Практикум по алгебре

86 
2. 
H
=
{
z
∈
C
*
: 
|
z
|
=
1}, 
L
=
R
*
+
. 
3. 
H
=
R
*
, 
L
=
{
z
∈
C
*
: 
|
z
|
=
1}. 
4. 
H
– 
множество
ненулевых
комплексных
чисел
, 
изображаемых
точками
осей
координат
, 
L
=
{
z
∈
C
*
: 
|
z
|
=
1}. 
5. 
H
– 
множество
ненулевых
комплексных
чисел
, 
изображаемых
точками
лучей
ϕ
 =
k
3
π
2
,
k =
0, 1, 2, 
L
=
{
z
∈
C
*
: 
|
z
|
=
1}. 
6. 
H
– 
множество
ненулевых
комплексных
чисел
, 
изображаемых
точками
лучей
ϕ
=
k
3
π
,
k = 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 
L
=
{
z
∈
C
*
: 
|
z
|
=
1}. 
Задание
 11 
А
. 
Выписать
все
элементы
множества
n
1 . 
Б
. 
Разбить
множество
n
1
на
подмножества
, 
состоящие
из
элементов
, 
имеющих
один
и
тот
же
порядок
. 
В
. 
Составить
многочлен
деления
круга
Ф
n
(
х
). 
Г
. 
Доказать
, 
что
Ф
n
(
x
) 
∈
Z
[
x
] 
при
любых
натуральных
n 
1.
 
n =
9.
2.
n =
10.
3.
n =
12.
4.
n =
14.
5.
n =
15.
6.
n =
18. 
Задание
 12 
1. a) 
Пусть
точки
, 
изображающие
числа
0, 
z
1
, 
z
2
, 
не
лежат
на
одной
прямой
. 
Изо
-
бразить
геометрически
множество
чисел
z =
λ
z
1
+(2
λ
+5)
z
2
, 
где
λ∈
R
. 
б
) 
Решить
уравнение
(
x
+1)
n
– (
x
–1)
n
=
0. 
2. a) 
Изобразить
геометрически
множество
комплексных
чисел
z, 
удовлетво
-
ряющих
условию
ϕ
ϕ
sin
cos
2
1
i
z
z
z
z
+
=
−
−
, 
где
z
1
и
z
2
— 
фиксированные
ком
-
плексные
числа
, 
а
ϕ∈
R
. 
б
) 
Решить
уравнение
(
x
+1)
n
+ (
x
–1)
n 
=
0. 
3. a) 
Изобразить
геометрически
множество
комплексных
чисел
z
=
it
it
−
+
1
1
, 
где
t
∈
R
. 
б
) 
Решить
уравнение
(
x
+1)
n
+ (
x
–1)
n
=
0. 
4. 
а
) 
Изобразить
геометрически
множество
z 
комплексных
чисел
, 
удовлетворяю
-
щих
условию
λ
2
1
=
−
−
z
z
z
z
, 
где
z
1
, 
z
2
∈
C
, 
λ∈
R
*
+
— 
фиксированные
числа
. 
б
) 
Найти
все
числа
, 
комплексно
сопряженные
своей
n
- 
й
степени
. 
5. a) 
Доказать
, 
что
точки
плоскости
, 
соответствующие
комплексным
числам
z
1
, 
z
2
, 
z
3
, 
лежат
на
одной
прямой
тогда
и
только
тогда
, 
когда
существуют
λ
1
, 
λ
2
, 
λ
3
∈
R
, 
не
все
равные
нулю
, 
такие
, 
что
λ
1
z
1
+
λ
2
z
2
+
λ
3
z
3
=
0 
и
λ
1
+
λ
2
+
λ
3 
=
0.

87 
б
) 
Доказать
, 
что
|
z
|
=
1 
тогда
и
только
тогда
, 
когда
z
может
быть
представлен
в
виде
z =
c
c
для
некоторого
с
∈
С
 
(
здесь
c
— 
число
, 
комплексно
сопря
-
женное
c
). 
6. 
а
) 
Доказать
, 
что
точки
плоскости
, 
соответствующие
различным
комплексным
числам
z
1
, 
z
2
, 
z
3
, 
лежат
на
одной
прямой
тогда
и
только
тогда
, 
когда
число
R
∈
−
−
3
2
3
1
z
z
z
z
. 
б
) 
Доказать
, 
что
все
корни
уравнения
ai
ai
ix
ix
n
−
+
=






−
+
1
1
1
1
, 
где
n
∈
N
, 
a
∈
R
, 
дейст
-
вительны
и
различны
. 
Задание
 13.
Доказать
: 
1. 
а
) 
1
3
2
0
2
...
−
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
,
если
n
четно
. 
б
) 
1
1
2
3
2
1
3
2
...
2
3
2
2
−
−
⋅
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
nC
C
C
C
. 
в
) 
2
sin
2
sin
2
1
sin
sin
...
2
sin
sin
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
n
n
n
⋅
+
=
+
+
+
. 
2. a) 
1
5
3
1
2
...
−
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
, 
если
n
нечетно
. 
б
) 
1
1
1
1
3
1
2
1
)
1
(
...
2
1
0
+
+
=
−
+
−
+
−
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
. 
в
) 
2
)
1
(
2
sin
cos
...
2
cos
cos
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
+
+
+
n
n
. 
3. a) 
.
3
3
2
2
1
0
3
2
...
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
=
+
+
+
+
+
б
) 
.
2
...
2
2
2
1
1
1
3
1
1
3
1
2
1
1
3
2
2
1
0
+
−
+
+
=
+
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
в
) 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
2
cos
cos
2
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
C
C
. 
4. a) 
1
3
2
1
2
...
3
2
−
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
nC
C
C
C
. 
б
) 
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
4
3
...
3
3
2
2
1
0
=
+
+
+
+
. 
в
) 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
2
sin
cos
2
)
1
sin(
...
2
sin
sin
1
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
C
C
. 
5. a) 
0
)
1
(
...
3
2
1
3
2
1
=
−
+
−
+
−
−
n
n
n
n
n
n
nC
C
C
C
. 
б
) 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
2
3
...
3
3
3
0
1
2
2
1
1
=
+
−
−
+
−
−
−
−
−
, 
если
n
четно
. 
в
) 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
2
sin
)
1
cos(
2
cos
...
2
cos
cos
2
2
2
n
n
n
n
⋅
+
+
=
+
+
+
. 
6. a) 
1
1
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
...
+
−
+
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
. 
б
) 
!
2
)!
1
(
1
...
)!
5
(
!
5
1
)!
3
(
!
3
1
)!
1
(
!
1
1
1
n
n
n
n
n
n
−
=
−
+
+
−
+
−
+
−
. 

88 
в
) 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
2
sin
)
1
cos(
2
2
sin
...
2
2
sin
2
sin
n
n
n
n
⋅
+
−
=
+
+
+
. 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: