Математика 3 Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы 2008


II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер



бет27/75
Дата31.12.2021
өлшемі0.83 Mb.
#21074
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   75
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер  

II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз



  ,                                     (5.4)

.                                           (5.1)

5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады

                                                 (5.5)

 – (5.4)-тің шешімі, – (5.1)-дің шешімі, – (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі.

Дәлелдеуі.  функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып

,

яғни тепе-теңдікке келдік: .



 функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген  шешімін алайық, онда  біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады

.

 функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны  түрінде жазуға болады, яғни  , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) – сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді.

Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен  табу жолын көрсетейік.  – (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі



                                          (5.6)

түрінде жазылсын.



 туындысын есептейміз: .  және  функцияларын

                                                (5.7)

теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз: 

, яғни

.                                             (5.8)

Сонымен, егер де  мен  функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда



                                           (5.9)

жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады



 мен  сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы  болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз ,  шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған  мен  функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз. 



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   75




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет