1978.
4. Кудрявцев В.Я., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1975.
5. Лобоцкая Н.Л, Морозов Ю.В., Дунаев А.А. Высшая математика. — Минск: Выш. шк.,
1987.
6. Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003.
Список литературы
1. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Педагогика, 1975. — 214 с.
2. Выготский Л.С. Педагогическая психология. — М.: Просвещение, 1996. — 278 с.
3. Щукина Г.И. Проблема познавательного в педагогике. — М.: Педагогика, 1971. — 351 с.
4. Вергасов М.В. Активизация мыслительной деятельности студентов в высшей школе. — Киев: Вища шк., 1979. — 174 с.
5. Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003. — 16 с.
С.Т.Каргин, У.И.Копжасарова
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова
Достарыңызбен бөлісу: |