) Динамиканың негізгі постулаттарын анықтаң жазыңдар

Cыртқы айнымалы өріс болмаған жағдайда, гамильтониан уақытқа тәуелді болмайды, яғни , ал . Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі мына түрде болады:

. (11.8)

Бұл теңдеуде айнымалыларды бөлу әдісін пайдалануға болады:

. (11.9)

(11.9) өрнекті (11.8) теңдеуге қояйық:

Бұл теңдеуді басқаша түрге келтірейік

. (11.10)

(11.10) теңдеудің сол жағы уақытқа ғана тәуелді болса, оң жағы координатаға ғана тәуелді. Бұл теңдік сол жағында да және оң жағында да кейбір тұрақты шамалар тең болса, мүмкін болады. Ондай тұрақты шамалар айнымалыларды бөлудің тұрақтылары деп аталынады. Оларды

әрпімен белгілейік. Бұндайда (11.10) теңдеу екі тәуелсіз теңдеулерге бөлінеді

(11.11)

. (11.12)

(11.11) теңдеу толық энергия операторының өзіндік функцияларына арналған теңдеу, оларды деп, ал өзіндік мәндерін деп белгілеуге болады. (11.12) теңдеудің шешімі мына түрде болады

(11.13)
(11.13) функциясын есепке ала отырып, (11.9) шешімді табамыз:

. (11.14)
Энергияның анықталған мәнімен сипатталатын (11.14) күйді тұрақты күй деп атайды, ал (11.11) теңдеуді Шредингердің тұрақты күйлеріне арналған теңдеуі деп атайды. (11.8) теңдеу сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі үзікті спектр үшін тұрақты күйлердің суперпозициясы болады

, (11.15)

мұндағы - тұрақты амплитудалар. Егер оператордың өзіндік мәндері үзіліссіз спектр құрса, онда

. (11.16)

Алдыңғы тақырыптарда қарастырылған мәліметтер бойынша, толқындық функция жалпы жағдайда кеңістік пен уақытта өзгеріске ұшырайды. Бірақ, бұл өзгеріс қалай болса солай болмайды. Бұл жағдайда белгілі бір сақталу заңы орындалуы керек. Біздің мақсатымыз – осы заңды табу. Ол үшін, классикалық электрдинамиканы еске түсірейік. Электрдинамикада үзіліссіздік теңдеуі бар:

, (12.1)

мұндағы - заряд тығыздығы, - ток тығыздығы. Бұл теңдеу зарядтың сақталу заңын береді. (12.1) теңдеуді кванттық механикада Шредингер теңдеуінің көмегімен алуға болады. Басқаша айтқанда, Шредингер теңдеуінің шешімі (12.1) теңдеуіне ұқсас теңдеуді қанағаттандыратын көрсету керек. Ол үшін Шредингер теңдеуін және оның комплекс түйіндес теңдеуін жазайық.

,

.

Бірінші теңдеуді , екінші теңдеуді функциясына көбейтіп, бір бірінен шегерейік

Бұл теңдікті басқаша түрде қайтадан жазуға болады

, (12.2)

мұндағы - ықтималдық тығыздығы. Енді арқылы мына векторды белгілесек

, (12.3)

онда (12.2) теңдеу былай жазылады

. (12.4)

(12.3) өрнекпен сипатталатын векторы ықтималдық ағыны тығыздығының векторы деп аталады. (12.4) үзіліссіздік теңдеуіндегі бөлшектердің орта тығыздығы ретінде де қарастырылады. Бұл жағдайда белгілі бір бетті уақыт бірлігінде қиып өтетін бөлшектердің орта ағыны болып саналады, ал (12.4) теңдеуді бөлшектер санының сақталу заңы деп атайды.

Егер мен шамаларды бөлшектің заряды -ге көбейтсек, электр тогы мен электр зарядының орта тығыздығын аламыз

, .
Үзіліссіздік теңдеуі мұндайда кванттық механикадағы зарядтың сақталу заңына айналады

. (12.5)
Егер қарастыратын толқындық функция нақты болса, яғни , онда ток тығыздығы әрқашан да нөлге тең болады.