1 I. Основы теории массового обслуживания

Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
1 
Оглавление 
Глава 1. Моделирование систем массового обслуживания ................................................................... 1 
I.
 
Основы теории массового обслуживания .............................................................................. 1 
II.
 
Основные понятия СМО ..................................................................................................... 4 
III.
 
Классификация СМО .......................................................................................................... 7 
IV.
 
Показатели эффективности СМО....................................................................................... 8 
V.
Потоки событий (заявок) ........................................................................................................ 9 
V.1.
 
Пуассоновский поток ..................................................................................................... 10 
V.2.
 
Пример АЗС .................................................................................................................... 15 
V.3 Потоки Эрланга
................................................................................................................... 23 
 
Глава 1. Моделирование систем массового обслуживания 
I. 
Основы теории массового обслуживания 
Большой класс систем, которые сложно изучать аналитическими способами, но 
которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, 
сводится к СМО (системам массового обслуживания). 
ТМО рассматривает математические модели систем, призванных обслуживать 
случайно возникающие требования. 
Основоположником теории МО считается датский ученый А.К. Эрланг (1878 – 
1929). Являясь сотрудником копенгагенской телефонной компании, он 
опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные 
переговоры», в которой решил ряд задач по теории СМО с отказами. 
Значительный вклад в создание и разработку общей теории МО внес 
выдающийся советский математик А.Я. Хинчин (1884-1959), который 
предложил сам термин «теория массового обслуживания». В зарубежной 
литературе чаще используется название «теория очередей». 
ТМО – это раздел теории вероятностей, целью исследования которого является 
рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса 
обслуживания на основе изучения:

Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
2 
а) потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и 
выходящих из неё; 
б) длительности ожидания; 
в) длины очередей. 
ТМО нашла применение при решении множества различных задач, что 
является следствием существования многих типов систем обслуживания 
случайно приходящих требований. 
В качестве примеров СМО в финансово-экономической среде можно привести 
системы, представляющие собой:
1) банки; 
2) страховые организации; 
3) налоговые инспекции; 
4) аудиторские службы. 
В сфере производства и обслуживания:
1) различные системы связи (в том числе телефонные станции); 
2) погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции); 
3) АЗС; 
4) магазины; 
5) парикмахерские; 
6) билетные кассы; 
7) пункты обмена валюты; 
8) ремонтные мастерские; 
9) больницы (прием пациентов в клиниках); 
10) 
регулирование переключения светофоров. 
Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки
int; транспортные системы; автоматизированные производственные участки; и
в военной области: системы противовоздушной или противоракетной обороны 
также могут рассматриваться как своеобразные СМО. Несмотря на кажущееся 
различие всех перечисленных выше задач, они имеют дело со следующей 
ситуацией: «требование» поступает в «счетчик», фиксирующий его приход, и 
требует обслуживания. Если обслуживающий прибор занят другим 
требованием, вновь прибывшее требование должно или ждать его 
освобождения (до полного освобождения, либо некоторое ограниченное время), 
или уходит, т.е. «теряется». В это время на обслуживание могут поступать 
другие требования. Если требования поступают в то время, когда прибор занят, 

Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
3 
они образуют очередь или линию ожидания. Здесь мы употребляем термины 
«требования», «счетчик» и «прибор» в их самом общем смысле. В каждом 
частном случае эти термины можно определить более точно. Например, в 
задачах телефонии «счетчиком» называется телефонная станция, «требование» 
– поступающий вызов, а «обслуживающий прибор» – телефонная линия или 
канал. 
Для того чтобы описать СМО, необходимо задать следующие ее компоненты:
1) входной поток; 
2) дисциплину очереди; 
3) механизм обслуживания. 
Обобщенная схема СМО приведена на рис. 1: 
Пример. СМО: автобусный маршрут. Заявки: пассажиры. Канал: автобусы. 
Канал K 
Канал i 
Канал 1 
Очередь 1 
Очередь 2 
Очередь N 
отказы 
уходы 
потери 
Прерванные заявки 
 
 
 
Поток необслуженных заявок 
В
хо
д
ящ
и
й
п
от
о
к 
–
с
о
во
ку
п
но
ст
ь 
за
яв
о
к 
вс
ех
т
и
п
о
в 
О
бс
л
уж
енн
ые
з
ая
вки
- интенсивность потока 
рис.1, Схема СМО 

Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
4 
Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные 
элементы: 
1) входящий поток заявок; 
2) очередь; 
3) каналы обслуживания; 
4) выходящий поток обслуженных заявок. 
Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные 
заявки в разное время и т.д., количество заявок всегда весьма велико. 
Все это делает такие СМО сложными для изучения и управления, и проследить 
все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. 
Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах 
носит случайный характер. 
Подход к изучению СМО с помощью методов компьютерного моделирования 
заключается в том, что: 
1) с помощью генератора случайных чисел разыгрываются случайные 
числа, которые имитируют случайные моменты появления заявок и время 
их обслуживания в каналах. 
2) с использованием типовых элементов (канал, источник заявок, очередь, 
заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и т.д.) имитируется 
деятельность СМО (продвижение заявок по каналам; покидания канал 
заявками; потери заявок; обработка заявок) и анализируются различные 
показатели (вероятность обслуживания заявки системой; среднее 
количество занятых каналов и т.д.) 
По 
результатам 
этого 
анализа 
специалист 
оценивает 
ресурсы 
производительности и эффективности проектируемых им систем, скрытые в 
оптимизации 
параметров, 
структур 
и 
дисциплин 
обслуживания. 
Моделирование помогает выявить эти скрытые резервы.