Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 5. Векторные и метрические пространства
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 6.2. Сходящиеся последовательности и их свойства.
| § 5. Векторные и метрические пространства
55. Какие из равенств т а) N 1 = Е *• М ; -■sv. Л-8 . -I • 'll ГЭ««|Й б) IMI = д / Е а <х*’ <* > °> * = 1 . т ; fc=l V •=! в) ||х|| = |*i| + |х2| + . .. + |sm-i|; Г) ||х|| = max <х,-|х«|, > 0; д) ||х|| = max |г<| 1 1Л задают норму в векторном пространстве R "1 ? 56. Показать, что в векторном пространстве £ДО, элементами которого являютДОМатрДОД! А = («о) размера т х п, норму ||Л|| можно ввести одним из следующих равенств: а) 1ИН = д / Е Е “?>; б) 1ИН = гаах Е 1“о1; в) 1 И 11 = max £ |в у |; г) ||Л|| =? щах |ду| i= ij= i 57. Пусть 9Л то же, что и в предыдущем примере. Указать, какие из равенств I m n I m —1 п а) 1И11 = д / Е Е « и “ у. «У > 0; б) 1ИН = Ч / Е у *=1 3=1 у 1=1 з - 1 т п в) 1 И 11 = Е Е « у 1« у 1. «У > °; г) 1ИИ = max а у |о у |, а у > 0 ; • „ . « ,= 1 j=l д) |ИН = max |, «ij < 0 ; е) ||Л|| = max « у > 0, т > 2 задают норму в пространстве 9Л. 58. Исходя из определения метрики, доказать, что в пространстве Rm расстояние' между произвольными точками Л = (* j, * 2 , . • • , Хт) п у = (у\, У 2 , . . . , Ут) можно определить!одним из равенств: а) р{х, у) - у E ( Si' - » 0 2; в) р(х, У) = max (ж,- - у;|; б) р ( х , у) = Ё Iх* -»<1; 1 = 1 г) р(х, у) = д / е «*(х> - У<)2. « < > '$ " т -к 1 д) р(®, у) = Е ««!*•■ - И» <*«• > °; е) р{х, у) = max (о<|я< - »<|)i ог< > 0 , i=l 1 < |<т '• ■лГЪ1'Г><Х70 59. Непосредственной проверкой аксиом метрики показать, что в пространстве, ГО1[,/эле ментами которого являются матрицы размера т х п, расстояние между произвольныаддд^Ч^ ками (матрицами) А = (aij) и В - (bij) можно ввести одним из равенств: а) р(А, В) = . / Е Е К - ^ ) 2; б) р (А ’ в ) = max Е 1аУ ~ M r V •=!>=! : , т {, в) р ( А , В ) = max Е 1 аУ - М ; г) р(А> в ) = max |а у - 4 у |. ), <<>'<* ■ , -t 5 60. Пусть Е — метрическое пространство с метрикой р : Е х Е —* R+ . ■ ’» !,f r ’ Показать, что если, кроме того, Е и векторное пространство, то оно является нормирован ным пространством с нормой ||л|| = р{х, 9), где х — произвольный, а 9 — нулевой элементы пространства Е. ‘ ‘ ; 61. Изобразить множество точек, которое является замкнутым (открытым) шаром fr'Jiri?* трическом пространстве R2, если метрика р определена одним из следующих равенств: а) Р (х, у) = \ / ( x i - уО2 + (*2 - У 2 )2; б) р (х, у) = |xi - jfi| + |*2 - в) р(х, у ) = max■ Д) И х , y ) = b f ^ + ^ p 1; г) р(х> у) = ) р(х, у) = m ax-О*»"81-11, ia.Tgat | . ■“ V -} /_ i-i) 42 . Гл. 1. Введение в анализ §6. П редел последовательности 6.1. Понятие последовательности. О п ред елен и е. Последовательностью элементов множества Е называется отобра жение N —► Е : п »-*• х п, гр. функция, которая каждому натуральному числу п € N ставит в соответствие эле мент хп € Е. Для записи последовательности употребляем обозначения (хп), или x j , Х 2 , . . . , х п, ...,и л и *п = /(« ), н € N. Элементы Xi, Х 2 , . . . , х п, ■ ■■ называются членами последовательности, а х п — общим членом последовательности. Множество Е может быть различным, например: М, Мт , С[а, 6 ], ОТ и т. д. Если Е = R, то последовательность называется числовой, если Е — Мт , — векторной, если Е = С [а, Ь], — функциональной, если Е = ОТ, — матричной и Т. д. В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство. 6.2. Сходящиеся последовательности и их свойства. Сначала рассмотрим числовые последовательности. О п ред ел ен и е. Последовательность (х«) действительных чисел называется сходя щейся, если существует действительное число а и для произвольного е > 0 существует натуральное число т такое, что для всех п > т справедливо неравенство |х„ - а| < е. При этом число а называют пределом последовательности (хп), что символически запи сывают lim х п = а или х„ —► а при п —► оо. П —* СО С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (i„ ) называется сходящейся, если За Q R Л V е > 0 З т £ Щ : Vn > т => \хп — а| < е. Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся. Теорема. Если последовательности (хп) и (уп) действительных чисел сходятся и lim х„ = а, lim у„ = Ь, то п —* оо п -* сю lim (хп + Уп) = а + b, lim х пуп = аЬ, жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|