| Гильберт кеңістігі.
Анықтама Сызықты кеңістік нақты немесе комплексті гильбертті деп аталады, егерде, онда кез-келген х, у пар-парымен векторлары үшін (х,у) скалярлық көбейтіндісі анықталған болса, ол көбейтінді төмендегі аксиомалардың шартын (барлық х,у және а үшін орындалатын) қанағаттандыруы тиіс:
(х,у) – нақты немесе комплексті сан;
(х,у)=(у,х)- симметриялық шарт;
(ах,у)=а(х,у);
(х,х) , және де (х,х)=0 тек сонда ғана, егер де х=0 болса;
(x,y+z)=(x,y)+(x,z).
2)-ші және 3)-ші шарттардан екендігі шығады, өйткені .
5) –ші және 2)-ші шарттардан (x+y,z)=(x, z)+( y,z) екендігі шығады.
Гильбертті кеңістікті Н арқылы белгілейміз. Гильбертті кеңістік нормаланған болады, егерде
деп алсақ.
Осы берілген норма бойынша Н толық гильбертті кеңістік болады.
Мұнда атап кетейік: 3)-ші және 4)- ші аксиомалардың шарттарынан
екендігі шығады.
Айталық Н- тағы кез-келген х және у элементтері үшін Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі орындалады
.
Достарыңызбен бөлісу: |
