Ќазаќстан Республикасы білім жєне ѓылым министрлігі
Тізбектің шегі туралы теоремaлар
жүктеу/скачать 5,24 Mb.
|
| Тізбектің шегі туралы теоремaлар
Бұл пунктте тізбектерге арифметикалық амалдар қалай қолданылатыны жайлы әңгімеленеді. Теорема 1. және тізбектері берілсін. Егер , ақырлы шектері бар болса, онда тізбектері де жинақталады және , яғни жинақталатын екі тізбек қосындысының шегі сол тізбектер шектерінің қосындысына тең болады. Дәлелдеуі: және дейік. Сонда 1 – теорема негізінде (мұндағы мен ақырсыз кіші тізбектер ) теңдіктерін аламыз. Бұдан тізбегі ақырсыз кіші тізбек, яғни сонда 1.3 – тің 1- теоремасы бойынша . Бұл теореманы индукция әдісін қолдана отырып, саны шектеулі тізбектердің алгебралық қосындысы үшін де дәлелдеуге болады. Теорема 2. және тізбектері берілсін. Егер , ақырлы шектері бар болса, онда тізбегі де жинақталады және , яғни жинақталатын тізбектер көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең болады. Дәлелдеуі. және болсын, сонда (мұндағы және ақырсыз кіші тізбектер.) Мына көбейтіндіні қарастырайық: Тізбегі 1-2 леммелер негізінде ақырсыз кіші тізбек болып табылады. Сонымен , барлық үшін . Ал бұдан мына теңдік шығады. ( 1-теореманы қараңыз): Ескерту. Егер барлық үшін болса, онда немесе тұрақты санның шегі де сол тұрақты сан болады. Шынында да, болғандықтан, ақырсыз кіші тізбек, сондықтан 1- теорема бойынша 1- салдар. Егер тізбегі жинақталатын болса, онда кез – келген С саны үшін тізбегі де жинақталатын тізбек болады және , яғни тұрақты көбейткішті шек таңбасының алдына шығаруға болады. 2-салдар. Егер жинақталатын тізбек , ал k – натурал сан болса, онда Бұл салдарды 2- теоремадан индукция әдісін пайдалана отырып алуға болады. Теорема 3. және тізбектері берілсін. Егер , ақырлы шектері бар болса, онда тізбегі де жинақталады және егер болса, онда теңдігі орындалады, яғни қатынастың шегі шектердің қатынасын береді. Алдын – ала мына лемманы дәлелдейік. Лемма. Егер тізбегі жинақталатын болып, сонымен бірге болса, онда нөмірі табылып барлық нөмірлері үшін тізбегі шенелген тізбек болады. Дәлелдеуі. Анықтама бойынша Енді деп алып, айырма модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті мына түрде жазайық: (). Бұдан теңсіздігі шығады, ал шарт бойынша болғандықтан , барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалады. 3- теореманы дәлелдеуге көшейік. , деп алайық. Теореманы дәлелдеу үшін (1.3 1- теоремасы бойынша) айырымы ақырсыз кіші екенін дәлелдеу жеткілікті. Бізге мына теіңдіктер белгілі : Осылдарды пайдаланып табатынымыз : Мұндағы тізбегі лемма бойынша шенделген, ал ақырсыз кіші тізбек. Сондықтан айырымы ақырсыз кіші тізбек болады. Бұдан мына теңдік шығады: жүктеу/скачать 5,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|