Практикум по алгебре
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задание 15
- Задание 16.
- Задание 17
- Задание 18.
- Задание 19
| Задание
14 1. Доказать , что скалярные матрицы и только они перестановочны со всеми квадратными матрицами порядка n . 2. Доказать , что любая квадратная матрица либо обратима , либо является ле - вым и правым делителем нуля . 3. Доказать , что диагональные матрицы и только они перестановочны со всеми диагональными матрицами . 4. Доказать , что произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда , когда эти матрицы перестановочны . 5. Доказать , что скалярные матрицы и только они перестановочны со всеми не - вырожденными матрицами порядка n . 6. Доказать , что произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда , когда эти мат - рицы перестановочны . Задание 15 1. Доказать , что r ( fg ) ≤ min{ r ( f ), r ( g )}. 2. Доказать , что r ( f + g ) ≤ r ( g )+ r ( g ). 3. Доказать , что d ( fg ) ≤ d ( f )+ d ( g ). 4. Доказать , что max{ d ( f ), d ( g )} ≤ d ( fg ). 5. Доказать , что fg = 0 ⇒ r ( f )+ r ( g ) ≤ dim V . 6. Доказать , что r ( f ) = 1 ⇒ ( ∃ ! α )( f 2 = α f ). Задание 16. Пусть V = U ⊕ W . Если x ∈ V , x = a + b , где a ∈ U , b ∈ W , то отображение f : V → V , определяемое правилом f ( x ) = a , называется проектированием пространства V на подпространство U параллельно подпространству W или , короче , проектором . А . Доказать , что f линейный оператор . Б . Пусть f линейный оператор . Доказать , что f проектор , тогда и только тогда , когда f 2 = f . В . 1. f проектор ⇔ ε V – f проектор . При этом Im f = Ker ( ε V – f ). 2. f проектор ⇔ Im f = { x : f ( x ) = x }. 3. Если f и g проекторы , то Im f = Im g ⇔ fg = g ∧ gf = f . 4. Если f и g проекторы , то Ker f = Ker g ⇔ fg = f ∧ gf = g . 5. Если f и g проекторы , то f + g проектор ⇔ fg = gf = 0 . 6. Если f и g проекторы , то f – g проектор ⇔ fg = gf = 0 . 89 Задание__17'>Задание 17 Определение 1. Пусть V n - мерное евклидово пространство . Линейный оператор ϕ : V → V называется изометрией , если ϕ сохраняет длину векто - ра : |ϕ ( х ) | = | х | . Определение 2. Квадратная матрица А называется ортогональной , если выпол - няется равенство t АА = Е . Доказать : 1. Строки матрицы образуют ортонормированное множество ⇔ столбцы мат - рицы образуют ортонормированное множество ⇔ матрица ортогональна . 2. Пусть V евклидово пространство , Е = { e 1 , e 2 , ..., e n } ортонормированный базис V, ϕ евклидов изоморфизм . Доказать , что матрица М Е ( ϕ ) ортогональная . 3. Пусть Е = { e 1 , e 2 , ..., e n } ортонормированный базис евклидова пространства V , ϕ линейный оператор V , матрица которого ортогональная . Доказать , что ϕ евклидов изоморфизм . 4. Всякий евклидов изоморфизм является изометрией . 5. Всякая изометрия является евклидовым изоморфизмом . 6. Если ϕ : V → V отображение евклидова пространства , сохраняющее длину век - тора , то : 1) ϕ линейный оператор ; 2) ϕ евклидов изоморфизм . Задание 18. Пусть А квадратная матрица порядка n . Доказать равносильность следующих утверждений о мат - рице . 1. а ) А невырожденная матрица ; система линейных уравнений АХ = b совместна при любых b ; число 0 не является собственным значением матрицы А . б ) А вырожденная матрица ; существует матрица В такая , что r ( AB ) ≠ r ( B ). 2. a) А –1 существует ; если система линейных уравнений АХ = b совместна , то она имеет единственное решение ; столбцы матрицы А линейно независимы . б ) det A = 0; существует вектор b такой , что система линейных уравнений АХ = b неразрешима . 3. а ) Если A = М ( ϕ ), то dim Im ϕ = n ; система линейных уравнений АХ = b имеет единственное решение при любых b . б ) r ( A ) < n ; число 0 является собственным значением матрицы А ; А является левым и правым делителем нуля . 4. а ) Строки матрицы А линейно независимы ; система линейных уравнений АХ = θ имеет единственное решение . б ) Столбцы матрицы А линейно зависимы ; если А = М ( ϕ ), то Ker ϕ ≠ θ ; суще - ствует вектор b такой , что система линейных уравнений АХ = b имеет бо - лее одного решения . 5. a) det A ≠ 0; существует линейно независимая система n векторов b 1 , b 2 , ..., b n такая , что каждая система линейных уравнений АХ = b k , k = 1, 2,..., n , раз - решима . б ) А –1 не существует ; если А = М ( ϕ ), то ϕ не является сюръекцией ; система линейных уравнений АХ = θ имеет более одного решения . 90 6. а ) r ( A ) = n ; если А = М ( ϕ ), то Ker ϕ = θ ; существует вектор b такой , что сис - тема линейных уравнений АХ = b имеет единственное решение . б ) Строки матрицы А линейно зависимы ; существует ненулевая матрица В такая , что АВ = 0. Задание 19 А . Является ли кольцом алгебра 〈 A ; +, •〉 ? 1. А = R × R ; сложение покоординатное , ( а , b ) • ( с , d ) = ( ac , ad+b ). 2. А = R × R ; сложение покоординатное , ( а , b ) • ( с , d ) = ( ac, bc+d ). 3. A = { f : R → R | f ( x ) = ax+b }; сложение поточечное , ( f • g )( x ) = f ( g ( x )). 4. A = { f : R → R | f ( x ) = ax+b }; сложение поточечное , ( f • g )( x ) = g ( f ( x )). 5. A = { f : R → R }; сложение поточечное , ( f • g )( x ) = g ( f ( x )). 6. A = { f : R → R }; сложение поточечное , ( f • g )( x ) = f (g ( x )). Ответы на следующие два вопроса дать после сравнения алгебр . Б . Являются ли некоторые из данных алгебр подалгебрами других данных алгебр ? В . Имеются ли среди данных алгебр изоморфные ? антиизоморфные ? жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|