Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
жүктеу/скачать 1,39 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама
|
Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік. Жоспары 1.Дифференциал теңдеулер. 2.ДТ жалпы және дербес шешімі. 3.Дифференциал теңдеулерге келтірілетін есептер. y’ туындысы интегралдық қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Интегралдық қисықтың кез келген А(х, у) нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициентін дифференциалдық теңдеуді шешпей-ақ табуға болады. Жанама интегралдық қисықтың бағытын көрсететін болғандықтан, f(x, y) функциясы үзіліссіз болса А нүктесін үзіліссіз жылжыта отырып, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде алынатын қисықтардың бағыттар өрісін көрсетуге болады. Олар теңдеудің жалпы шешімі болады. Анықтама. Қарастырылып отырған облыстың әрбір нүктесіндегіжанамалар жиынтығы бағыттар өрісі деп аталады. Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, дифференциалдық теңдеуді геометриялық тұрғыдан талқылайық: 1) Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу берілді деген сөз - бағыттар өрісі берілген 2) Дифференциалдық теңдеу шешу не интегралдау дегеніміз - әрбір нүктесіндегі жанамалардың бағыты бағыттар өрісімен беттесетін барлық қисықтарды табу. Анықтама. Бағыттар өрісінде көлбеулері бірдей қисықтар изоклиндердеп аталады. Анықтама. Бір немесе бірнеше айнымалы функцияны, тәуелсіз айнымалыларды жəне функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеудеп аталады. Анықтама. Егер ізделінді функция тек бір ғана айнымалыдан тəуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым деп аталады. Анықтама.Егер теңдеу бірнеше айнымалыдан тəуелді болып жəне оның осы айнымалылары бойынша алынған дербес туындылардан тұрса, онда дербес туындылыдифференциалдық теңдеу делінеді. Біз тек қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Анықтама. Теңдеудің құрамындағы ең жоғарғы туындының реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. G(x,y,y ′,y′′..., y(п)) = 0 - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек, y(п) = F(x,y,y′, y′′,y′′′,...) - бас туындыға қатысты шешілген теңдеу. Мысалы. у′′+5xу′-x2y3= 0 – екінші ретті, d3y/dx3–xy2 dy/dx =7 - үшінші ретті, y′+5xy = cosx – бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Анықтама.Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралыдеп теңдеуге қойғанда оны тура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады. Мысал 1. y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі. Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық: у′ =cosx , у′′= - sinx Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады. Мысал 2. y= x2(1+Ce 1/х) функциясы берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік. Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық:
у пен у′-ті берілген теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ: x2=x2 тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі.
жүктеу/скачать 1,39 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|