РАБОТА С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
91 
В рабочую программу факультативного курса мы включаем обобщенные методы 
применения  теоретических  положений  углубленного  курса,  которые  вносят  вклад  в 
формирование  ключевых  компетентностей.  Они  помогают  осознавать  сущность 
предлагаемых для решения проблем и намечать пути их решения. 
Дистанционные  олимпиады  привлекают  внимание  учеников,  когда  они  уже 
достаточно вооружены и мотивированны. Тогда задачи дистанционных олимпиад – это 
тоже  самостоятельное  применение  методов  в  новых  условиях.  На  факультативах 
предполагалось  выделение  времени  на  разбор  заданий  текущих  олимпиад  и  новых 
методов  их  решения.  Это  формируется  как  принцип  открытости  конкретного 
содержания  модулей,  обеспечивающего  гибкость  и  вариативность  применения 
методов. Успешность в дистанционных олимпиадах – ориентир как для учителя, так и 
для  учащихся  по  уровню  подготовленности  и  конкурентоспособности,  а  также  по 
тематике рабочей программы. 
Программа курса олимпиадной подготовки в 9-11 классах разделена на 16 тем и 
опирается  на  ядро  пяти  физических  теорий,  лежащих  в  основе  углубленного  курса 
физики.  На  основе  принципа  генерализации  выделяется  теоретическое  ядро  тем  и 
обобщенные  методы  применения.  Это  своего  рода  универсальные  способы 
деятельности,  позволяющие  действовать  в  ситуациях  неопределенности,  когда  способ 
решения  олимпиадной  проблемы  нужно  сконструировать.  Основы  теории 
представляют  собой  относительно  завершенную  систему  знаний,  способную  к 
саморазвитию  в  процессе  решения  новых  проблем.  «Ничего  нет  практичнее  хорошей 
теории»  (Л.Больцман).  Знания  и  умения  в  процессе  их  применения  превращаются  в 
личностное достояние и ведут к развитию способностей и компетентностей. 
Практические  задания  в  темах  группируются  в  комплексы  вокруг  ключевых 
методов  применения.  Принцип  модульного  построения  нужен  для  «присвоения» 
метода  учеником  и  его  должного  обобщения.  Учащиеся  выполняют  несколько  задач 
модуля под руководством учителя. Здесь «зона ближайшего развития» (В.С.Выготский) 
определяется  контингентом  и  опытом  учеников.  Слишком  трудные,  как  и  слишком 
легкие  задания  не  способствуют  развитию.  Далее  ряд  олимпиадных  задач  в  модуле 
предлагается  для  самостоятельного  выполнения  на  занятии  и  дома.  Конструируя 
способ  решения  новой  проблемы,  ученик  обращается  к  предшествующему  опыту,  но 
теперь  уже  с  целью  выделения  необходимых  шагов  и  элементов  метода.  Метод 
получает  должное  обобщение,  когда  переносится  в  новые  условия.  Причем  это  не 
алгоритм,  применяемый  в  упражнениях,  а  элемент  компетентности,  т.е.  то,  что 
помогает действовать в ситуациях неопределенности. Шесть – восемь решенных задач 
модуля  переводят  метод  в  «зону  актуального  развития».  Он  получает  должное 
обобщение, происходит «присвоение» метода. Спустя некоторое время или при разборе 
задач  конкретной  олимпиады,  мы  снова  актуализируем  метод.  Ученики  должны 
выделить или распознать его востребованность в новой проблеме. Обобщенные методы 
можно считать метапредметными знаниями (знаниями о знаниях). Вместе с тем в них 
входят и ключевые следствия теории и способы их применения на практике, а также в 
систематических моделях. Например, как применяется теорема о движении центра масс 
или  законы  динамики  вращательного  движения  совместно  с  законами  сохранения, 
какие новые возможности для решения проблем они привносят. В конкретном задании 
это рассматривается как специфика, а в целом в подборке модуля обобщается в способ 
действия  и  входит  в  метод  применения.  Иногда  этот  способ  включает  два  этапа.  На 
первом  физические  закономерности  позволяют  получить  следствие  в  виде 
математической  модели,  выражающей  функциональную  зависимость  между 
величинами.  Второй  этап  требует  математического  анализа  полученной  зависимости 
для получения искомого результата. Таковы задачи на нахождение максимальных или 
минимальных  значений  функции,  на  применение  метода  пропорциональности 
дифференциалов,  на  применение  методов  анализа  колебательных  систем  и  другие. 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
92 
Названные методы универсальны и могут применяться в разных темах курса. Поэтому 
для  их  освоения  группируются  отдельные  модули  по  обобщенным  математическим 
методам. 
Ключевым  принципом  организации  занятий  олимпиадной  подготовки  является 
принцип  генерализации  учебного  материала.  Он  предполагает  рассмотрение 
физических проблем строить на базе ядра физической теории, получать выводы, связи, 
модели  на  основе  теории.  Поэтому  факультатив  планируется  для  классов  с 
углубленным  изучением  физики  и  математики,  т.е.  для  физико-математического 
профиля. В общеобразовательных классах программа построена по классам явлений. В 
таких условиях формировать функциональную грамотность проблематично. При смене 
парадигмы эти достижения методики преподавания физики были забыты. 
Без  теоретического  ядра  практикоориентированное  образование  не  приведет  к 
повышению функциональной грамотности и формированию компетентности. 
В  списке  литературы  содержится  вариант  программы  и  подборка  модулей 
олимпиадной  подготовки  с  решениями  и  комментариями.  В  них  прослеживается 
предметная  специфика  получения  теоретических  следствий,  математических  моделей 
решения проблем и в целом, необходимый начальный опыт. 
Есть  необходимость  остановиться  на  некоторых  методических  приемах, 
используемых для вовлечения учащихся в активное конструирование решения.  
Анализ  проблемы  и  условия  олимпиадной  задачи  позволяет  наметить 
дискурсивный  (пошаговый)  путь,  если  удается  разделить  ее  на  несколько  частей. 
Актуализируются  явления,  определения,  закономерности  и  приемы,  позволяющие 
продвинуться в решении или в понимании главной трудности. Далее под руководством 
учителя показывается то новое в теории, что определяет метод ее применения в данных 
условиях.  На  этой  основе  уточненный  механизм  явления  приводит  к  следствиям  или 
математической  модели.  Эвристическая  беседа  направляет  на  последующие  действия. 
Оцениваются  возможные  версии,  уточняются  и  развиваются  рациональные. 
Иллюстрируется,  как  разрешается  ключевое  затруднение.  Показывается  анализ 
математической модели и способ получения результата на ее основе. Этапы стратегии 
синтезируются  в  модель  решения.  Анализируется  обоснованность  и  полнота  модели, 
т.е.  можно  ли  на  получаемой  системе  уравнений  решить  поставленную  проблему. 
Иногда  требуются  дополнительные  математические  средства  или  приемы.  Они 
показаны в подборке модулей (см. указанную литературу). 
Выполнение  нескольких  задач  под  руководством  учителя  формирует 
ориентировочную основу для последующих самостоятельных действий. 
В олимпиадных задачах предварительно построенная модель может не отражать 
существенно новых моментов, но подводить к ним, к выстраиванию нового понимания. 
Задача  может  сначала  решаться  в  первом  приближении,  т.е.  без  учета  каких-либо 
значимых  факторов.  А  затем  модель  усложняется  добавлением  существенно  новых 
факторов,  необходимость  учета  которых  и  выводит  задачу  на  олимпиадный  уровень. 
Эти,  так  называемые  «капустные  задачи»,  позволяют  выстраивать  более  сложные 
модели и методы решения. 
В  модуле  подборка  задач  превышает  необходимый  минимум  для  решения  под 
руководством  учителя,  поскольку  их  количество  определяется  по  успешности 
учащихся. 
Рабочую  программу  факультативного  курса  приходится  планировать  с  учетом 
смешанного состава учащихся (9 и 10 класс, либо 10 и 11 класс). В этих случаях новые 
темы для одной параллели сочетаются с самостоятельной работой другой и наоборот. 
Можно  построить  занятие  с  разновозрастным  составом  и  по  одной  теме.  Тогда 
вначале,  после  актуализации  теоретических  положений  старшему  звену  предлагают 
показать  применение  метода  на  конкретной  задаче.  Далее  старшие  решают  новые 
задачи из модуля самостоятельно. 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
93 
Посильная  трудность  самостоятельной  работы  влияет  на  мотивацию  работы 
ученика.  Сконструированный  самостоятельно  способ  решения  проблемы  на  основе 
ключевого метода служит признаком его обобщения и «присвоенности». На этом этапе 
ученик  обращается  к  уже  решенным  задачам,  но  теперь  анализирует  способ  действия 
приводящий  к  решению  и  роль  ключевых  теоретических  положений  в  получении 
нужных связей и отношений. Задач в модуле должно быть достаточно для иллюстрации 
широты применения метода и отработки умения его применять. Хороший модуль учит 
в  принципе  на  основе  обобщенного  метода  строить  модель  и  способ  решения 
олимпиадных задач по теме. 
Продолжением  олимпиадной  подготовки  становится  участие  учеников  в 
дистанционных  олимпиадах.  Затруднения  и  проблемы  становятся  предметом  анализа 
на  факультативных  занятиях,  на  что  в  планировании  предусмотрены  часы.  Такая 
обратная  связь  демонстрирует  учащимся  их  реальный  рост,  конкурентоспособность. 
Успехом  всей  работы  можно  назвать  рост  уровня  мотивации  работы  ученика  до 
смыслообразующих мотивов учения и саморазвития. 
Для  учителей  физики  предлагаем  пример  конкретного  модуля  из  рабочей 
программы  по  механике.  С  содержанием  некоторых  других  модулей  можно 
познакомиться в публикациях автора. 
Пример модуля олимпиадной 
подготовки по физике 
Движение в гравитационном поле 
На  движение  тел  в  космическом 
пространстве 
определяющее 
влияние 
оказывают 
гравитационные 
взаимодействия,  описываемые  законом 
всемирного  тяготения.  Вместе  с  другими 
законами 
механики 
он 
позволяет 
объяснить  движение  планет  и  космических  аппаратов,  а  также  других  космических 
объектов. Закон всемирного тяготения и законы механики позволяют получить важные 
для описания движения тел следствия, называемые интегралами движения. 
Если  массы  взаимодействующих  тел  различаются  на  много  порядков,  то 
массивное  считают  центральным  притягивающим  телом.  Его  центр  масс  считают 
центром  тяготения,  с  которым  связывают  начало  радиуса  -  вектора,  описывающего 
движение другого тела в поле тяготения. В этом случае момент силы тяготения, в силу 
коллинеарности этой силы и радиуса-вектора, будет нулевым: 
 
0



F
r
M



 
 
Момент силы определяет быстроту изменения момента импульса. Отсюда следует 
постоянство  момента  импульса  тела,  т.е.  гравитационное  взаимодействие  момента 
импульса тела относительно центра тяготения не меняет. 
Момент импульса по определению 


v
m
r
L





 
или для модуля
 
 

sin
mvr
L


 
Тогда вывод можно записать: 


const
v
m
r




 (1) 
Момент  импульса  пропорционален  секториальной  скорости,  т.е.  площади 
ежесекундно  заметаемой  радиусом  -  вектором  движущейся  материальной  точки  и 
определяемой векторным произведением 


v
r
S
t





2
1
. Поэтому 
 
S
m
L


2

 
Отметим, что постоянство секториальной скорости планеты, движущейся в поле 
тяготения Солнца составляет содержание второго закона Кеплера. 
Назовем прицельным параметром длину перпендикулярного отрезка, опущенного 
из центра тяготения, на направление вектора импульса тела: 
sin
b
r
a
=
. Тогда интеграл 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
94 
площадей  или  второй  закон  Кеплера  для  двух  точек  траектории  можно  применять  в 
виде: 
1
1
0
0
b
b





 (1
1
) 
Консервативный  характер  поля  тяготения  позволяет  ввести  энергетическую 
характеристику поля и еще один интеграл движения, называемый интегралом энергии. 
Если  потенциальную  энергию  тела  вдали  от  центра  тяготения  принять  за  нулевой 
уровень,  то  потенциальная  энергия  гравитационного притяжения  отрицательна.  Тогда 
закон сохранения механической энергии тела, движущего в гравитационном поле, для 
двух  точек  его  траектории: 
2
2
0
1
1
0
2
2
mv
mv
Mm
Mm
G
G
r
r
-
=
-
.  Отсюда  второй  интеграл 
движения  или  интеграл  энергии.  Он  связывает  скорость  материальной  точки  с  ее 
удаленностью от центра тяготения. 
2
2
v
GM
const
r
-
=
. 
Применим его для оценки параболической скорости, т.е. минимальной скорости, 
необходимой  телу  на  заданном  расстоянии  от  центра  тяготения,  для  того,  чтобы  оно 
смогло  преодолеть  гравитационное  притяжение  и  покинуть  сферу  действия 
центрального притягивающего тела. Полагая, что при 


2
r
 
0
2


, из (2) получим: 
2
n
GM
v
r
=
. 
При скоростях тела меньших параболической тело движется относительно центра 
тяготения  по  эллиптической  орбите,  причем  центр  находится  в  фокусе  орбиты. 
Интеграл  энергии  для  эллиптической  орбиты  связывает  скорость  тела  на  заданном 
расстоянии  от  центра  тяготения  и  большую  полуось  a   этой  орбиты: 
2
2
1
(
)
r
v
GM
r
a
=
-
 
(3)  Это  более  общий  случай  интеграла  энергии.  Форма  и  размеры  орбит  тел 
определяются  начальной  скоростью.  Заметим,  что  из  него  следует  формула  как  для 
круговой скорости движения (при  a
r
=
), так и для параболической (при 


а
. 
Космический  аппарат  в  солнечной  системе  испытывает  гравитационное 
взаимодействие с Солнцем, планетами, другими телами. Учет влияния нескольких тел 
на траекторию полета затруднен. Приближенный расчет производят на основе метода 
сфер действия. 
Сферой действия тела массой m называют область пространства, внутри которой 
выполняется  условие 
g
g
g
g
1



,  где  g  и  g
1
,  -  гравитационные  ускорения  в  поле 
тяготения  тел  m  и  m
1
,  а 
g

  и 
1
g

возмущающие  ускорения  со  стороны  m
1
  и  m 
соответственно.  Возмущающее  ускорение  –  это  геометрическая  разность  ускорений, 
вызванных  гравитационным  воздействием  второго  тела  на  первое  и  второго  тела  на 
космический аппарат. 
Применение метода поясним на примере космического аппарата, выводимого на 
околосолнечную  орбиту.  В  пределах  сферы  действия  Земли  работа  по  преодолению 
гравитационного притяжения Земли определяет убыль кинетической энергии аппарата. 
Скорость  аппарата  при  выходе  из  сферы  действия  Земли  относительно  нее  называют 
дополнительной.  В  сумме  с  орбитальной  скоростью  самой  Земли  дополнительная 
скорость определяет гелиоцентрическую скорость космического аппарата на заданном 
расстоянии  от  Солнца  и  в  соответствии  с  интегралом  энергии  (3)  большую  полуось 
гелиоцентрической орбиты (М – масса Солнца). 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
95 
Закон  сохранения  энергии  связывает  дополнительную  скорость  со  стартовой: 
2
2
2
2
ст
доп
mv
mv
Mm
G
r
-
=
  и  так  как 
2
2
n
mv
GMm
r
=
,  то 
2
2
2
доп
ст
n
v
v
v
=
-
,  где 
n
v   - 
параболическая скорость для Земного тяготения. 
Ряд  проблем  движения  в  гравитационном  поле  решается  на  основе  3  закона 
Кеплера,  связывающего  период  обращения  тела  по  эллиптической  орбите  с  большой 
полуосью  этой  орбиты.  Его  обоснование  легко  провести  на  примере  кругового 
движения 
планеты 
в  поле 
тяготения 
Солнца 
из 
предположения, 
что 
центростремительное ускорение орбитального движения обусловлено гравитационным 
взаимодействием  планеты  с  Солнцем.  По  2  закону  Ньютона: 
2
0
2
2
4
r
m
GM
r
T
m




, 
откуда 
2
0
2
3
4

GM
T
r

 (4) 
Правая часть выражения (4) одна и та же для планет солнечной системы, откуда 
следует равенство левых частей, т.е. 3 Закон Кеплера для круговых орбит. 
Ньютон внес уточнение для относительного ускорения взаимодействующих тел и 
обобщил  его  на  движение  по  эллипсу.  В  результате  было  получено  соотношение, 
универсальное для любых гравитационных систем, объединенных полем тяготения: 
2
1
1
2
1
3
1
4
)
(

G
m
M
T
a


, откуда 
3
3
1
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)
a
a
T
M
m
T M
m
=
+
+
 (5) 
Здесь 
1
a   и 
2
a   –  большие  полуоси  орбит  тел.  Полученное  выражение  позволяет 
определить массы небесных тел. 
Рассмотрим применение полученных соотношений на конкретных примерах. 
Задача  1.  Однородный  поток  метеоритов,  в  котором  масса  частицы  m
0
  и 
концентрация  n,  движется  навстречу  Земле  с  относительной  скоростью  сближения  на 
значительном  расстоянии  от  Земли  v
0
.  Найти  массу  метеоритного  вещества, 
выпадающего на Землю за время t. 
Решение: Пусть r
0
 – прицельный параметр, т.е. максимальная удаленность частиц 
от оси потока, при которой траектория частицы, искривляясь в поле тяготения Земли, 
коснется  ее  поверхности.  Скорость  такой  частицы  в  перицентре  орбиты 
перпендикулярна  радиусу-вектору,  равному  радиусу  Земли.  Запишем  законы 
сохранения  момента  импульса  и  энергии  для  двух  состояний  частицы  с  прицельным 
параметром r
0
. 
1
0
3
0
0
0
v
m
R
v
m
r

 
 
Если учесть что, что 
0
2
3
GMm
g
R
=
, т.е. ускорению  
==> свободного падения на поверхности Земли, то 
2
2
0 0
1
3
2
2
m v
mv
GMm
R
=
-
 
 
3
0
2
0
2
1
2
R
g
v
v


 
Тогда для прицельного параметра получим: 
2
0
3
0
3
0
2
1
v
R
g
R
r



 
Масса  выпадающего  вещества  определяется  объемом  захватываемого  потока  с 
радиусом сечения r
0
. 
t
r
n
m
m
0
2
0
0




 и после подстановки: 
t
gR
R
n
m
m
0
2
0
3
2
3
0
)
2
1
(







 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
96 
Задачи 2. Спутник, двигавшийся по круговой орбите радиуса R
с
, был заторможен 
и стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности планеты радиусом 
R
n
. Определить время падения спутника на планету. 
Решение:  Траектория  падения  спутника  –  полуэллипс,  поэтому  время  падения 
составит  половину  периода  движения  спутника  по  новой  эллиптической  орбите  с 
большой полуосью 
2
n
c
R
R
a


 
2
2
T


. 
Периоды  кругового  и  эллиптического  движения  спутника  связаны  третьим  законом 
Кеплера: 
3
2
1
3
2
2
c
R
T
a
T

 
3
2
2
2
1
3
c
a
T
T
R
=
 
Так  как  центростремительное  ускорение  кругового  движения  обусловлено  силой 
всемирного тяготения, то 
2
2
1
2
4
c
c
R
GM
R
T


, откуда 
GM
R
T
c
2
3
2
1
4


, 
3
2
2
2
4
a
GM
T



 
и время падения 
GM
R
R
R
R
n
c
n
c
2
)
(
2





 
Задача  3.  Спутник  движется  по  круговой  орбите  на  высоте  h  от  поверхности 
планеты  радиусом  R  и  массой  М.  Его  переводят  на  эллиптическую  орбиту  с 
максимальным  удалением  Н  и  минимальным  h.  На  сколько  надо  изменить  скорость 
спутника? Каким будет период обращения спутника по новой орбите? 
Решение: Скорость спутника в любой точке эллиптической орбиты определяется 
интегралом энергии: 
)
1
2
(
a
r
GM
v
r


 Так как 
r
R
h
=
+
 и скорость кругового движения была 
h
R
GM
v


1
,  то 
a
h
R
v
v
r



2
1
  Большая  полуось  новой  орбиты 
2
h
H
R
a



 
Отсюда 
прирост 
скорости 
для 
выхода 
на 
новую 
орбиту 
)
1
2
)
(
2
2
(
1
1









h
H
R
h
R
r




 или 
)
1
2
)
(
2
2
(









h
H
R
h
R
h
R
GM

 
По третьему Закону Кеплера периоды обращения спутника  
3
3
2
2
2
1
)
(
a
h
R
T
T


 Для кругового движения 
GM
h
R
T
3
1
)
(
2



. 
Новый период 
GM
a
a
T

2
2

 или 
GM
h
H
R
h
H
R
T
2
2
)
2
(
2






 
Задача 4. Два одинаковых тела движутся вокруг Земли в одном направлении по 
касающимся  траекториям.  Первое  движется  по  окружности  радиуса  R.  Второе  тело 
имеет  вдвое  больший  период  обращения  по  сравнению  с  первым.  Они  стыкуются. 
Определить апогейное расстояние образовавшейся орбитальной станции. 
Решение:  Первый  спутник  движется  с  круговой  скоростью 
R
GM
v

1
.  Второй 
перед стыковкой находится в перигее орбиты, его скорость в этот момент определяется 
интегралом  энергии: 
)
1
2
(
2
a
R
GM
v


.  Большая  полуось  орбиты  этого  спутника  по 
третьему закону Кеплера и условию задачи 
2
3
2
1
1
(
)
(
)
T
a
T
R
=
; 
R
a


3
1
4
. 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
97 
Скорость после стыковки на основе закона сохранения импульса для неупругого 
удара: 
3
2
1
2 v
m
v
m
v
m


. После подстановки 
3
3
4
1
2
1
(
2
1



R
GM
v
).  
Эта  скорость  по  интегралу  энергии  определит  большую  полуось  новой  орбиты. 
2
3
2
a
R
R
GM
v



. 
Приравнивая и сокращая, получим 
)
4
1
2
1
(
2
1
2
3
2




a
R
. 
Откуда для большой полуоси новой орбиты получим. 
2
2
3
4
1
8
(1
2
)
4
R
a =
-
+
-
 
Апогейное расстояние: 
R
a
r
a


2
2
 
Задача  5.  Задача  5.  Спутник  обращается  вокруг  Луны  по  круговой  орбите 
радиусом R 
м
R
6
10
4
,
3


. От спутника отстыковывается модуль, который опускается 
на  поверхность  Луны  по  полуэллиптической  орбите.  Какую  скорость  относительно 
спутника модуль должен иметь в момент отделения? Ускорение свободного падения на 
поверхности  Луны  в  6  раз  меньше,  чем  на  поверхности  Земли.  Радиус  Луны 
м
R
Л
6
10
7
,
1


. 
Решение.  Полуэллиптическая  орбита  модуля  будет  иметь  большую  полуось 
1
(
)
1, 5
2
л
Л
a
R
R
R
=
+
=
  
Скорость модуля в апоцентре орбиты определяется интегралом энергии: 
a
R
R
GM
m



2

  
Скорость кругового движения самого спутника: 
R
GM
v
c

 
Искомая  относительная  скорость  отделяемого  модуля  определится  разностью 
скоростей 
отн
c
n
v
v v
= -
; 
)
2
1
(
a
R
v
v
c
отн



 
Выразим круговую скорость через ускорение свободного падения на поверхность 
Луны: 
л
c
R
R
g
v


0
, 
)
3
4
2
1
(
0




л
отн
R
R
g
v
     

 
отн
 = 212 м/с 
Задача  6.  Требуется  вывести  космический  аппарат  на  орбиту  вокруг  Солнца  с 
перигелием  0,01  радиуса  земной  орбиты  и  периодом,  равным  периоду  обращения 
Земли  вокруг  Солнца.  С  какой  скоростью  и  в  каком  направлении  относительно 
радиуса-вектора  Солнце-Земля  нужно  запустить  аппарат  с  Земли?  Орбитальная 
скорость Земли 30 км/с. 
Решение:  Равенство  периодов  обращения  Земли  и  аппарата  дает  следствием 
третьего  закона  Кеплера  равенство  больших  полуосей  орбит.  Тогда,  в  соответствии  с 
интегралом энергии гелиоцентрическая скорость аппарата после преодоления земного 
тяготения и выхода из сферы действия Земли, по модулю должна равняться круговой 
скорости Земли. 
Получить  эллиптическую  орбиту  в  этих  условиях  можно,  если  скорость 
космического аппарата образует непрямой угол с радиусом-вектором. Для оценки угла 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
98 
воспользуемся законом сохранения момента импульса. Приравняем моменты импульса 
аппарата для точки выхода на орбиту и для перицентра этой орбиты 
n
n
m
r
m
r





sin
1
 откуда 
1
sin
n n
r v
rv
a =
 
Скорость в перицентре по интегралу энергии  
0
1
2
(
1)
199
0, 01
n
GM
v
v
r
=
-
=
  Подставляя  числа,  получим 
sin
0,14
8
и
a
a
=
=
°. 
Изменение направления скорости аппарата относительно орбитальной скорости Земли 
потребует  дополнительной  скорости 
1
3








доп
.  Применяя  теорему  косинусов  для 
треугольника скоростей, получим 
)
cos
1
(
2
1








доп
или 
1
0.126
доп
v
v
=
. 
Дополнительная  скорость  при  векторном  сложении  с  орбитальной  скоростью 
Земли  дает  гелиоцентрическую  скорость  аппарата,  необходимую  для  требуемой 
орбиты. 
При  старте  с  Земли  требуется  учесть  энергию,  необходимую  для  преодоления 
земного  тяготения.  С  учетом  убыли  кинетической  энергии  при  преодолении  земного 
тяготения: 
2
2
2
2
2
2
доп
n
ст
mv
mv
mv


 
2
2
2
ст
n
доп
v
v
v
=
+
 
Проводя вычисления, получим 
n
ст 
= 11,82 км/с 
Задача  7.  Вокруг  Солнца  по  орбите  Земли  обращается  спутник  массой  100кг.  В 
некоторый момент спутник открывает солнечный парус  – зеркальную пленку радиуса 
70м. Во время полета парус меняет свою ориентацию таким образом, что его плоскость 
всегда перпендикулярна направлению на Солнце. Найти период обращения спутника с 
открытым  парусом.  Орбиту  Земли  можно  считать  круговой,  влиянием  планет 
пренебречь. Светимость Солнца 
26
10
86
,
3

Вт, масса Солнца 
30
10
2

кг. 
Решение.  При  открытом  парусе  на  спутник  действует  сила  светового  давления, 
направленная против силы солнечного притяжения. Оценим ее по изменению импульса 
ежесекундно отражаемых фотонов. Изменение импульса фотона 
0
0
2 p
p


, а импульс 
связан с энергией: 
c
p
E


0
0
. Поэтому сила светового давления связана с мощностью 
потока солнечного излучения, падающего на парус W
t
. 
2
t
св
W
F
c
=
.  Эта  мощность  составляет  такую  долю  светимости  Солнца,  какую 
площадь  паруса  составляет  от  площади  сферы  с  радиусом,  определяемым 
удаленностью от Солнца: 
2
2
4 r
R
L
W
n



. Тогда 
2
2
2
r
c
LR
F
n
c


. 
В  новых  условиях  движение  спутника  определяется  равнодействующей  сил 
тяготения 
и 
светового 
давления.Эта 
равнодействующая 
также 
обратно 
пропорциональна квадрату расстояния от Солнца: 
2
2
0
2
r
c
LR
m
GM
F
n



 
В  интеграл  энергии  надо  внести  поправку,  учитывающую  влияние  светового 
давления на эффективную потенциальную энергию спутника: 
)
1
2
(
)
2
(
2
0
a
r
cm
LR
GM
cn
n





 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
99 
До раскрытия паруса скорость спутника была круговой 
r
GM
v
r
=
 
Отсюда большая полуось новой орбиты 
2
2
2
2
n
n
LR
GcMm
LR
cGMm
r
a




 
Периоды обращения спутника в исходных условиях Т
1
 и с раскрытым парусом Т
2
 
выразим из основного уравнения динамики. 
GM
T
T
2
3
1
2
1
4


   и
cm
LR
GM
a
T
n
2
4
2
2
3
2
2



 
 
  
Поэтому из отношения 
cGMm
LR
r
a
T
T
n
2
1
1
2
3
2
1
2















 
Приближенная оценка дает Т
2

2 года 
Задача  8.  При  вхождении  в  сферу 
действия планеты массой М – космическое 
тело имело относительно нее скорость v
0
 и 
прицельное  расстояние  b.  На  каком 
минимальной  расстоянии  пройдет  тело  от  планеты  и  на  какой  угол  изменит  скорость 
тела гравитационное поле планеты? 
Решение:  При  заданном  условии  орбита  астероида  гиперболическая,  причем 
центр  тяготения  С  –  в  одном  из  фокусов  гиперболы.  Начальная  и  конечная  скорости 
тела  направлены  по  асимптотам  этой  гиперболы.  Расстояние  от  центра  тяготения  до 
асимптоты – прицельное (b). В точке минимального сближения А расстояние до центра 
тяготения  r
1
,  и  скорость  тела  перпендикулярна  направлению  на  центр  тяготения. 
Воспользуемся законами сохранения энергии и момента импульса для двух состояний: 
2
2
0
1
1
2
2
mv
mv
GMm
r
=
-
 
 
 
  
 => 
1
0
1
b
v
v
r
=
 
0
1 1
mv b
mv r
=
 
2
0
2
1
2
1
2
1
2




r
r
b
r
GM
 
 
2
2
1
2
0
1
2
b
r
GM
v
r
-
=
 (1) 
Это  выражение  определяет  расстояние  минимального  сближения  как  функцию 
начальной скорости и прицельного расстояния. 
Угол  разворота  тела  гравитационным  полем  планеты  –  это  угол  между 
асимптотами  гиперболы  j (см.  чертеж).  Точка  пересечения  асимптот  О  равноудалена 
от фокусов гиперболы С и С
1
. Расстояние между фокусами определяется прицельным 
расстоянием: 
)
2
/
cos(
2
1

b
CC

. 
Для любой точки гиперболы разность расстояний этой точки от фокусов остается 
неизменной. Для ближайшей к центру тяготения точки орбиты эта разность: 
1
1
2
)
2
/
cos(
2
r
b
CA
A
C




 (2) 
Для  удаленной  точки  орбиты  направления  на  фокусы  становятся  практически 
параллельными, 
и 
разность 
расстояний 
)
2
(
2

tg
b
r



 
Приравниваем: 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 2 2014 ж. 
Педагогический поиск №2 2014 г. 
100 
1
2
)
2
/
cos(
2
)
2
(
2
r
b
tg
b





  и  получим: 
1
2
1
2
2
)
2
(
br
r
b
tg



  (4).  Воспользуемся  выражением 
(1) 
2
0
2
2


GM
tg

          
2
0
2


b
GM
arctg

 
Модуль  скорости  относительного  движения,  с  которой  тело  покидает  сферу 
действия  планеты  остается  таким  же  как  и  на  входе.  Однако,  гелиоцентрическая 
скорость,  как  векторная  сумма  относительной  скорости  тела  и  орбитальной  скорости 
самой  планеты,  может  изменяться  значительно,  что  учитывают  в  программе 
межпланетных полетов космических аппаратов. 

жүктеу/скачать 6,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: